2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.2等比数列的前n项和公式(精练)(原卷版+解析)

4.3.2等比数列的前n项和公式（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（

）A．31 B． C． D．632．(2023·四川·模拟预测（文））已知为数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．3．(2023·陕西宝鸡·二模（文））已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（

）A．1 B．2C．或1 D．或24．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．5．(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（

）年其投入资金开始超过万元.（参考数据：，，）A． B． C． D．6．(2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，公比，若，的最小值为31，则的值为（

）A． B． C．155 D．7．(2023·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．108．(2023·全国·模拟预测）公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前n项和为，则（

）A．-1 B．0 C．2021 D．2022二、多选题9．(2023·湖南·高二期中）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则下列结论正确的是（

）A．若数列是正项等比数列，则数列是等差数列B．若，，则C．若，，则D．若，则10．(2023·湖南·高三开学考试）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（

）A．B．甲小组募得捐款为9550元C．从第7天起，总有D．且三、填空题11．(2023·广西河池·高二期末（理））观察如图的数阵，根据数阵排列的规律，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是__________.12．(2023·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．四、解答题13．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前n项和为．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．14．(2023·广东佛山·高二期中）已知等差数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．B能力提升15．(2023·内蒙古包头·高三期末（理））已知数列满足，.(1)记，写出，，并求数列的通项公式；(2)求的前12项和.16．(2023·山东·高三开学考试）设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.C综合素养17．(2023·全国·高二专题练习）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．18．(2023·河北邢台·高三开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.(1)求数列、的通项公式.(2)求数列的前n项和.4.3.2等比数列的前n项和公式（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（

）A．31 B． C． D．63答案：C【详解】∵成等差数列，∴，∴，即，解得或，又∵，∴，∴，故选：C.2．(2023·四川·模拟预测（文））已知为数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．答案：D【详解】因为，所以数列为等比数列，公比，所以，解得：，所以故选：D3．(2023·陕西宝鸡·二模（文））已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（

）A．1 B．2C．或1 D．或2答案：A【详解】由解得.因为是与2的等差中项，所以.把代入得：，消去得：，解得.故选：A．4．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．答案：A【详解】当时，，当时，，因为数列为等比数列，所以，得，所以，故选：A5．(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（

）年其投入资金开始超过万元.（参考数据：，，）A． B． C． D．答案：C【详解】设该公司经过年投入的资金为万元，则，由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，由可得，因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元.故选：C.6．(2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，公比，若，的最小值为31，则的值为（

）A． B． C．155 D．答案：D【详解】由题可得，，令，则，又，故，因此，即，易知当时，有最大值，为，所以的最小值为，所以，解得.故选：D．7．(2023·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：C【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，…，以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，即，所以，因为，所以数列为递增数列，又，，所以n的最小值为9．故选：C．8．(2023·全国·模拟预测）公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前n项和为，则（

）A．-1 B．0 C．2021 D．2022答案：B【详解】解：由题意可知，又，因此，故，故选：B.二、多选题9．(2023·湖南·高二期中）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则下列结论正确的是（

）A．若数列是正项等比数列，则数列是等差数列B．若，，则C．若，，则D．若，则答案：AC【详解】A：不妨设正项等比数列的通项公式，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故A正确；B：因为，所以，即，解得或．故B不正确；C：若，，则，注意到，所以，所以C正确；D：由得，所以，当时，，，所以D不正确．故选：AC.10．(2023·湖南·高三开学考试）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（

）A．B．甲小组募得捐款为9550元C．从第7天起，总有D．且答案：AC【详解】由题可知且，设代表第天甲小组募得捐款，且，对于甲小组，，所以，所以，所以且，所以，故选项B不正确；设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，，所以，，故选项D错误；因为，故该选项A正确；选项C，令，所以，而当时，，所以数列为递增数列，因此，所以，故选项C正确.故选：AC三、填空题11．(2023·广西河池·高二期末（理））观察如图的数阵，根据数阵排列的规律，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是__________.答案：1041【详解】该数阵是由从1开始的正奇数构成的，第1行有个数，第2行有个数，第3行有个数，第4行有个数，故第行有个数，故第1行到第9行共有（个）数，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是从1开始的第个奇数，故该数为.故答案为：104112．(2023·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．答案：②④【详解】由，两边都除以，可得，即，又，故，所以是首项为4公比为2的等比数列，故①错误；所以，解得，所以为严格递增数列，故②正确；的前n项和，，两式相减得，所以，故③错误；由可得，所以的前n项和，故④正确．故答案为：②④.四、解答题13．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前n项和为．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．答案：(1)6(2)1或（1）依题意，由于，所以两式相除得，.（2）依题意，即，，解得或.14．(2023·广东佛山·高二期中）已知等差数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．答案：(1)；(2).(1)设公差为，由得，，解得，∴；(2)由得，∴.B能力提升15．(2023·内蒙古包头·高三期末（理））已知数列满足，.(1)记，写出，，并求数列的通项公式；(2)求的前12项和.答案：(1)，，(2)(1)解：由题意得：当时，①当时，②由②，即，③把③代入①，得故，且，，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故.(2)把①代入②，得，且所以数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故，于是.16．(2023·山东·高三开学考试）设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.答案：(1)(2)（1）解：因为是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，当时，当时，所以，当时也成立，所以.（2）解：由（1）可知，记数列的前项和为，所以，所以，所以，所以.C综合素养17．(2023·全国·高二专题练习）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．答案：(1