高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)1.3空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)

1.3空间向量及其运算的坐标表示【知识点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。（2）空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).要点诠释：①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②.③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。（6）空间向量平行和垂直的条件若，则①②规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【典型例题】题型一：空间向量的坐标表示例1．(2023·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．例2．(2023·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．例3．(2023·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：(1)向量，，的坐标；(2)，的坐标．例4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．【方法技巧与总结】解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造．题型二：空间向量的直角坐标运算例5．（多选题）(2023·福建三明·高二期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2） B．C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）例6．(2023·吉林白山·高二期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（

）A． B． C． D．例7．(2023·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（

）A． B． C． D．例8．（2023·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知向量，，则（

）A． B． C． D．例9．(2023·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（

）A． B．C． D．例10．(2023·全国·高二期末）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________.例11．(2023·全国·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（

）A． B． C． D．例12．(2023·全国·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.例13．(2023·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．例14．（2023·全国·高二专题练习）在中，，，.（1）求顶点、的坐标；（2）求；（3）若点在上，且，求点的坐标.【方法技巧与总结】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。题型三：空间向量的共线与共面例15．(2023·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（理））已知空间三点，，，若三点共线，则（

）．A． B．1 C． D．2例16．(2023·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则___________.例17．(2023·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．例18．（2023·福建福州·高二期中）若，，，且共面，则_______.例19．(2023·全国·高二课时练习）证明，，，四点共面，你能给出几种证明方法？例20．(2023·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．(1)若，，三点共线，求的值；(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．【方法技巧与总结】（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得.（2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。题型四：空间向量模长坐标表示例21．(2023·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.例22．(2023·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.例23．(2023·江苏宿迁·高二期中）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．例24．(2023·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．【方法技巧与总结】若，则.题型五：空间向量平行坐标表示例25．(2023·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量，若，则实数________．例26．（2023·湖北武汉·高二期中）已知两个向量，，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8例27．(2023·江西赣州·高二期中（理））空间中，与向量同向共线的单位向量为（

）A． B．或C． D．或例28．(2023·河北邢台·高二阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（

）A．4 B． C．4或 D．5【方法技巧与总结】若，则题型六：空间向量垂直坐标表示例29．(2023·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．例30．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（）A．8 B．4 C． D．例31．(2023·全国·高二单元测试）已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．例32．(2023·福建龙岩·高二期中）已知向量，，点，.(1)求；(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.【方法技巧与总结】若，则题型七：空间向量夹角坐标表示例33．(2023·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．例34．(2023·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.例35．(2023·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：平面.例36．(2023·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．例37．(2023·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．例38．(2023·全国·高二课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【方法技巧与总结】若，则(1).(2).【同步练习】一、单选题1．(2023·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））已知空间向量，，，则下列结论正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不对2．(2023·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．3．(2023·江苏宿迁·高二期中）若向量，，则向量与的夹角为（

）A．0 B． C． D．4．(2023·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．5．(2023·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（

）A．1 B． C．或 D．17或6．(2023·全国·高二课时练习）若平面､的法向量分别为，，且，则等于（

）A． B．C． D．7．(2023·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（

）A． B． C． D．8．(2023·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（

）A． B． C．1 D．二、多选题9．(2023·福建龙岩·高二期中）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底10．(2023·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．(2023·湖南益阳·高二期末）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·高一专题练习）在正三棱柱中，，点满足，则（

）A．存在点使得B．存在点使得C．存在点使得D．存在点使得三、填空题13．(2023·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.14．(2023·全国·高二课时练习）已知向量，，．当时，若向量与垂直，则实数的值为______．15．(2023·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．16．(2023·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．四、解答题17．(2023·全国·高二课时练习）如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．18．(2023·全国·高二课时练习）已知向量，，计算：(1)，，；(2)．19．(2023·湖南·高二课时练习）如图，正方体的棱长等于，为正方形的中心，、分别为棱、的中点．试判断下列结论是否成立，并说明理由．(1)；(2)；(3)；(4)为直角三角形；(5)的面积为．20．(2023·全国·高二课时练习）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上.（1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度；（2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值.21．(2023·全国·高二课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．(2023·上海·高三专题练习）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).1.3空间向量及其运算的坐标表示【知识点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。（2）空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).要点诠释：①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②.③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。（6）空间向量平行和垂直的条件若，则①②规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【典型例题】题型一：空间向量的坐标表示例1．(2023·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：利用空间向量的坐标表示，即得.【详解】设，∵，又，∴，解得，即.故选：B.例2．(2023·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．答案：【解析】分析：由坐标运算求解即可.【详解】故答案为：例3．(2023·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：(1)向量，，的坐标；(2)，的坐标．答案：(1)，，(2)【解析】分析：（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.(1)由已知，则，，(2),.例4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．答案：＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【解析】分析：以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【方法技巧与总结】解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造．题型二：空间向量的直角坐标运算例5．（多选题）(2023·福建三明·高二期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2） B．C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）答案：BCD【解析】分析：根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知：,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD例6．(2023·吉林白山·高二期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.故选：C例7．(2023·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根据向量的坐标运算直接求解即可【详解】，，∴．故选：B．例8．（2023·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知向量，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由空间向量的坐标运算求解【详解】，，则故选：C例9．(2023·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得，，所以，所以，所以的坐标为．故选：B．例10．(2023·全国·高二期末）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线上的一个定点，且，活动弹子M在正方形对角线上移动，当取最小值时，的值为____________.答案：【解析】分析：根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算，求其最小值即可．【详解】解：因ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD⋂平面ABEF＝AB，于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF为矩形，即BE⊥AB，以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F（1，3，0），因点N在BF上，且2FN＝BN，则，又M在线段AC上移动，则有，于是得点，⋅，因此，当时，取最小值，此时，，.故答案为：例11．(2023·全国·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C例12．(2023·全国·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.答案：【解析】分析：设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．【详解】解：点､，为线段上一点，且，所以，设点的坐标为，则，则，即，解得，即；故答案为：．例13．(2023·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．答案：【解析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，则，，，，，则，而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.故答案为：例14．（2023·全国·高二专题练习）在中，，，.（1）求顶点、的坐标；（2）求；（3）若点在上，且，求点的坐标.答案：（1），；（2）；（3）.【解析】分析：（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.【详解】（1）设点为坐标原点，，则.，则；（2），则，又，因此，；（3）设点为坐标原点，，则，则，所以，点的坐标为.【方法技巧与总结】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。题型三：空间向量的共线与共面例15．(2023·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（理））已知空间三点，，，若三点共线，则（

）．A． B．1 C． D．2答案：C【解析】分析：求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果.【详解】因为，，且三点共线，所以向量与向量共线，所以，得．故选：C.例16．(2023·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则___________.答案：2【解析】分析：由，，共面，设，由坐标运算列出方程求解即可.【详解】因为，，共面，设，则，则，解得.故答案为：2.例17．(2023·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．答案：【解析】分析：由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为不平行，且、、三向量共面，所以存在实数x，y，使，所以，解得，故答案为：例18．（2023·福建福州·高二期中）若，，，且共面，则_______.答案：1【解析】分析：根据向量共面定理，可得到存在不同时为零的实数，使得，列出方程组，解得答案.【详解】由于共面，故存在不同时为零的实数，使得，即，解得，故答案为：1例19．(2023·全国·高二课时练习）证明，，，四点共面，你能给出几种证明方法？答案：证明见解析【解析】分析：方法一、根据即可证明；方法二、根据即可证明.【详解】证明：方法一、因为，，，，所以，，，所以，所以四点共面；方法二、因为，，，，所以，，所以，所以，所以四点共面.例20．(2023·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．(1)若，，三点共线，求的值；(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.(1)由题设，，又，，三点共线，所以存在使，即，可得，所以.(2)由，由（1）知：当时，有；而，又，的夹角是钝角，所以，可得；又时、，故，满足题设；综上，.【方法技巧与总结】（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得.（2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。题型四：空间向量模长坐标表示例21．(2023·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.答案：【解析】分析：先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可【详解】由题，，故在上的投影向量的模故答案为：例22．(2023·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.答案：【解析】分析：根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，因为，点为的中点，所以，所以，，故．故答案为：.例23．(2023·江苏宿迁·高二期中）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．答案：【解析】分析：以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，设则，当时的最小值是，取则又因为是任意值，所以的最小值是.取则又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.例24．(2023·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．答案：【解析】分析：由向量模长坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，，解得：或，又，.故答案为：.【方法技巧与总结】若，则.题型五：空间向量平行坐标表示例25．(2023·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量，若，则实数________．答案：【解析】分析：利用列方程，即可求解.【详解】因为向量，且，所以，解得：.故答案为：.例26．（2023·湖北武汉·高二期中）已知两个向量，，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【解析】分析：由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.例27．(2023·江西赣州·高二期中（理））空间中，与向量同向共线的单位向量为（

）A． B．或C． D．或答案：C【解析】分析：由已知条件，先求出，从而即可求解.【详解】解：因为，所以，所以与向量同向共线的单位向量，故选：C.例28．(2023·河北邢台·高二阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（

）A．4 B． C．4或 D．5答案：A【解析】分析：由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.【详解】由题设，且，则，可得.故选：A【方法技巧与总结】若，则题型六：空间向量垂直坐标表示例29．(2023·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.例30．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（）A．8 B．4 C． D．答案：D【解析】分析：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值.【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，则，，因为，所以，得，所以，所以，当时，取最小值，易知，且平面，平面故，故所以的最小值为．故选：D.例31．(2023·全国·高二单元测试）已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．答案：【解析】分析：由题知，，进而根据空间向量的垂直关系求解即可.【详解】解：因为在直线上，且，所以所以，，因为所以，解得.故答案为：例32．(2023·福建龙岩·高二期中）已知向量，，点，.(1)求；(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.答案：(1)5(2)【解析】分析：（1）根据空间向量坐标表示的线性运算求出，再根据向量模的坐标公式即可得解；（2）设，根据求出，再根据可得，从而可求得，即可求出，从而可得出答案.(1)解：因为，，所以，所以；(2)解：设，由，，得，则，故，因为，所以，即，解得，所以，设，则，所以，解得，所以.【方法技巧与总结】若，则题型七：空间向量夹角坐标表示例33．(2023·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．答案：或【解析】分析：设，由向量数量积运算可求得，，由模长运算可知，由向量夹角公式可求得结果.【详解】设，又，，，，，即，，，解得：，或，或，又，或.故答案为：或.例34．(2023·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.答案：【解析】分析：由与的夹角为锐角，判断出，且、不同向共线，列不等式组求出k的范围.【详解】因为向量若与的夹角为锐角，所以，且、不同向共线.只需满足，解得：或.所以的范围为.故答案为：.例35．(2023·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：平面.答案：(1)(2)(3)证明见解析【解析】分析：（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果；（2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；（3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.(1)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，则.(2)解：依题意得、、、，所以，，，，又，，所以，.(3)证明：依题意得、、、、，则，，，所以，，，则，，即，，又因为，所以，平面.例36．(2023·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．答案：，，，【解析】分析：根据空间向量的坐标运算直接计算可得.【详解】．.∵，，∴例37．(2023·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若，求的值．答案：（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）空间向量，，，因为，所以存在实数k，使得，所以，解得，则．（2）因为，则，解得，所以，故．例38．(2023·全国·高二课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.答案：答案见解析【解析】分析：先利用已知条件写出点坐标，设，进而得到的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出；若选①：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选②：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体棱长为2，则，设，则，所以.选择①：，所以，得，若得，则，故存在点，满足，.选择②：因为，所以，得，若，即，得.故存在点，满足，.选择③：因为，所以与不共线，所以，即，则，故不存在点满足.【方法技巧与总结】若，则(1).(2).【同步练习】一、单选题1．(2023·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））已知空间向量，，，则下列结论正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不对答案：C【解析】分析：根据空间向量垂直平行的性质判断即可【详解】由题，因为，故，又，故故选：C2．(2023·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．答案：C【解析】分析：根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.【详解】由题意可得知，则，因此，所以，故选：C.3．(2023·江苏宿迁·高二期中）若向量，，则向量与的夹角为（

）A．0 B． C． D．答案：D【解析】分析：利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为，且，所以，，所以，故选：D4．(2023·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．答案：A【解析】分析：由空间向量垂直的坐标表示计算．【详解】由题意，，，，因为，所以，．故选：A．5．(2023·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（

）A．1 B． C．或 D．17或答案：D【解析】分析：根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，，，因为与的夹角为，可得，即，整理得，解得或.故选：D.6．(2023·全国·高二课时练习）若平面､的法向量分别为，，且，则等于（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根据平面垂直可知法向量垂直，利用数量积为0求解即可.【详解】,平面､的法向量分别为，，，,解得，故选：D7．(2023·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B8．(2023·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】分析：根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设，有，线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，因此，，当且仅当时取“=”，所以线段EF长的最小值为.故选：B二、多选题9．(2023·福建龙岩·高二期中）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底答案：BD【解析】分析：根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD10．(2023·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】分析：由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为，，，所以所以，，所以不共线.故选：AC11．(2023·湖南益阳·高二期末）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】分析：建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，，.故选：ACD12．(2023·全国·高一专题练习）在正三棱柱中，，点满足，则（

）A．存在点使得B．存在点使得C．存在点使得D．存在点使得答案：AD【解析】分析：建立空间直角坐标系，根据，表示，再利用数量积运算逐项判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，，设，则，，因为，所以，则，A.，解得，故正确；B.，解得，故错误；C.，解得，故错误；D.，解得，故正确.故选：AD三、填空题13．(2023·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.答案：6【解析】分析：根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】由，，得，，..故答案为：.14．(2023·全国·高二课时练习）已知向量，，．当时，若向量与垂直，则实数的值为______．答案：【解析】分析：根据空间向量模的坐标表示公式，结合空间向量的加法、数乘的运算的坐标表示公式和空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，，因为与垂直，所以.故答案为：15．(2023·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．答案：##【解析】分析：以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设，根据求出y，表示出根据函数性质即可求其最小值．【详解】如图，以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴知，当时，点与距离的最小，其最小值为．故答案为：．16．(2023·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．答案：【解析】分析：如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果【详解】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为t>0所以实数t的取值范围是，故答案为：四、解答题17．(2023·全国·高二课时练习）如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．答案：，【解析】分析：写出四个点的坐标，再利用空间向量的坐标运算可得向量坐标，利用夹角公式可得向量夹角的余弦值