备考2025届高考数学一轮复习讲义第二章函数第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值课标要求命题点五年考情命题分析预料借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.确定函数的单调性（单调区间）2024北京T4；2024全国卷甲T4；2024全国卷ⅡT9本讲每年必考，命题稳定.命题热点有探讨函数的单调性，利用函数的单调性比较大小、解不等式、求最值等，也常与函数的奇偶性、周期性及对称性综合命题.题型既有选择题、填空题，也有解答题（常与导数综合命题），单独考查时难度不大，与导数综合时难度中等偏上.预料2025年高考命题趋势变更不大，备考时重点进行常规题型训练，并适当关注创新性命题.函数单调性的应用2024新高考卷ⅠT4；2024新高考卷ⅡT6；2024新高考卷ⅠT8；2024新高考卷ⅡT7；2024全国卷ⅢT11与函数的最值（值域）有关的问题2024北京T141.函数的单调性单调递增单调递减定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，假如∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有①f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递增.特殊地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.当x1＜x2时，都有②f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递减.特殊地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.图象描述自左向右图象是③上升的自左向右图象是④下降的留意（1）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.（2）“函数f（x）的单调区间为M”与“函数f（x）在区间N上单调”是两个不同的概念，明显N⊆M.（3）留意“增（减）函数”与“单调递增（减）”的区分，只有在定义域上单调递增（减），才能称它是增（减）函数.规律总结1.函数单调性的两个等价变形若∀x1，x2∈D（x1≠x2），则（1）f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（（2）f（x1）－f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2.函数单调性的常用结论（1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；（2）当f（x）≠0时，函数f（x）与－f（x），1f（3）复合函数y＝f（g（x））的单调性与y＝f（t），t＝g（x）的单调性有关，即“同增异减”.3.对勾函数y＝ax＋bx（a＞0，b＞0如图，（1）单调性：增区间为（－∞，－ba），（ba，＋∞）；减区间（－ba，0），（0，（2）最值：当x＞0时，函数y＝ax＋bx在x＝ba处取得最小值2ab；当x＜0时，函数y＝ax＋bx在x＝－ba处取得最大值留意对勾函数y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）的图象有两条渐近线：x＝0，y＝ax2.函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为D，假如存在实数M满意条件（1）∀x∈D，都有⑤f（x）≤M；（2）∃x0∈D，使得f（x0）＝M.（1）∀x∈D，都有f（x）≥M；（2）∃x0∈D，使得f（x0）＝M.结论M是函数f（x）的最大值.M是函数f（x）的⑥最小值.留意闭区间上的连续函数确定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值确定在端点处取得.1.以下说法正确的是（D）A.对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数B.函数y＝1x的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞C.若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）D.闭区间上的单调函数，其最值确定在区间端点处取到2.[教材改编]函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（B）A.（0，＋∞） B.（－∞，0） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）3.[教材改编]y＝2x+1x－3的值域为（－∞，2）∪（解析y＝2x+1x－3＝2（x－3）+7x－3＝2＋7x－3，明显7x4.y＝2x－x－1的值域为[158，＋∞解析设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2（t2＋1）－t＝2（t－14）2＋158，由t≥0，可得函数的值域为[15研透高考明确方向命题点1确定函数的单调性（单调区间）例1（1）[2024北京高考]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（C）A.f（x）＝－lnx B.f（x）＝1C.f（x）＝－1x D.f（x）＝3｜x－解析对于A，因为函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝－lnx在（0，＋∞）上单调递减，所以A不符合要求；对于B，因为f（x）＝12x＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，所以B不符合要求；对于C，由反比例函数的图象可知，f（x）＝－1x在（0，＋∞）上单调递增，所以C符合要求；对于D，当0＜x＜1时，y＝3｜x-1｜＝31-x在（0，1）上单调递减，所以D（2）[全国卷Ⅱ]函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（D）A.（－∞，－2） B.（－∞，1）C.（1，＋∞） D.（4，＋∞）解析由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4.因此，函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的定义域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.（先求函数f（x）的定义域）易知函数y＝x2－2x－8在（－∞，－2）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，函数y＝lnt为（0，＋∞）上的增函数，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（4，＋∞）.故选D.（3）探讨函数f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，解析解法一（导数法）f'（x）＝a（x－1当a＞0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减；当a＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增.解法二（定义法）设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（x－1+1x－1）＝a（1＋1x－f（x2）＝a（1＋1x1－1）－a（1＋1由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减；当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.方法技巧推断函数的单调性的方法（1）定义法；（2）图象法；（3）导数法；（4）性质法.训练1（1）函数g（x）＝x·｜x－1｜＋1的单调递减区间为（B）A.（－∞，12] B.[12，C.[1，＋∞） D.（－∞，12）∪[1，＋∞）解析g（x）＝x·｜x－1｜＋1＝x2－x+1，x≥1，（2）[多选]下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（ABC）A.y＝ex－e－x B.y＝lgx2C.y＝2x＋2cosx D.y＝x解析∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；当x＞0时，y＝lgx2＝2lgx，此时函数在（0，＋∞）上单调递增，故B正确；对于选项C，y'＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；y＝x2＋x－2的定义域为（－∞，－2]∪[1，＋∞），故命题点2函数单调性的应用角度1比较大小例2（1）[2024厦门市湖滨中学模拟改编]已知定义在R上的奇函数f（x）满意f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1）时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（xf（112）的大小关系是（AA.f（－152）＞f（4）＞f（112） B.f（－152）＞f（112）＞C.f（112）＞f（4）＞f（－152） D.f（4）＞f（112）＞f（解析因为x∈[0，1）时，f（x1）－f（x2）x1－x2f（x）为奇函数，所以f（x）在（－1，1）上单调递增.由f（x＋2）＝f（x）可得f（x）的周期为2，所以f（－152）＝f（－152＋2×4）＝f（12），f（4）＝f（0），f（112）＝f（112－2×3）＝f（－12），所以f（12）＞f（0）＞f（－12），即f（－152）＞f（4（2）[2024吉林长春东北师大附中校考改编]函数f（x）的定义域为（0，＋∞），对于∀x，y∈（0，＋∞），f（xy）＝f（x）＋f（y），且当x＞1时，f（x）＜0.则a＝f（sin3），b＝f（ln3），c＝f（21.5）的大小关系是（A）A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a解析设∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则x2x1＞1，f（x2x1）＜0.因为f（x2）－f（x2x1·x1）－f（x1）＝f（x2x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）为减函数.因为0＜sin3＜1＜ln3＜2＜21.5，所以f（sin3）＞f（ln3）＞f（21.5），即a方法技巧利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，应先将自变量的值转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性求解.角度2求解不等式例3（1）[全国卷Ⅰ]函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满意－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（D）A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]解析∵函数f（x）为奇函数，且f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1，由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1），（将常数转化为函数值）又函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.（2）[2024安徽名校联考]设函数f（x）＝x2－12｜x｜+1，则满意f（x＋2）＞f（2x－3）的xA.（－∞，5） B.（13，＋∞C.（13，5） D.（－∞，13）∪（5，解析f（x）＝x2－12｜x｜+1的定义域为R，∵f（－x）＝（－x）2－12f（x），∴f（x）为偶函数.由f（x＋2）＞f（2x－3）可得f（｜x＋2｜）＞f（｜2x－3｜），又当x＞0时，f（x）＝x2－12x+1单调递增，∴｜x＋2｜＞｜2x－3｜，即（x＋2）2＞（2x－3）2，解得13＜x方法技巧利用函数的单调性求解或证明不等式的策略（1）将不等式转化为f（x1）＞f（x2）的形式，（2）依据函数f（x）的单调性“脱去”函数符号“f”化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式求解，留意必需在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.角度3已知函数单调性求参数的值或取值范围例4（1）[2024新高考卷Ⅰ]设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（D）A.（－∞，－2] B.[－2，0）C.（0，2] D.[2，＋∞）解析由题意得y＝x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，所以a2≥1，解得a≥2.故选（2）[2024江苏省响水中学检测]已知函数f（x）＝｜x－a+3|,x≥1，A.（0，1） B.（3，6） C.（1，4] D.（1，2]解析∵函数f（x）＝｜x－a+3|,x≥1，logax，0<x<1在其定义域上单调递增，∴a>1，a－3≤1方法技巧已知函数的单调性求参数的取值范围的方法依据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图象的升降状况，再结合图象求解.留意若分段函数是单调函数，则不仅要各段上函数单调性一样，还要在整个定义域内单调，即要留意分界点处的函数值大小.训练2（1）[2024浙江省宁波市育才高级中学模拟]已知函数f（x）＝12－ax在[0，1）上单调递增，则a的取值范围是（A.（0，2] B.（0，2）C.（0，＋∞） D.（－∞，0）解析设t＝2－ax，由已知易知t＝2－ax在[0，1）上单调递减，且在区间[0，1）上大于零恒成立，所以a>0，－a+2≥0⇒0＜（2）[2024江苏南京模拟]已知f（x）＝ex－4，x≤4f（2x）与f（x2）的大小关系是（B）A.f（2x）≤f（x2） B.f（2x）≥f（x2）C.f（2x）＝f（x2） D.不确定解析由函数f（x）＝ex－4，x（－∞，4）上单调递增，在[4，16]上单调递减，在（16，＋∞）上单调递增，作出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图所示.当x≥0时，令2x＝x2，得x＝2或x＝4.结合图象可知，当0≤x＜2时，4＞2x＞x2≥0，则f（2x）＞f（x2），当2≤x≤4时，4≤2x≤x2≤16，则f（2x）≥f（x2），当x＞4时，2x＞x2＞16，则f（2x）＞f（x2）.综上所述，当x≥0时，f（2x）≥f（x2）.故选B.（3）[2024山东模拟]不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2的解集是（A）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B.（－1，3）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析由不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2，得（x2）3＋x2＞（2x＋3）3＋（2x＋3）.设函数f（t）＝t3＋t，易知f（t）在R上单调递增，因为f（x2）＞f（2x＋3），所以x2＞2x＋3，解得x＞3或x＜－1.故选A.命题点3与函数的最值（值域）有关的问题例5（1）函数f（x）＝x2－x+1x的值域为（－∞，－3]∪[解析f（x）＝x2－x+1x＝x－1＋1x，由对勾函数y＝x＋1x的图象可知，－2]∪[2，＋∞），所以函数f（x）的值域为（－∞，－3]∪[1，＋∞）.命题拓展[变条件]函数f（x）＝x2－x+1x+1的值域为（－∞，－23－3]∪[23解析令x＋1＝t（t≠0），则x2－x+1x+1＝（t－1）2－（t－1）+1t＝t2－3t+3t＝t－3＋3t，由对勾函数y＝t＋3t的图象可知，t＋3t∈（－∞，－23]∪[（2）[2024北京高考]设函数f（x）＝－ax+1,x＜a，（x－2）2，x≥a.若解析当a＝0时，函数f（x）＝1，x<0，（x－2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一个取值可以为0；当a＜0时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时函数f（x）不行能存在最小值；当0＜a≤2时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，则f（x）＝（x－2）2∈[0，＋∞），若函数f（x）存在最小值，则－a2＋1≥0，得0＜a≤1；当a＞2时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，则f（