中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题六一元二次不等式及线性分式不等式(原卷版+解析)

专题六一元二次不等式及线性分式不等式思维导图知识要点知识要点1．一元二次不等式的定义含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，一般形如a＋bx＋c＞0或a＋bx＋c＜0(a≠0)．一元二次不等式的解集(不妨设a＞0，Δ＝－4ac，x1＜x2)方程或不等式

解集

Δ＞0Δ＝0Δ＜0a＋bx＋c＝0{x1，x2}{x0}∅a＋bx＋c＞0(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，x0)∪(x0，＋∞)Ra＋bx＋c≥0(－∞，x1]∪[x2，＋∞)RRa＋bx＋c＜0(x1，x2)∅∅a＋bx＋c≤0[x1，x2]{x0}∅3.解一元二次不等式的基本步骤(1)一看：看二次项系数是否为正，若为负，将不等式两边同乘－1化为正．(2)二算：判断对应方程解的情况，若有解，求出方程的解．(3)三写：写出一元二次不等式的解集．4．分式不等式的解法先移项、通分标准化，则>0⇔f(x)·g(x)>0；≥0⇔典例解析典例解析【例1】解下列一元二次不等式．－9≥0; (2)2＋3x<0；－4x＋3<0; (4)2－x＋3≥0；(5)4－4x＋1>0; (6)－＋2x＋3<0.【变式训练1】求不等式(2－3x)(x＋3)>0的解集．【例2】已知不等式a＋bx＋2＞0的解集为，求a，b的值．【变式训练2】已知不等式＋bx＋c>0的解集为{x|x>2或x<1}．求：(1)b和c的值；(2)不等式c＋bx＋1≤0的解集．【例3】当x为什么实数时，有意义？【变式训练3】方程m＋(2m＋1)x＋m＝0有两个相异实根，则m的取值范围是________．【例4】已知一元二次不等式a＋(a－1)x＋(a－1)＜0对于所有实数x都成立，求实数a的取值范围．【变式训练4】若不等式k＋2kx＋(k＋2)<0对于一切x(x∈R)的解集为∅，求实数k的取值范围．【例5】解不等式：≥1【变式训练5】解不等式：≤0.高考链接高考链接1．(四川省2018年对口升学考试试题)一元二次不等式－1<0的解集为()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]2．不等式(＋3)(－x－12)<0的解集是()A．(－3，4) B．(－3，3)C．(－∞，－3)∪(4，＋∞) D．(3，4)3．若0<a<1，则不等式(x－a)>0的解集是()A. B.C．(－∞，a)∪ D.∪(a，＋∞)4．若＋2ax＋a＋2<0的解集为空集，则a的取值范围是．同步精练同步精练选择题1．不等式(＋1)(x＋1)2＜0的解集为()A．{－1} B．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)C．R D．∅2．不等式2x－>0的解集为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2)C．∅ D．R3．若关于x的不等式＋ax－3≤0的解集是[－1，3]，则实数a的值为()A．2 B．－2 C．3 D．－14.≥1的解集是()A．(－∞，－2]∪(1，＋∞) B．(－∞，－2]∪[1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)5．若不等式a＋bx＋2<0的解集为，则a－b的值为()A．－10 B．－14 C．－7 D．146．已知二次函数f(x)＝a＋bx＋c的图像的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分居原点的两侧，那么a，b，c的符号是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b<0，c>0 D．a<0，b>0，c<0填空题7．不等式－bx＋2<0的解集为_______．8．已知不等式＋bx＋1<0的解集为∅，则实数b的取值范围为．9．不等式≤0的解集为．解答题10．解不等式：(x－a)(x－b)>0.11．当m为何值时，方程－2(m－1)x＋3＝11有两个不相等的实数解？12．已知函数f(x)＝的定义域为R，求实数k的取值范围．专题六一元二次不等式及线性分式不等式思维导图知识要点知识要点1．一元二次不等式的定义含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，一般形如a＋bx＋c＞0或a＋bx＋c＜0(a≠0)．一元二次不等式的解集(不妨设a＞0，Δ＝－4ac，x1＜x2)方程或不等式

解集

Δ＞0Δ＝0Δ＜0a＋bx＋c＝0{x1，x2}{x0}∅a＋bx＋c＞0(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，x0)∪(x0，＋∞)Ra＋bx＋c≥0(－∞，x1]∪[x2，＋∞)RRa＋bx＋c＜0(x1，x2)∅∅a＋bx＋c≤0[x1，x2]{x0}∅3.解一元二次不等式的基本步骤(1)一看：看二次项系数是否为正，若为负，将不等式两边同乘－1化为正．(2)二算：判断对应方程解的情况，若有解，求出方程的解．(3)三写：写出一元二次不等式的解集．4．分式不等式的解法先移项、通分标准化，则>0⇔f(x)·g(x)>0；≥0⇔典例解析典例解析【例1】解下列一元二次不等式．(1)－9≥0; (2)2＋3x<0；(3)－4x＋3<0; (4)2－x＋3≥0；(5)4－4x＋1>0; (6)－＋2x＋3<0.【思路点拨】先将一元二次不等式的二次项系数化为正的，再解不等式．答案：解：(1)∵二次项系数为1>0，且方程－9＝0的解为x1＝－3，x2＝3，∴－9≥0⇒x≥3或x≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)∵二次项系数为2>0，且方程2＋3x＝0的解为x1＝0，x2＝－∴2＋3x<0⇒－<x<0，∴原不等式的解集为(3)∵二次项系数为1>0，且方程－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3，∴－4x＋3<0⇒1<x<3，∴原不等式的解集为(1，3)．(4)∵二次项系数为2>0，且方程2－x＋3＝0无解，∴原不等式的解集为R.(5)∵二次项系数为4>0，且方程4－4x＋1＝0的解为x1＝x2＝，∴4－4x＋1>0⇒x≠，∴原不等式的解集为(6)∵二次项系数为－1<0，∴将不等式两边同乘－1得－2x－3>0，方程－2x－3＝0的解为x1＝－1，x2＝3，∴－2x－3>0⇒x>3或x<－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【变式训练1】求不等式(2－3x)(x＋3)>0的解集．解：由(3x－2)(x＋3)<0得－3<x<，∴原不等式的解集为【例2】已知不等式a＋bx＋2＞0的解集为，求a，b的值．【思路点拨】先用化归思想将不等式问题转化为方程问题，再用根与系数的关系进行解答．答案：解：由题意可知－和是方程a＋bx＋2＝0的两根，则解得【变式训练2】已知不等式＋bx＋c>0的解集为{x|x>2或x<1}．求：(1)b和c的值；(2)不等式c＋bx＋1≤0的解集．解：(1)∵不等式＋bx＋c＞0的解集为{x|x＞2或x<1}，∴1，2是方程不等式＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得到b＝－(1＋2)＝－3，c＝1×2＝2.(2)∵c＋bx＋1≤0⇒2－3x＋1≤0⇒(2x－1)(x－1)≤0⇒≤x≤1，∴c＋bx＋1≤0的解集为【例3】当x为什么实数时，有意义？【思路点拨】由题意得3－x－2≥0，再解此不等式．答案：解：由题意可得3－x－2≥0⇒2＋x－3≤0⇒(2x＋3)(x－1)≤0⇒－≤x≤1，∴当x∈时，有意义．【变式训练3】方程m＋(2m＋1)x＋m＝0有两个相异实根，则m的取值范围是________．解：∵方程有两个相异实根，∴故m的取值范围为∪(0，＋∞)．【例4】已知一元二次不等式a＋(a－1)x＋(a－1)＜0对于所有实数x都成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】由题意得a<0且Δ<0.答案：解：由题意得解得∴实数a的取值范围为【变式训练4】若不等式k＋2kx＋(k＋2)<0对于一切x(x∈R)的解集为∅，求实数k的取值范围．解：(1)当k＝0时，原不等式化为2<0，其解集为∅，∴k＝0符合题意；(2)当k≠0时，要使二次不等式的解集为空集，则必须满足解得k＞0.综合(1)(2)得k的取值范围为[0，＋∞)．【例5】解不等式：≥1【思路点拨】先移项、通分化为分式形式，再化为一元二次不等式，再进行解不等式．注意：分母不为0.答案：解：－1≥0⇔⇔x≥4或x<－1.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪[4，＋∞)．【变式训练5】解不等式：≤0.解：原不等式⇔⇒x<－或x≥∴不等式的解集为高考链接高考链接1．(四川省2018年对口升学考试试题)一元二次不等式－1<0的解集为(C)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]【提示】∵－1<0，∴(x＋1)(x－1)<0，∴－1<x<1.2．不等式(＋3)(－x－12)<0的解集是(A)A．(－3，4) B．(－3，3)C．(－∞，－3)∪(4，＋∞) D．(3，4)3．若0<a<1，则不等式(x－a)>0的解集是(C)A. B.C．(－∞，a)∪ D.∪(a，＋∞)【提示】判别a的的大小关系．4．若＋2ax＋a＋2<0的解集为空集，则a的取值范围是[－1，2]．【提示】由题意Δ≤0⇒(2a)2－4(a＋2)≤0⇒－1≤a≤2.同步精练同步精练选择题1．不等式(＋1)(x＋1)2＜0的解集为(D)A．{－1} B．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)C．R D．∅2．不等式2x－>0的解集为(B)A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2)C．∅ D．R3．若关于x的不等式＋ax－3≤0的解集是[－1，3]，则实数a的值为(B)A．2 B．－2 C．3 D．－1【提示】由题意得－1和3是方程的两根，则有－1＋3＝－a，解得a＝－2.4.≥1的解集是(D)A．(－∞，－2]∪(1，＋∞) B．(－∞，－2]∪[1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)5．若不等式a＋bx＋2<0的解集为，则a－b的值为(C)A．－10 B．－14 C．－7 D．146．已知二次函数f(x)＝a＋bx＋c的图像的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分居原点的两侧，那么a，b，c的符号是(B)A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b<0，c>0 D．a<0，b>0，c<0【提示】二次函数的图像，开口，对称轴．填空题7．不等式－bx＋2b2<0的解集为___∅_____．8．已知不等式＋bx＋1<0的解集为∅，则实数b的取值范围为[－2，2]．9．不等式≤0的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．解答题10．解不等式：(x－a)(x－b)>0.解：分类讨论①a＝b时，(x－a)2>0，解集为{x|x≠a}；②a>b时，解集为{x|x>a或x<b}；③a<b时，解集为(x|x>b或x<a}．11．当m为何值时，方