2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点13导数与函数的极值、最值(精讲)(原卷版+解析)

第13讲导数与函数的极值、最值知识点1函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．注：（1）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．【即学即练1】函数f(x)在区间(a，b)内可导，x0∈(a，b)，则“f′(x0)＝0”是“x0为函数f(x)的极值点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【即学即练2】(多选)己知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()A．f(x)在x＝－4时取极小值B．f(x)在x＝－2时取极大值C．x＝1．5是f(x)极小值点D．x＝3是f(x)极小值点【即学即练3】若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________．【即学即练4】已知函数f(x)＝(x2－a)ex，则“a≥－1”是“f(x)有极值”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【即学即练5】设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)，若f(x)的极小值为eq\r(e)，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．2【即学即练6】已知函数f(x)＝ax3－eq\f(1,2)x2＋x－xlnx存在两个极值点，则实数a的取值范围是________．知识点2函数的最值1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．注：（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【即学即练7】函数g(x)＝x2在区间[1,2]上的最小值和最大值分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．【即学即练8】函数f(x)＝xlnx在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e2))上的最大值是________．【即学即练9】设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)，x≥a，,x，x＜a，))若函数存在最大值，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≤eq\f(1,e) D．a＜eq\f(1,e)考点一利用导数研究函数的极值问题解题方略：1、根据函数图象判断函数极值由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．2、运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．3、已知极值(点)求参数的值或范围（1）已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．（2）导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验（一）根据函数图象判断函数极值【例1-1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)变式1：设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是（）A．B．C．D．变式2：已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的大致图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(16,3)求函数的极值【例1-2】设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点变式1：已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(a,2)x2－2x＋eq\f(5,6)，其中a∈R．若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．变式2：已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．（三）已知极值(点)求参数的值或范围【例1-3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝______.变式1：若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为()A．－1B．0C．1 D．e变式2：若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A．4B．2或6C．2 D．6变式3：函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．变式4：若是函数的极值点，函数恰好有一个零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【例1-4】函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，求a，b的值．变式1：已知函数在时极值为，则函数的单调减区间为（）A． B． C． D．变式2：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq\f(a,b)的值为()A．－eq\f(2,3)B．－2C．－2或－eq\f(2,3) D．2或－eq\f(2,3)【例1-5】若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．变式1：若函数存在极值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．变式2：若函数存在极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【例1-6】若函数f(x)＝eq\f(ax2,2)－(1＋2a)x＋2lnx(a>0)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内有极大值，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(2，＋∞)变式1：函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．变式2：已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【例1-7】若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．（四）根据极值点的个数求参数的取值范围【例1-8】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．变式1：已知函数f（x）＝e﹣x﹣ex+ax（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．（1，+∞）变式2：已知函数在定义域内有两个不同的极值点．求实数的取值范围；变式3：已知函数，若是函数的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．（﹣∞，e2）考点二利用导数研究函数的最值问题解题方略：导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．（一）求函数的最值【例2-1】函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为()A．0B.eq\f(1,e)C.eq\f(4,e4) D.eq\f(2,e2)变式1：已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x，则f(x)在闭区间[－1,5]上的最小值为，最大值为．变式2：已知奇函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)－1，x>0，,hx，x<0，))则函数h(x)的最大值为__________．变式3：已知函数f(x)＝eq\f(1－x,x)＋klnx，k<eq\f(1,e)，求函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的最大值和最小值．（二）根据函数的最值求参数【例2-2】设函数f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________________．【例2-3】若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A．[－5,0) B．(－5,0)C．[－3,0) D．(－3,0)【例2-4】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3 D．0【例2-5】若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝.变式1：已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．考点三函数极值和最值的综合问题解题方略：恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则不等式f(x)<h恒成立；(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．【例3-1】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(2,3)与x＝1时都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．变式1：已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥eq\r(e)x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．变式2：有三个条件：①函数f(x)的图象过点(0,1)，且a＝1；②f(x)在x＝1时取得极大值eq\f(11,6)；③函数f(x)在x＝3处的切线方程为4x－2y－7＝0，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．题目：已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(a,2)x2＋2x＋b存在极值，并且________．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[1,3]时，求函数f(x)的最值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．一、单选题1．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．12．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线三、填空题5．(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．6．（2023·全国·高考真题）函数的最小值为______.四、解答题7．(2023·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．8．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．9．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．10．（2023·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．11．（2023·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．12．（2023·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．13．（2023·全国·高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.14．（2023·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．15．（2023·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．第13讲导数与函数的极值、最值知识点1函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．注：（1）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．【即学即练1】函数f(x)在区间(a，b)内可导，x0∈(a，b)，则“f′(x0)＝0”是“x0为函数f(x)的极值点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】B【即学即练2】(多选)己知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()A．f(x)在x＝－4时取极小值B．f(x)在x＝－2时取极大值C．x＝1．5是f(x)极小值点D．x＝3是f(x)极小值点【解析】由导函数f′(x)的图象可得，当x＝－4时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以f(x)在x＝－4时取极小值，所以A正确；当x＝1．5时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x＝1．5是f(x)极小值点，所以C正确；而x＝－2和x＝3，左右两边的导数值同号，所以x＝－2和x＝3不是函数的极值点，所以B、D错误．故选A、C．【即学即练3】若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________．【解析】∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，函数在x＝1和x＝2处有极值，∴f′(1)＝0，f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0，eq\f(a,2)＋4b＋1＝0，∴a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)．【即学即练4】已知函数f(x)＝(x2－a)ex，则“a≥－1”是“f(x)有极值”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0，x2＋2x－a＝0，Δ＝4＋4a．若Δ＝4＋4a≤0，a≤－1，则f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≥0恒成立，f(x)为增函数，无极值；若Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，则f(x)有两个极值．所以“a≥－1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．故选B【即学即练5】设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)，若f(x)的极小值为eq\r(e)，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．2【解析】由已知得f′(x)＝eq\f(exx＋a－1,x＋a2)(x≠－a)，令f′(x)＝0，有x＝1－a，且当x＜1－a时函数f(x)单调递减，当x＞1－a时函数f(x)单调递增，∴f(x)的极小值为f(1－a)＝e1－a＝eq\r(e)，即1－a＝eq\f(1,2)，得a＝eq\f(1,2)．故选B．【即学即练6】已知函数f(x)＝ax3－eq\f(1,2)x2＋x－xlnx存在两个极值点，则实数a的取值范围是________．【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝3ax2－x－lnx，因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)有两个变号零点．由f′(x)＝0得3ax2＝x＋lnx，即3a＝eq\f(x＋lnx,x2)，令g(x)＝eq\f(x＋lnx,x2)，则g′(x)＝eq\f(－x＋1－2lnx,x3)，易知函数y＝－x＋1－2lnx是减函数，且当x＝1时，y＝0，所以当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(1)＝1，又当0＜x＜eq\f(1,e)时，g(x)＜0，当x＞1时，g(x)＞0，所以要使f′(x)有两个零点，需0＜3a＜1，即0＜a＜eq\f(1,3)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))知识点2函数的最值1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．注：（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【即学即练7】函数g(x)＝x2在区间[1,2]上的最小值和最大值分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．【解析】根据函数的单调性及最值的定义可得g(x)＝x2在[1,2]上单调递增且连续，则g(x)max＝4，g(x)min＝1．g(x)＝x2在(1,2)上不存在最小值，也不存在最大值．答案：1,4不存在【即学即练8】函数f(x)＝xlnx在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e2))上的最大值是________．【解析】由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，则得x＝eq\f(1,e)，当eq\f(1,e)＜x≤e2时，f′(x)＞0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e2))上递增，f(x)的最大值为f(e2)＝e2lne2＝2e2．【即学即练9】设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)，x≥a，,x，x＜a，))若函数存在最大值，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≤eq\f(1,e) D．a＜eq\f(1,e)【解析】显然x＜a时，f(x)＜a无最大值，x≥a时，f(x)＝eq\f(x,ex)存在最大值，f′(x)＝eq\f(1－x,ex)，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增，当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)递减，所以x＝1时，f(x)取得极大值也是最大值．f(1)＝eq\f(1,e)，因此f(x)要有最大值，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≤\f(1,e)，))所以a≤eq\f(1,e)．故选C．考点一利用导数研究函数的极值问题解题方略：1、根据函数图象判断函数极值由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．2、运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．3、已知极值(点)求参数的值或范围（1）已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．（2）导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验（一）根据函数图象判断函数极值【例1-1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D变式1：设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是（）A．B．C．D．【解析】，令则，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即于是，，则故A、B可能；对于D，，，则，与图矛盾，不可能，故选D变式2：已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的大致图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(16,3)【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，则x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两个不同的实数根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).故选C求函数的极值【例1-2】设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【解析】f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)(x>0)，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2为f(x)的极小值点．故选D变式1：已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(a,2)x2－2x＋eq\f(5,6)，其中a∈R．若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．【解析】(1)由已知，可得f′(x)＝x2＋ax－2．∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，∴f′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1．经验证，a＝－1符合题意．(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x＋eq\f(5,6)，f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，且f(－1)＝2；当x＝2时，f(x)取得极小值，且f(2)＝－eq\f(5,2)．变式2：已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．【解析】(1)当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))，则f′(x)>0，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))，则f′(x)<0，故函数在x＝eq\f(1,a)处有极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝eq\f(1,a)．（三）已知极值(点)求参数的值或范围【例1-3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝______.【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.经检验，当a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值．变式1：若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为()A．－1B．0C．1 D．e【解析】f′(x)＝aex－cosx，若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.变式2：若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A．4B．2或6C．2 D．6【解析】因为f(x)＝x(x－c)2，所以f′(x)＝3x2－4cx＋c2，又f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，所以f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，c＝2时，f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值；c＝6时，f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值．所以c＝2.变式3：函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】，，的一个零点为，由韦达定理可知，的另一个零点为，因为在处取得极大值，所以在的左侧附近大于0，右侧附近小于0，因为二次函数是开口向上的抛物线，所以，即，解得.故选：A变式4：若是函数的极值点，函数恰好有一个零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由函数，得，因是函数的极值点，则，解得，即，，令，即，解得或，所以，函数在，上为增函数，在上为减函数，又，，当时，；当时，；要使函数恰有一个零点，即只有一个交点，所以，或.故实数的取值范围为.故选：B.【例1-4】函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，求a，b的值．【解析】f′(x)＝3x2－2ax－b，由题意知f′(1)＝3－2a－b＝0，所以b＝3－2a，所以f(1)＝1－a－b＋a2＝a2＋a－2＝10，解得a＝－4或3.当a＝－4时，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，符合题意；当a＝3时，b＝－3，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，f(x)在R上是增函数，无极值点，不合题意．综上，a＝－4，b＝11.变式1：已知函数在时极值为，则函数的单调减区间为（）A． B． C． D．【解析】由函数，所以，所以，即，解得，所以，令，则，解得，令，则或.故在取极值且函数的单调减区间为.故选：C变式2：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq\f(a,b)的值为()A．－eq\f(2,3)B．－2C．－2或－eq\f(2,3) D．2或－eq\f(2,3)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝0，,1＋a＋b－a2－7a＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9，))经检验eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9))满足题意，故eq\f(a,b)＝－eq\f(2,3).【例1-5】若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．【解析】f′(x)＝3x2－4cx＋1，由f′(x)＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，∴c>eq\f(\r(3),2)或c<－eq\f(\r(3),2).变式1：若函数存在极值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】函数存在极值，，当时，＜0恒成立，单调递减，没有极值点；当时，＜0得，＞0得，函数在单调递增，在单调递减，x=是函数的极大值点.所以故选：A变式2：若函数存在极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】，因为函数存在极值点，所以存在变号零点，即，因为，所以.故选：A.【例1-6】若函数f(x)＝eq\f(ax2,2)－(1＋2a)x＋2lnx(a>0)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内有极大值，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(2，＋∞)【解析】f′(x)＝ax－(1＋2a)＋eq\f(2,x)＝eq\f(ax2－2a＋1x＋2,x)(a>0，x>0)，若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内有极大值，即f′(x)＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内有解．则f′(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内先大于0，再小于0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,f′1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,4)a－\f(1,2)2a＋1＋2,\f(1,2))>0，,a－2a＋1＋2<0，))解得1<a<2，故选C.变式1：函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜．变式2：已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由函数在区间上有极值，在区间上存在零点．，可得，解得．实数的取值范围是．故选：．【例1-7】若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－a＜x＜a时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞a或x＜－a时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a＞0且f(a)＝a3－3a3＋a＜0，解得a＞eq\f(\r(2),2).∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).（四）根据极值点的个数求参数的取值范围【例1-8】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．故选A变式1：已知函数f（x）＝e﹣x﹣ex+ax（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．（1，+∞）【解析】由题意可得，f′（x）＝﹣e﹣x﹣ex+a＝0有2个不同的实数根，即a＝ex+e﹣x有2个不同的实数根，令g（x）＝ex+e﹣x，则g′（x）＝ex﹣e﹣x在R上单调递增且g（0）＝0，故当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，且g（0）＝2，故a＞2．故选：C．变式2：已知函数在定义域内有两个不同的极值点．求实数的取值范围；【解析】由题意可知，的定义域为且令则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点由可知，当时，恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去.当时，由得，，即函数在区间上单调递增；由得，，即函数在区间上单调递减；故要满足题意，必有解得：变式3：已知函数，若是函数的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．（﹣∞，e2）【解析】，设，，则由题意可知，恒大于0或恒小于0，当时，，令，则，故在上单调递减，上单调递增，在时取得最小值（2），时，，所以有，，当时，，令，则，故在上单调递减，上单调递增，故不恒成立，故选：．考点二利用导数研究函数的最值问题解题方略：导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．（一）求函数的最值【例2-1】函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为()A．0B.eq\f(1,e)C.eq\f(4,e4) D.eq\f(2,e2)【解析】f′(x)＝eq\f(1－x,ex)，当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝eq\f(4,e4)＞0，所以当x＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.故选A变式1：已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x，则f(x)在闭区间[－1,5]上的最小值为，最大值为．【解析】f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，当－1＜x＜1或3＜x＜5时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,1)，(3,5)上为增函数，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1,3)上为减函数，f(－1)＝－16，f(3)＝0，f(1)＝4，f(5)＝20，故f(x)在闭区间[－1,5]上的最小值为－16，最大值为20.答案：－1620变式2：已知奇函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)－1，x>0，,hx，x<0，))则函数h(x)的最大值为__________．【解析】当x>0时，f′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，所以x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，所以x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，所以由已知条件得h(x)的最大值为1－e.变式3：已知函数f(x)＝eq\f(1－x,x)＋klnx，k<eq\f(1,e)，求函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的最大值和最小值．【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(－x－1－x,x2)＋eq\f(k,x)＝eq\f(kx－1,x2)．①若k≤0，则在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒有f′(x)<0，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减．②若0<k<eq\f(1,e)，则f′(x)＝eq\f(kx－1,x2)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,k))),x2)，由k<eq\f(1,e)，得eq\f(1,k)>e，则x－eq\f(1,k)<0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立，所以eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,k))),x2)<0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减．综上，当k<eq\f(1,e)时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝eq\f(1,e)＋k－1，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝e－k－1．（二）根据函数的最值求参数【例2-2】设函数f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________________．【解析】由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3)，又f(1)＝eq\f(7,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，故f(x)min＝eq\f(7,2)，∴a<eq\f(7,2).【例2-3】若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A．[－5,0) B．(－5,0)C．[－3,0) D．(－3,0)【解析】由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)＝－eq\f(2,3)，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a＜0，,a＋5>0，))解得a∈[－3,0)．【例2-4】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3 D．0【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.故选A【例2-5】若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝.【解析】f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)＜0，当x∈(2,3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.变式1：已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)＝0，得x＝1．当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0．∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)max＝f(1)＝－1．∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1．(2)f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，x∈(0，e]，eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))．①若a≥－eq\f(1,e)，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．②若a<－eq\f(1,e)，令f′(x)>0得a＋eq\f(1,x)>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－eq\f(1,a)；令f′(x)<0得a＋eq\f(1,x)<0，结合x∈(0，e]，解得－eq\f(1,a)<x≤e．从而f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上单调递减，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))．令－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－3，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－2，即a＝－e2．∵－e2<－eq\f(1,e)，∴a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2．考点三函数极值和最值的综合问题解题方略：恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则不等式f(x)<h恒成立；(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．【例3-1】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(2,3)与x＝1时都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．【解析】(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)－eq\f(4,3)a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－eq\f(1,2)，b＝－2．所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\f(2,3)或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))－eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))和(1，＋∞)，单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))．(2)f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋c，x∈[－1,2]，由(1)知，当x＝－eq\f(2,3)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(22,27)＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2>f(2)，即c2>2＋c．解得c<－1或c>2．故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．变式1：已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥eq\r(e)x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．【解析】(1)∵f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a(x>0)，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f′(x)≥0，即eq\f(1,x)＋x－a≥0恒成立，∴a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，而x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，∴a≤2．即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a的取值范围是(－∞，2]．(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a＝eq\f(x2－ax＋1,x)(x>0)，∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，∴f(x2)－f(x1)＝lneq\f(x2,x1)＋eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))－a(x2－x1)＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))eq\f(1,x1x2)＝lneq\f(x2,x1)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)－\f(x1,x2)))，设t＝eq\f(x2,x1)(t≥eq\r(e))，令h(t)＝lnt－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))(t≥eq\r(e))，则h′(t)＝eq\f(1,t)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,t2)))＝－eq\f(t－12,2t2)<0，∴h(t)在[eq\r(e)，＋∞)上单调递减，∴h(t)≤h(eq\r(e))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(e)＋\f(\r(e),e)))，故f(x2)－f(x1)的最大值为eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(e)＋\f(\r(e),e)))．变式2：有三个条件：①函数f(x)的图象过点(0,1)，且a＝1；②f(x)在x＝1时取得极大值eq\f(11,6)；③函数f(x)在x＝3处的切线方程为4x－2y－7＝0，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．题目：已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(a,2)x2＋2x＋b存在极值，并且________．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[1,3]时，求函数f(x)的最值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【解析】选①：(1)f(0)＝b＝1，所以a＝b＝1，故f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x＋1．(2)由(1)知f′(x)＝x2＋x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)＞0，所以f(x)单调递增，故f(x)max＝f(3)＝eq\f(41,2)，f(x)min＝f(1)＝eq\f(23,6)．选②：(1)因为f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(a,2)x2＋2x＋b，所以f′(x)＝x2＋ax＋2，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(1,3)×13＋\f(a,2)×12＋2×1＋b＝\f(11,6)，,f′1＝12＋a＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，))故f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋2x＋1，经检验f(x)在x＝1时取得极大值，故符合题意，所以f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋2x＋1．(2)由(1)知f′(x)＝x2－3x＋2，令f′(x)＝x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以x∈[1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(2,3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，则f(1)＝eq\f(1,3)－eq\f(3,2)＋2＋1＝eq\f(11,6)，f(2)＝eq\f(1,3)×23－eq\f(3,2)×22＋2×2＋1＝eq\f(5,3)，f(3)＝eq\f(1,3)×33－eq\f(3,2)×32＋2×3＋1＝eq\f(5,2)，所以f(x)min＝eq\f(5,3)，f(x)max＝eq\f(5,2)．选③：(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝\f(5,2)，,f′3＝2，))又因为f′(x)＝x2＋ax＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝\f(1,3)×33＋\f(a,2)×32＋2×3＋b＝\f(5,2)，,f′3＝32＋3a＋2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1.))所以f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋2x＋1．(2)由(1)知，f′(x)＝x2－3x＋2，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，所以x∈[1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(2,3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又因f(1)＝eq\f(11,6)，f(2)＝eq\f(5,3)，f(3)＝eq\f(5,2)，所以f(x)max＝f(3)＝eq\f(5,2)，f(x)min＝f(2)＝eq\f(5,3)．一、单选题1．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.2．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D3．（2023·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D二、多选题4．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【解析】由题，，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、填空题5．(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【解析】，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.6．（2023·全国·高考真题）函数的最小值为______.【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.四、解答题7．(2023·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】（1）的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.（2）由（1）可得和的最