高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．82．(2023·北京·高考真题（理））“十二平均律”

是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率(%)2．252．42．732．88某人在该段时间存入10000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（

）元．A．10373 B．10396 C．10422 D．104564．(2023·四川凉山·二模（文））正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（

）A． B． C． D．以上都不正确5．(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．86．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列满足，则以下说法正确的个数（

）①②；③对任意正数，都存在正整数使得成立④A．1 B．2 C．3 D．48．(2023·浙江湖州·模拟预测）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（

）．A．是递增数列 B．是递减数列C． D．数列的最大项为和11．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，数列的前n项和为，且，则（

）A． B．C．数列为单调递增的等差数列 D．，正整数n的最小值为3112．(2023·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（

）A． B．C． D．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.14．(2023·北京·高考真题（理））若等差数列和等比数列满足，，则_______.15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．16．(2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(2023·北京·高考真题（文））设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．(2)若数列的前m项和，求m的值．19．(2023·全国·高考真题（理））为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和.20.(2023·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：(1)求、、；(2)将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，①证明：是等差数列；②设数列的前m项和为，求证：．21．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．若，且是等比数列，求k的值，并求．22．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求证：．专题7.7《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案：D【解析】分析：根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为，解得：，所以．故选：D．2．(2023·北京·高考真题（理））“十二平均律”

是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．答案：D【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.3．(2023·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率(%)2．252．42．732．88某人在该段时间存入10000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（

）元．A．10373 B．10396 C．10422 D．10456答案：D【解析】分析：先求出存期两年的利息与本金和，再求得利息税，作差即可.【详解】由题意存期两年的利息与本金为10000×(1＋2×2.4%)，利息税为10000×2×2.4%×5%，所以到期的本利和为10000×(1＋2×2.4%)－10000×2×2.4%×5%＝10456．故选：.4．(2023·四川凉山·二模（文））正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（

）A． B． C． D．以上都不正确答案：C【解析】分析：利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.【详解】设等差数列公差为，则，又，，均为正项数列，.故选：C5．(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．8答案：C【解析】【详解】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.6．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据题意设，所以，，所以，，构成等比数列，即，求出即可求解.【详解】设等差数列的公差为，所以，所以，，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，即，，构成等比数列，所以，解得，（舍去），所以.故选：A.7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列满足，则以下说法正确的个数（

）①②；③对任意正数，都存在正整数使得成立④A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】分析：利用二次函数的性质及递推关系得，然后作差，可判断①，已知等式变形为，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】因为，若，则，∴，∴，①错误；由已知，∴，②正确；由及①得，，∴，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，③正确；(i)已知成立，(ii)假设，则，又，∴，由数学归纳法思想得④错误．故选：B．8．(2023·浙江湖州·模拟预测）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：B【解析】分析：将化为，根据数列的单调性列式，解不等式得到的范围，从而得的范围，再根据可得的范围，由此可判断①②；由，得，利用裂项求和法求出，再根据单调性及首项，可得的范围，由此可判断③④.【详解】对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且，∴，解得，∴．∴．∵，∴．则①成立，对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且，∴，解得，∴．∴．故②成立.又由，可得：．∴．∵，∴．对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立；对于④，当时，因为，∴，即，∴．则，故④成立.故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．答案：BC【解析】分析：由条件变形，先求的通项公式，再判断选项【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，，则．故B，C正确，A错误,,两式相减得：，故D错误．故选：BC10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（

）．A．是递增数列 B．是递减数列C． D．数列的最大项为和答案：BCD【解析】分析：根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.【详解】解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；当时，，当时，由，得，两式相减得：，又，适合上式，所以，故C正确；因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；故选：BCD11．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，数列的前n项和为，且，则（

）A． B．C．数列为单调递增的等差数列 D．，正整数n的最小值为31答案：BCD【解析】分析：对AB，根据计算判断即可；对C，根据递推公式可得判断即可；对D，结合与，求解可得，进而求得，再求解即可【详解】对AB，因为，所以，解得，则，，所以，，所以A选项错误，B选项正确；对C，因为，即，所以.又，所以数列为单调递增的等差数列，所以C选项正确；对D，因为，所以，所以，解得.又，所以正整数n的最小值为31，所以D选项正确，故选：BCD.12．(2023·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】分析：分析题意，可求得的表达式，从而得的表达式，逐项验证即可.【详解】解：由题意可知，，故B正确；，所以，故A正确；，故D正确；所以，故C不正确．故选：ABD.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.答案：100【解析】分析：根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】得14．(2023·北京·高考真题（理））若等差数列和等比数列满足，，则_______.答案：【解析】分析：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.15．(2023·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．答案：1007【解析】分析：由题意可知，数列满足，再根据与2022的大小关系确定数列共有135项，进而求得中位数即可【详解】由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，即，所以，当时，，当时，，所以，数列共有135项，因此中位数为第68项，.故答案为：100716．(2023·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．答案：【解析】分析：先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.【详解】因为，且对于任意恒成立，所以对于任意恒成立，即，令，则，因为，，，且对于任意恒成立，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(2023·北京·高考真题（文））设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.答案：（I）；（II）.【解析】分析：（I）设公差为，根据题意可列关于的方程组,求解，代入通项公式可得；（II）由（I）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴18.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．(2)若数列的前m项和，求m的值．答案：(1)证明见解析(2)8【解析】分析：（1）根据与的关系式化简证明；（2）由（1）得数列的通项公式为．所以，继而求和计算.(1)当时，，．当时，，两式相减得，即，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由（1）得，，当时，，数列的通项公式为．，，令，得，解得．19．(2023·全国·高考真题（理））为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）1893.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1000项和．试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为20.(2023·江苏无锡·模拟预测）已知数列满足：(1)求、、；(2)将数列中下标为奇数的项依