中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题十七角的概念推广及其弧度制(原卷版+解析)

第十七章角的概念推广及其弧度制思维导图知识要点知识要点1．任意角(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为；②α是第二象限角可表示为；③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为.(3)界限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作；⑤终边在x轴上的角的集合可记作{α|α＝kπ，k∈Z}；⑥终边在y轴上的角的集合可记作；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作.(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．|α|＝，l是半径为R的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝2πrad，180°＝πrad，1°＝rad≈0.01745rad，反过来1rad＝≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝|α|R；扇形面积公式S扇＝＝.典例解析典例解析【例1】下列命题中：①小于90°的角是锐角；②锐角是第一象限的角；③第一象限的角是锐角；④终边相同的角一定相等．其中正确的是_______．【变式训练1】下列命题中：①第二象限的角是钝角；②第三象限的角都大于π；③若α是第二象限的角，则是第一象限的角；④在同一坐标系下，相等的角终边相同．其中正确的是________．【例2】若角θ的终边与角的终边相同，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角．【变式训练2】求与－580°终边相同，且在[－360°，360°]内的角为．【例3】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B. C. D.【变式训练3】一段圆弧的长度等于其圆外切正方形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．π B．2 C．1 D．1π【例4】若sinα·tanα<0，且<0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【变式训练4】设θ是第三象限角，且＝－cos，则是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【例5】已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【变式训练5】已知一个扇形半径为2cm，它的周长等于扇形所在圆的周长，则这个扇形的面积为多少？高考链接高考链接1．与－956°角终边相同的最小正角是()A．34° B．56° C．124° D．214°2．－300°化为弧度等于()A．－ B．－ C．－ D．－3．角2013°是()A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角4．(四川省2015年对口升学考试试题)与340°角终边相同的是()A．－160° B．－20° C．20° D．160°同步精练同步精练选择题1．下列各角中，与46°终边相同的角是()A．266° B．416° C．－314° D．－246°2．角40°＋180°·k(k∈Z)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第三象限3．若cosθ>0，且sinθ<0，则角θ的终边所在象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若角α与β的终边关于y轴对称，则有()A．α＋β＝360°·k(k∈Z) B．α＋β＝180°·k(k∈Z)C．α－β＝360°·k(k∈Z) D．α－β＝180°·k(k∈Z)5．已知圆心角相同的两个扇形，其半径之比为2∶3，则面积之比为()A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶46．半径为50cm的圆的圆心角所对的弧长为1.5m，则圆心角的弧度数为()A．0.03 B．0.3 C. D．3填空题已知α为第一象限角，则所在的象限是．8．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．9．与角－2020°终边相同的最大负角是_______，最小正角是．10．三角形三内角的比为1∶2∶3，则各内角的弧度数分别为．解答题11．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是多少？12.一个扇形OAB的周长为24，求扇形的半径，圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？13．已知角α与－700°的终边相同，且α∈[－360°，1080°]，求角α.14．已知OA是第二象限的角平分线，OB是第三象限的角平分线，角α的终边在如图所示的范围内，求角α的集合．第十七章角的概念推广及其弧度制思维导图知识要点知识要点1．任意角(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为；②α是第二象限角可表示为；③α是第三象限角可表示为；④α是第四象限角可表示为.(3)界限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作；⑤终边在x轴上的角的集合可记作{α|α＝kπ，k∈Z}；⑥终边在y轴上的角的集合可记作；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作.(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．|α|＝，l是半径为R的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝2πrad，180°＝πrad，1°＝rad≈0.01745rad，反过来1rad＝≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝|α|R；扇形面积公式S扇＝＝.典例解析典例解析【例1】下列命题中：①小于90°的角是锐角；②锐角是第一象限的角；③第一象限的角是锐角；④终边相同的角一定相等．其中正确的是___②_____．【思路点拨】小于90°的角范围是，锐角的范围是，第一象限的角范围是(k∈Z)．【变式训练1】下列命题中：①第二象限的角是钝角；②第三象限的角都大于π；③若α是第二象限的角，则是第一象限的角；④在同一坐标系下，相等的角终边相同．其中正确的是___4_____．【例2】若角θ的终边与角的终边相同，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角．【思路点拨】利用终边相同的角的表示方法表示出角．解：∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴(k∈Z)．依题意k∈Z.∴k＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与相同的角为【变式训练2】求与－580°终边相同，且在[－360°，360°]内的角为－220°140°．【提示】利用终边相同角公式求解．【例3】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(C)A. B. C. D.【思路点拨】设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为，∴圆弧长为.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为【变式训练3】一段圆弧的长度等于其圆外切正方形的边长，则其圆心角的弧度数为(B)A．π B．2 C．1 D．1π【提示】设圆的半径为R，由题意可知，圆外切正方形的边长为2R，∴圆弧长为2R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为＝2.【例4】若sinα·tanα<0，且<0，则角α是(C)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【思路点拨】由sinα·tanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由<0，可知cosα，tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．【变式训练4】设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【提示】由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos，∴cos≤0，知为第二象限角．【例5】已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【思路点拨】(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l＝R|α|，扇形面积公式：S＝lR＝|α|R2，求弧长和扇形的面积，应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示．利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便．(2)用R表示S，求其最大值，再求l和α.答案：解：(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝cm.(2)由题意得l＋2R＝20cm，∴l＝20－2R(0<R<10)．∴S扇＝lR＝(20－2R)R＝(10－R)R＝－R2＋10R.∴当且仅当R＝5时，S有最大值25cm2.此时l＝20－2×5＝10，α＝＝2rad.∴当α＝2rad时，扇形面积取得最大值．【变式训练5】已知一个扇形半径为2cm，它的周长等于扇形所在圆的周长，则这个扇形的面积为多少？解：设半径为R，弧长为l，有2R＋l＝⇒l＝2π－4，∴扇形面积S＝Rl＝2π－4.高考链接高考链接1．与－956°角终边相同的最小正角是(C)A．34° B．56° C．124° D．214°【提示】－956°＝124°＋(－3)×360°.2．－300°化为弧度等于(C)A．－ B．－ C．－ D．－【提示】－300°＝－300°×π.3．角2013°是(C)A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角【提示】2013°＝11×180°＋33°.4．(四川省2015年对口升学考试试题)与340°角终边相同的是(B)A．－160° B．－20° C．20° D．160°同步精练同步精练选择题1．下列各角中，与46°终边相同的角是(C)A．266° B．416° C．－314° D．－246°【提示】46°－360°＝－314°.2．角40°＋180°·k(k∈Z)所在的象限是(C)A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第三象限【提示】k为偶数，是第一象限；k为奇数，是第三象限．3．若cosθ>0，且sinθ<0，则角θ的终边所在象限是(D)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【提示】∵cosθ>0，∴为第一或第四象限的角，又∵sinθ<0，∴θ为第三或第四象限的角，∴θ为第四象限的角．4．若角α与β的终边关于y轴对称，则有(B)A．α＋β＝360°·k(k∈Z) B．α＋β＝180°·k(k∈Z)C．α－β＝360°·k(k∈Z) D．α－β＝180°·k(k∈Z)5．已知圆心角相同的两个扇形，其半径之比为2∶3，则面积之比为(C)A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4【提示】因为S扇＝|α|r2，所以当两个扇形的圆心角相同时面积之比等于半径的平方之比．6．半径为50cm的圆的圆心角所对的弧长为1.5m，则圆心角的弧度数为(D)A．0.03 B．0.3 C. D．3【提示】由弧长公式可解．填空题已知α为第一象限角，则所在的象限是第一或第三象限．【提示】∵2kπ<α<＋2kπ，∴kπ<＋kπ，k∈Z，对k分别取0和1