高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题28平面向量的数量积及其应用(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题28平面向量数量积及其应用平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念向量夹角平面向量数量积及其应用数量积的性质平面向量数量积的性质及运算律数量积的坐标表示数量积运算律投影向量数量积定义定义法求数量积几何法求数量积坐标法求数量积练高考明方向1.(2023·全国乙（理）T3）已知向量满足，则（）A. B. C.1 D.22.(2023·全国甲（文））已知向量．若，则______________．3.(2023·全国甲（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．4.(2023·新高考Ⅱ卷T4）已知，若，则（）A. B. C.5 D.6(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则()A．|eq\o(OP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up7(→))|B．|eq\o(AP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up7(→))|C．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))＝eq\o(OP1,\s\up7(→))·eq\o(OP2,\s\up7(→))D．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP1,\s\up7(→))＝eq\o(OP2,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))6．(2023年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．7．(2023年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．8．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.9．(2023·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.(2023·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))|的值为________；(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))的最小值为________．11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 ()A． B． C． D．13．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．14、(2023·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b15．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ()A． B． C． D．16．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则_____．17．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则．18．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 ()A．4 B．3 C．2 D．019．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ()A． B． C． D．20．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则______．21．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 ()A． B． C． D．22．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 ()A． B． C． D．23．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则．24．(2023高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．25．(2023高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= ()A．1 B．2 C．3 D．526．(2023高考数学新课标2理科)已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．27．(2023高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t=_____．讲典例备高考类型一、求平面向量的数量积基础知识：向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。2、数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ。3、平面向量数量积的运算律：交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c4、平面向量数量积运算的常用公式：①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.5、极化恒等式a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a－b,2)))2.三角形模型：在△ABC中，D为BC的中点，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up7(→))|2.平行四边形模型：在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AC,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2)＝eq\o(AO,\s\up7(→))2－eq\o(DO,\s\up7(→))2.基本题型：1．已知，，，则 ()A． B． C． D．2．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（）．A．6 B．12 C．24 D．483、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的取值范围是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)4．已知菱形的边长为4，，是的中点，则（）A．24 B． C． D．5．在中，为的三等分点，则()A． B． C． D．基本方法：1、计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解(3)几何法：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解2、解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．类型三、求两平面向量的夹角基础知识：1、向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。2、有关向量夹角的两个结论①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．(3)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.基本题型：1．若向量，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．2、已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，则2a＋b与b的夹角是()A.eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,6)3．已知向量，，，则（）4．已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（）A． B． C． D．5．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，|a＋b|＝eq\r(3)|b|，则向量a，b的夹角为________．6．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____.基本方法：求向量夹角的3种方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．类型三、求平面向量的模基础知识：1、平面向量的模：向量的大小叫做向量的长度(或称模)，记作|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|。2、已知非零向量a＝(x1，y1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))|a|＝eq\r(a·a)，3、已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)。基本题型：1．若单位向量满足，则等于（）A． B． C． D．2．已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（

）A．2 B． C． D．33．若，且，，则的取值范围是()A． B．C． D．4.在直角梯形中，（），，，为中点，若，则的值为.5．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.6．已知向量，的夹角为，且.（1）若，求的坐标；（2）若，，求的最小值.基本方法：求平面向量模的3种方法(1)坐标法：若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．类型四、平面向量垂直问题基础知识：基本题型：1．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A．1 B．2 C． D．2、已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（）A．B．C．6D．43．（多选题）已知在△ABC中，，，，若，则（

）A． B．C． D．4．已知向量，，且与垂直，则______．5．已知，在同一平面内，.，且，则与的夹角的余弦值为______．.基本方法：平面向量垂直问题的2个类型(1)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．(2)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．类型五、平面向量数量积中的最值与范围问题基础知识：基本题型：1．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是（）A． B． C． D．2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是(

)图一图二A． B． C． D．3．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，点P在线段AD(包括端点)上运动，则eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))的取值范围是________．基本方法：解平面向量中有关最值问题的思路形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断‘2、数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决新预测破高考1．已知，是两个夹角为的单位向量，，，则（）A．7 B．9 C．11 D．132．设的夹角为（

）A． B． C． D．3．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（）．A．6 B．12 C．24 D．484．设，均为单位向量，且，则（）A．3 B． C．6 D．95．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－ B．0C．4 D．－16．已知向量，，若向量满足，，则（）A． B． C． D．7．（多选题）已知在边长为2的等边中，向量满足，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．8．在直角梯形中，，，，为边上中点，的值为（）A． B． C． D．9、（多选题）关于平面向量，下列说法中不正确的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．10．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）11、（多选题）已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为12．（多选题）中，，，，为线段上的点，，则（

）A． B．时，C．若，则 D．13、（多选题）已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是A．，的夹角是 B．，的夹角是或 C．或 D．或14．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，()A．9 B． C． D．15、（多选题）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为16．在边长为的正三角形中，的值等于__________.17.如图，在正方形中，为边上的动点，设向量,则的最大值为．18．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为_________.19．已知|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝eq\r(2)且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝1.若点C满足|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))|＝1，则|eq\o(OC,\s\up7(→))|的取值范围是________．20．已知向量，满足，，且．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.（1）求值；（2）已知，若的最小值为，求的最大值.2023高考一轮复习讲与练专题28平面向量数量积及其应用平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念向量夹角平面向量数量积及其应用数量积的性质平面向量数量积的性质及运算律数量积的坐标表示数量积运算律投影向量数量积定义定义法求数量积几何法求数量积坐标法求数量积练高考明方向1.(2023·全国乙（理）T3）已知向量满足，则（）A. B. C.1 D.2答案：C分析：根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴2.(2023·全国甲（文））已知向量．若，则______________．答案：或分析：直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.3.(2023·全国甲（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．答案：分析：设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．4.(2023·新高考Ⅱ卷T4）已知，若，则（）A. B. C.5 D.6答案：C分析：利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则()A．|eq\o(OP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up7(→))|B．|eq\o(AP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up7(→))|C．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))＝eq\o(OP1,\s\up7(→))·eq\o(OP2,\s\up7(→))D．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP1,\s\up7(→))＝eq\o(OP2,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))答案：AC．【解析】因为|eq\o(OP1,\s\up7(→))|＝eq\r(cos2α＋sin2α)＝1，|eq\o(OP2,\s\up7(→))|＝eq\r(cos2β＋－sinβ2)＝1，所以A项正确．因为|eq\o(AP1,\s\up7(→))|＝eq\r(cosα－12＋sin2α)，|eq\o(AP2,\s\up7(→))|＝eq\r(cosβ－12＋－sinβ2)＝eq\r(cosβ－12＋sin2β)，当α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,6)时，|eq\o(AP1,\s\up7(→))|≠|eq\o(AP2,\s\up7(→))|，所以B项错误．因为eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1,0)，eq\o(OP3,\s\up7(→))＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，eq\o(OP1,\s\up7(→))＝(cosα，sinα)，eq\o(OP2,\s\up7(→))＝(cosβ，－sinβ)，所以eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))＝cos(α＋β)，eq\o(OP1,\s\up7(→))·eq\o(OP2,\s\up7(→))＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以C项正确．因为eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP1,\s\up7(→))＝cosα，eq\o(OP2,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(β＋α＋β)≠cosα，所以D项错误．故选A、C.6．(2023年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．答案：解析：因为，所以由可得，，解得．7．(2023年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．答案：．【解析】,，解得,8．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.答案：－eq\f(9,2)【解析】(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(9,2).9．(2023·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.答案：3eq\r(2)．【解析】由|a－b|＝5，得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25.将|a|＝3，a·b＝1代入上式，得32－2×1＋b2＝25.化简，得b2＝18，所以|b|＝3eq\r(2).(2023·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))|的值为________；(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))的最小值为________．答案：eq\f(11,20)【解析】设BE＝x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq\r(3)x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴(2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))2＝4eq\o(BE,\s\up7(→))2＋4eq\o(BE,\s\up7(→))·eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cos0°＋(1－2x)2＝1，∴|2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))|＝1.∵(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))＝(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→)))＝eq\o(DE,\s\up7(→))2＋eq\o(DF,\s\up7(→))·eq\o(EA,\s\up7(→))＝(eq\r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,10)))2＋eq\f(11,20)，所以当x＝eq\f(3,10)时，(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))的最小值为eq\f(11,20).11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．答案：解析：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：．12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 ()A． B． C． D．答案：D解析：，，，．，因此，．13．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．答案：【解析】法一：因为为单位向量，所以所以，解得：所以法二：如图，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，利用平行四边形法则得eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b，∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，∴△OAC为正三角形，∴|eq\o(BA,\s\up7(→))|＝|a－b|＝2×eq\f(\r(3),2)×|a|＝eq\r(3).14、(2023·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b答案：D【解析】由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝eq\f(1,2).对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq\f(1,2)＋2＝eq\f(5,2)≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.15．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ()A． B． C． D．答案：B解析：，所以，所以．16．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则_____．答案：．【解析】因为，，所以，，所以，所以．17．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则．答案：解析：依题意可得，又，所以，解得．18．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 ()A．4 B．3 C．2 D．0答案：B解析：，故选B．19．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ()A． B． C． D．答案：B【解析】解法一：建系法如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为。解法二：均值法：∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵，∴，∴，∴最小值为解法三：配凑法：∵，∴∴最小值为20．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则______．答案：【解析】法一:，所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．法三:坐标法：依题意,可设,,所以所以．21．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 ()A． B． C． D．答案：D【解析】由可得：，所以，又所以，所以，故选D．22．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 ()A． B． C． D．答案：A【解析】由题意,得,所以,故选A.23．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则．答案：【解析】由已知得：∴，解得．24．(2023高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．答案：解析:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,∴,∴与的夹角为．25．(2023高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= ()A．1 B．2 C．3 D．5答案：A解析：因为两式相加得：所以，故选A．26．(2023高考数学新课标2理科)已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．答案：2解析：由题意知：27．(2023高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t=_____．答案：2解析：=====0，解得=．讲典例备高考类型一、求平面向量的数量积基础知识：向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。2、数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ。3、平面向量数量积的运算律：交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c4、平面向量数量积运算的常用公式：①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.5、极化恒等式a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a－b,2)))2.三角形模型：在△ABC中，D为BC的中点，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up7(→))|2.平行四边形模型：在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AC,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2)＝eq\o(AO,\s\up7(→))2－eq\o(DO,\s\up7(→))2.基本题型：1．已知，，，则 ()A． B． C． D．答案：C【解析】∵，，∴,∴，解得，即，则．2．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（）．A．6 B．12 C．24 D．48答案：C【解析】因为，，所以＝＝＋＝＝，故选C．3、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的取值范围是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)答案：A【解析】法一：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq\r(3))，F(－1，eq\r(3))．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,0)，且－1<x<3.所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A.法二：eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝|eq\o(AP,\s\up7(→))|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|·cos∠PAB＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|·cos∠PAB，又|eq\o(AP,\s\up7(→))|cos∠PAB表示eq\o(AP,\s\up7(→))在eq\o(AB,\s\up7(→))方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\r(3)×2×cos30°＝6，eq\o(AF,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))∈(－2,6)．故选A.4．已知菱形的边长为4，，是的中点，则（）A．24 B． C． D．答案：D【详解】由已知得,,,所以,.因为在菱形中,,所以.又因为菱形的边长为4,所以,所以.5．在中，为的三等分点，则()A． B． C． D．答案：B【解析】因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.基本方法：1、计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解(3)几何法：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解2、解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．类型三、求两平面向量的夹角基础知识：1、向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。2、有关向量夹角的两个结论①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．(3)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.基本题型：1．若向量，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．答案：C【详解】由题意得，，又。2、已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，则2a＋b与b的夹角是()A.eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,6)答案：D【详解】因为平面向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，所以|2a＋b|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq\r(4|a|2＋4|a|·|b|·cos\f(π,3)＋|b|2)＝eq\r(4＋4×1×2×\f(1,2)＋4)＝2eq\r(3).又(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·coseq\f(π,3)＋|b|2＝2×1×2×eq\f(1,2)＋4＝6，设2a＋b与b的夹角为θ，由向量夹角公式得cosθ＝eq\f(2a＋b·b,|2a＋b|·|b|)＝eq\f(6,2\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6)，故选D.3．已知向量，，，则（）答案：【详解】∵向量，∴，∵，，∴，，∴.4．已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（）A． B． C． D．答案：D【详解】设，则，，令，则，，由得，，∴时，取得最大值，∴的最小值为．5．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，|a＋b|＝eq\r(3)|b|，则向量a，b的夹角为________．答案：eq\f(2π,3)【详解】由|a＋b|＝eq\r(3)|b|得|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|b|2，又|a|＝2|b|，∴4|b|2＋2a·b＋|b|2＝3|b|2，解得a·b＝－|b|2，∴cos<a，b>＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－|b|2,2|b|2)＝－eq\f(1,2)，又<a，b>∈[0，π]，∴<a，b>＝eq\f(2π,3).6．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____.答案：【详解】由题意，与向量的夹角为钝角，则，即，解得，又由，得，∴所求的范围是．基本方法：求向量夹角的3种方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．类型三、求平面向量的模基础知识：1、平面向量的模：向量的大小叫做向量的长度(或称模)，记作|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|。2、已知非零向量a＝(x1，y1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))|a|＝eq\r(a·a)，3、已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)。基本题型：1．若单位向量满足，则等于（）A． B． C． D．答案：C分析：先由已知条件求出，再由即可求出答案.【详解】因为为单位向量，所以，所以,所以，2．已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（

）A．2 B． C． D．3答案：C分析：根据给定条件求出，再利用向量数量积计算作答.【详解】向量在向量上的投影向量为，依题意，，则，所以.3．若，且，，则的取值范围是()A． B．C． D．答案：D【解析】如图所示：，，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离．的最大值是，最小值为.4.在直角梯形中，（），，，为中点，若，则的值为.答案：2分析：由题意可得，设，将分别转化为，利用向量数量积的定义代入，解出，可求出的值.【解析】根据题意作出图形如图所示，因为，，所以，设，则，解得（负值舍去），即.5．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.答案：（1）；（2）或.【详解】（1）∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，整理得：，解得：或.6．已知向量，的夹角为，且.（1）若，求的坐标；（2）若，，求的最小值.答案：（1）；（2）【详解】（1）设的坐标为：，因为向量的夹角为，且，.所以，解得，所以，解得，所以.（2）因为，所以，由于，所以，所以，当时，取的最小值为.基本方法：求平面向量模的3种方法(1)坐标法：若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．类型四、平面向量垂直问题基础知识：基本题型：1．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A．1 B．2 C． D．答案：C【详解】向量与的夹角为，，，由知，，，，解得.2、已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（）A．B．C．6D．4答案：A【详解】因为向量，，，与的夹角为60°，所以，所以＝(m－n)·－m＋n＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝。3．（多选题）已知在△ABC中，，，，若，则（

）A． B．C． D．答案：BC分析：根据条件先推出是中点，利用中线向量的表达式可判断AB选项，利用可以判断C选项，根据C选项和题目条件可判断D选项.【详解】因为，，所以分别为的中点，所以，所以，故选项A错误；由，得，故选项B正确；因为，，所以，故选项C正确；由，得，则，故选项D错误.4．已知向量，，且与垂直，则______．答案：分析：求得坐标，根据垂直关系列出式子即可求解.【详解】，，，与垂直，，解得.5．已知，在同一平面内，.，且，则与的夹角的余弦值为______．.答案：.【详解】因为，所以，又，，所以，所以，所以.基本方法：平面向量垂直问题的2个类型(1)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．(2)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．类型五、平面向量数量积中的最值与范围问题基础知识：基本题型：1．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是（）A． B． C． D．答案：D【解析】因为点O是线段AB的中点，所以向量=.所以=.又因为向量是互为相反向量.所以=-2=-2=.2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是(

)图一图二A． B． C． D．答案：B分析：先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.【详解】如图，取的中点，根据题意，是边长为2的正三角形，易得，又，根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，∴.3．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____答案：【详解】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：由题可知，，设，，故可得，则，故可得，因的对称轴，故可得的最小值为.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，点P在线段AD(包括端点)上运动，则eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))【解析】以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立直角坐标系，则D(0,0)，B(－1,0)，C(1,0)，A(0，eq\r(3))，设P(0，x)，0≤x≤eq\r(3)，所以eq\o(PA,\s\up7(→))＝(0，eq\r(3)－x)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(－1，－x)，eq\o(PC,\s\up7(→))＝(1，－x)，因此eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝(0，－2x)，所以eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝－2x(eq\r(3)－x)＝2x2－2eq\r(3)x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))2－eq\f(3,2)，因此当x＝0或x＝eq\r(3)时，[eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))]max＝0，当x＝eq\f(\r(3),2)时，[eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))]min＝－eq\f(3,2)，所以eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0)).基本方法：解平面向量中有关最值问题的思路形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断‘2、数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决新预测破高考1．已知，是两个夹角为的单位向量，，，则（）A．7 B．9 C．11 D．13答案：C分析：直接利用数量积的定义和运算律求解即可【详解】因为，，所以.2．设的夹角为（

）A． B． C． D．答案：B分析：,=,结合代入即可求出答案.【详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以=。3．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（）．A．6 B．12 C．24 D．48答案：C【解析】因为，，所以＝＝＋＝＝，故选C．4．设，均为单位向量，且，则（）A．3 B． C．6 D．9答案：B【详解】，均为单位向量，且，则.5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－ B．0C．4 D．－1答案：A【详解】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，6．已知向量，，若向量满足，，则（）A． B． C． D．答案：D【详解】设，向量，，可得，由，可得，即，由，可得，联立方程组，解得，即.7．（多选题）已知在边长为2的等边中，向量满足，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．答案：ABD分析：先把向量，用三角形的三条边的向量进行表示，再对选项进行一一判断，即可得到答案；【详解】，对A，，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确；8．在直角梯形中，，，，为边上中点，的值为（）A． B． C． D．答案：D分析：本题首先可根据题意得出以及，然后根据为边上中点得出，最后将转化为，通过计算即可得出结果.【详解】因为，，所以，因为，所以，，因为为边上中点，所以，则，9、（多选题）关于平面向量，下列说法中不正确的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．答案：ACD【解析】对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故错；对于，向量数量积满足分配律，故对；对于，向量数量积不满足消去率，故错；对于，是以为方向的向量，是以为方向的相量，故错．10．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）答案：B【详解】已知非零平面向量，，，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错。11、（多选题）已知向量，，则（）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为答案：BC【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，对于选项B：由，可得，解得，∴，∴，故B正确；对于选项C：若，则，则，故C正确：若，对于选项D：：设与的夹角为，则，故D错误．12．（