(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题3.7双曲线的标准方程和性质(原卷版+解析)

专题3.7双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：4．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.5．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型1曲线方程与双曲线】【方法点拨】根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】(2023·四川南充·三模（理））设θ∈0,2π，则“方程x2A．θ∈0,π C．θ∈π,3【变式1-1】（2023·山东·高三开学考试）命题p：“3<m<5”是命题q：“曲线x2m−3−A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）若方程x22+m−y2A．−2<m<2 B．m>−2 C．m≥0 D．m≥2【变式1-3】（2023·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为x2k+1+y25−k=1k∈R，若曲线A．−1<k<5 B．k>5 C．k<−1 D．k≠−1或5【题型2利用双曲线的定义解题】【方法点拨】理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三角形问题.【例2】(2023·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线C:x29−y27=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线A．13 B．11 C．1或11 D．11或13【变式2-1】(2023·河南·一模（理））已知P为圆C：(x−5)2+y2=36上任意一点，A(−5,0)，若线段PA的垂直平分线交直线PCA．x29+C．x29−y216=1（x<0【变式2-2】(2023·全国·高二课时练习）已知F为双曲线C:x24−y29=1的左焦点，P,Q为双曲线C同一支上的两点．若|PQ|=12，点A．25 B．16 C．32 D．40【变式2-3】(2023·全国·高二课时练习）P是双曲线x29−y216=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2A．6 B．7 C．8 D．9【题型3双曲线的标准方程的求解及应用】【方法点拨】(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定的值).要特别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后求解，有必要时，要注意分焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.【例3】(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为F10,−5，F20,5，双曲线上一点P与F1A．x29−y216=1 B．【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线C：y2a2−x2b2=1A．y264−C．y29−【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，A．x29−y2=1 B．x【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习）已知点F1,F2分别是等轴双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．x22−y22=1 B．【题型4双曲线的渐近线方程】【方法点拨】根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用渐近线方程的公式求解.【例4】(2023·江西·高三开学考试（文））双曲线y2a2A．x±4y=0 B．4x±y=0C．x±2y=0 D．2x±y=0【变式4-1】(2023·河南·高三阶段练习（文））若双曲线x2a2−yA．y=±12x B．y=±3x 【变式4-2】(2023·海南高三阶段练习）若双曲线x2a2−y2bA．y=±3x B．y=±3x C．y=±1【变式4-3】(2023·河南安阳·模拟预测（文））若直线y=12x−1与双曲线C:ax2A．14 B．4 C．12【题型5求双曲线的离心率的值或取值范围】【方法点拨】求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.【例5】(2023·浙江·高二期中）已知双曲线x2a2−y2b2=1，过左焦点FA．5−1 B．3 C．2 【变式5-1】(2023·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（

）A．6 B．5 C．62 D．【变式5-2】(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线x2a2−yA．3 B．3 C．5 D．5【变式5-3】(2023·全国·高二专题练习）设F1,F2是椭圆C1:x2a12+yA．1,2 B．1,3 C．3,+【题型6双曲线中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线3x−y=0，C的右顶点坐标为1,0，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为3,5，则MA+MFA．26−1 B．26 C．26+1 【变式6-1】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2A．1 B．62 C．2 D．【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点F1(−5,0)，F2(5,0)．设点P满足|PF1|−|PF2A．7 B．8 C．9 D．10【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线x28−y24=1上的动点，F1，A．22 B．2 C．2 D．专题3.7双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：4．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.5．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型1曲线方程与双曲线】【方法点拨】根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】(2023·四川南充·三模（理））设θ∈0,2π，则“方程x2A．θ∈0,π C．θ∈π,3【解题思路】求出方程x23+【解答过程】由θ∈0,2π，方程x则sinθ<0，所以θ∈根据选项，“方程x2故选：B.【变式1-1】（2023·山东·高三开学考试）命题p：“3<m<5”是命题q：“曲线x2m−3−A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据双曲线的标准方程，满足m−35−m>0，求出【解答过程】曲线x2可得m−35−m>0，解得命题p：“3<m<5”是命题q：“曲线x2故选：A.【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）若方程x22+m−y2A．−2<m<2 B．m>−2 C．m≥0 D．m≥2【解题思路】根据双曲线的定义可知2+m与2−m同号，从而可求出m的取值范围【解答过程】因为方程x2所以2+m2−m>0，解得故选：A.【变式1-3】（2023·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为x2k+1+y25−k=1k∈R，若曲线A．−1<k<5 B．k>5 C．k<−1 D．k≠−1或5【解题思路】根据题意可得k+1<05−k>0【解答过程】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则k+1<05−k>0，解得k<−1故选：C.【题型2利用双曲线的定义解题】【方法点拨】理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三角形问题.【例2】(2023·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线C:x29−y27=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线A．13 B．11 C．1或11 D．11或13【解题思路】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.【解答过程】由双曲线方程知：a=3；根据双曲线定义知：PF1−PF故选：B.【变式2-1】(2023·河南·一模（理））已知P为圆C：(x−5)2+y2=36上任意一点，A(−5,0)，若线段PA的垂直平分线交直线PCA．x29+C．x29−y216=1（x<0【解题思路】如图所示：连接QA，根据垂直平分线知QA=QP，QC−【解答过程】如图所示：连接QA，根据垂直平分线知QA=QP，故QC−2a=6，a=3，c=5，故b=4，故轨迹方程为x2故选：B.【变式2-2】(2023·全国·高二课时练习）已知F为双曲线C:x24−y29=1的左焦点，P,Q为双曲线C同一支上的两点．若|PQ|=12，点A．25 B．16 C．32 D．40【解题思路】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【解答过程】由题意可知，a2=4,b2=9所以双曲线C:x24−y29=1的左焦点由双曲线的定义，知|PF|−|PA|=2a=4①，|QF|−|QA|=2a=4②，由①②，得|PF|+|QF|=|PQ|+8，又|PQ|=|PA|+|QA|=12，所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32．故选：C.【变式2-3】(2023·全国·高二课时练习）P是双曲线x29−y216=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把|PM|−|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求|PM|−|PN|的最大值.【解答过程】∵

x2∴a2=9b2故双曲线的两个焦点为F1(−5,0),F1(−5,0),F2|PM||PN|则|PM|−|PN|的最大值为P=P=2×3+3=故选：D.【题型3双曲线的标准方程的求解及应用】【方法点拨】(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定的值).要特别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后求解，有必要时，要注意分焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.【例3】(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为F10,−5，F20,5，双曲线上一点P与F1A．x29−y216=1 B．【解题思路】根据题意求出a,b即可求得答案.【解答过程】由题意，c=5,2a=6⇒a=3，则b=c2−故选：C.【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线C：y2a2−x2b2=1A．y264−C．y29−【解题思路】根据实轴长求得a，再结合渐近线方程求得b，即可求解【解答过程】因为实轴长为8，所以a=4，可得渐近线方程为y=±abx=±所以双曲线的标准方程为y2故选：D．【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，A．x29−y2=1 B．x【解题思路】由离心率和距离的最小值列方程组求得a,c，然后求得b后得双曲线方程．【解答过程】由已知可得ca=103，c−a=10−3，可得c=10故选：A．【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习）已知点F1,F2分别是等轴双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．x22−y22=1 B．【解题思路】由F1F2=2OP【解答过程】F1F2=2OP，Oa=b，则c=2S△PF1所以双曲线方程为x2故选：D．【题型4双曲线的渐近线方程】【方法点拨】根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用渐近线方程的公式求解.【例4】(2023·江西·高三开学考试（文））双曲线y2a2A．x±4y=0 B．4x±y=0C．x±2y=0 D．2x±y=0【解题思路】求出双曲线的标准方程即得解.【解答过程】解：由题意知，a=2，所以双曲线的标准方程为y2双曲线y24−x2故选：D．【变式4-1】(2023·河南·高三阶段练习（文））若双曲线x2a2−yA．y=±12x B．y=±3x 【解题思路】根据双曲线的离心率可得a,b之间的关系，从而可得到渐近线方程.【解答过程】双曲线C:x2a即ca=5则ba=2，故C的渐近线方程为故选：D.【变式4-2】(2023·海南高三阶段练习）若双曲线x2a2−y2bA．y=±3x B．y=±3x C．y=±1【解题思路】由题可得b=3，a=1【解答过程】双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点c,0到渐近线：从而a=1，故渐近线y=±bax故选：B.【变式4-3】(2023·河南安阳·模拟预测（文））若直线y=12x−1与双曲线C:ax2A．14 B．4 C．12【解题思路】利用两直线垂直时斜率的关系及其双曲线的渐近线方程即可求解.【解答过程】由已知得：双曲线的方程为x21a∵直线y=12x−1与双曲线的渐近线垂直，∴∴

a=2∴a=4，故选：B.【题型5求双曲线的离心率的值或取值范围】【方法点拨】求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.【例5】(2023·浙江·高二期中）已知双曲线x2a2−y2b2=1，过左焦点FA．5−1 B．3 C．2 【解题思路】设P在渐近线y=−bax上，直线FP的方程为y=ab(x+c)，联立求得【解答过程】设P在渐近线y=−bax上，直线FP由y=−baxy=a由FQ=QP，得Q为FP所以Q−因为Q在双曲线上，所以(c2e=c故选：C.【变式5-1】(2023·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（

）A．6 B．5 C．62 D．【解题思路】由题意设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则其渐近线方程为y=±【解答过程】由题意设双曲线方程为x2a2因为双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，所以2=4ba，所以所以离心率e=c故选：D.【变式5-2】(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线x2a2−yA．3 B．3 C．5 D．5【解题思路】根据渐近线方程得ba=22【解答过程】由条件可知ba所以离心率ca故选：A.【变式5-3】(2023·全国·高二专题练习）设F1,F2是椭圆C1:x2a12+yA．1,2 B．1,3 C．3,+【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出MF1,【解答过程】由题意可得，MF1+解得：MF1=因为∠F所以MF即a1亦即1e所以e2故选：A．【题型6双曲线中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线3x−y=0，C的右顶点坐标为1,0，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为3,5，则MA+MFA．26−1 B．26 C．26+1 【解题思路】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出