山西专版2024春八年级数学下册第五章分式与分式方程学情评估新版北师大版

Page8第五章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程是分式方程的是()A．x＋1＝1 B.eq\f(x＋1,2)＝1 C.eq\f(x＋1,x＋2)＝1 D.eq\f(x＋1,π)＝12．若分式eq\f(x,x＋3)有意义，则x的取值范围是()A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠eq\f(1,3) D．x≠33．若a≠b，则下列各式从左到右成立的是()A.eq\f(a＋2,b＋2)＝eq\f(a,b) B.eq\f(a,b)＝eq\f(a（m＋1）,b（m＋1）) C.eq\f(a2,b2)＝eq\f(a,b) D.eq\f(\f(1,2)a,\f(1,2)b)＝eq\f(a,b)4．下列分式中，是最简分式的是()A.eq\f(a2－b2,a＋b) B.eq\f(15,10x) C.eq\f(4ab,10a2) D.eq\f(x,x＋y)5．在求解方程eq\f(5,x－1)－6＝eq\f(3x,x－1)时，在方程两边同乘(x－1)，把原方程化为5－6(x－1)＝3x，这一变形过程体现的数学思想主要是()A．类比思想 B．函数思想 C．方程思想 D．转化思想6．计算eq\f(1－x2,x2－2x＋1)－eq\f(x,1－x)的结果是()A．－eq\f(1,x－1) B.eq\f(1,x－1) C.eq\f(1,x＋1) D．－eq\f(1,x＋1)7．假如把分式eq\f(x,x＋y)中的x和y都扩大2倍，那么分式的值()A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍C．不变 D．缩小为原来的eq\f(1,2)8．定义a⊗b＝2a＋eq\f(1,b)，则方程3⊗x＝4⊗2的解为()A．x＝eq\f(1,5) B．x＝eq\f(2,5) C．x＝eq\f(3,5) D．x＝eq\f(4,5)9.若分式方程eq\f(x＋1,x－4)＝2＋eq\f(a,x－4)有增根，则a的值为()A．5 B.4 C．3 D．010．下面是一道分式化简的过程．eq\f(x2＋6x＋9,x2－9)＋eq\f(3x,3x－x2)＝eq\f(（x＋3）2,A（x＋3）)＋eq\f(3x,B（3－x）)＝eq\f(x＋3,x－3)△eq\f(3,x－3)＝eq\f(▲,x－3).则下列说法正确的是()A．A＝x B．B＝x＋3 C．△表示“＋”号 D．▲＝x二、填空题(每题3分，共15分)11．分式eq\f(1,ab)和eq\f(a,3b2)的最简公分母是________．12．若分式eq\f(a－1,3a＋3)的值为0，则a的值为________．13．若x2＋3x＝－1，则x－eq\f(1,x＋1)＝________．14．若关于x的分式方程eq\f(2x－b,x－3)＝4的解是非负数，则b的取值范围是________________．15．山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的养分价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到12600kg，经过改良后，平均每亩产量是原来的1.5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数削减25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为xkg，则可列方程为______________________．三、解答题(共75分)16．(8分)化简．(1)eq\f(m－1,m)÷eq\f(m2－1,m2)；(2)eq\f(12,m2－9)－eq\f(2,m－3)；(3)a－b－eq\f(a2＋2ab＋b2,a＋b)；(4)eq\f(x2－1,x2－2x＋1)·eq\f(x－1,x2＋x)＋eq\f(2,x).17．(8分)解方程：(1)eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(2,x＋1)；(2)eq\f(3,x－1)－eq\f(x＋2,x（x－1）)＝0.18．(7分)先化简，再求值：eq\f(a,a－1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a2－1)))，其中a＝.19.(9分)下面是小彬同学进行一个式子化简的过程，请细致阅读并完成相应任务．eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)－eq\f(2x＋1,2x＋6)＝eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq\f(2x＋1,2（x＋3）) 第一步＝eq\f(x－3,x＋3)－eq\f(2x＋1,2（x＋3）) 其次步＝eq\f(2（x－3）,2（x＋3）)－eq\f(2x＋1,2（x＋3）) 第三步＝2x－6－2x－1 第四步＝－7. 第五步任务一：以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________________________________________________________________________；任务二：本题化简过程是否正确？答：________；假如正确，请写出第四步变形的依据；假如错误，请写出该式子化简的正确步骤．20．(9分)已知关于x的分式方程eq\f(x,x－2)－eq\f(a,2＋x)＝eq\f(x2,x2－4)无解，求a的值．21．(10分)小张和同学相约“五一”到离小张家2400米的电影院看电影，到电影院后，发觉电影票忘带了，此时离电影起先还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度；(2)假如小张在家取票和找寻“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影起从前赶到电影院？请说明理由．22．(12分)为了维护交通平安，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应当佩戴平安头盔．某商店用1800元购进一批电动自行车头盔，销售发觉供不应求，于是，又用7200元再购进一批头盔，其次批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．(1)第一批头盔的进货单价是多少元？(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？23．(12分)阅读材料若分式A与分式B的差等于它们的积，即A－B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．例如：eq\f(1,x＋1)与eq\f(1,x＋2)，∵eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,x＋2)＝eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)，eq\f(1,x＋1)×eq\f(1,x＋2)＝eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)，∴eq\f(1,x＋2)是eq\f(1,x＋1)的“关联分式”．解决问题(1)分式eq\f(2,a2＋1)________eq\f(2,a2－1)的“关联分式”(填“是”或“不是”)．(2)和谐小组成员在求分式eq\f(1,x2＋y2)的“关联分式”时，用了以下方法：解：设eq\f(1,x2＋y2)的“关联分式”为B，则eq\f(1,x2＋y2)－B＝eq\f(1,x2＋y2)×B，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2＋y2)＋1))B＝eq\f(1,x2＋y2)，∴B＝eq\f(1,x2＋y2＋1).即分式eq\f(1,x2＋y2)的“关联分式”为eq\f(1,x2＋y2＋1).请你仿照和谐小组成员的方法求分式eq\f(a－b,2a＋3b)的“关联分式”．拓展延长(3)视察(1)(2)的结果找出规律，干脆写出分式eq\f(y,x)的“关联分式”：________．

答案一、1.C2.A3.D4.D5.D6.A7.C8.B9.A10．D二、11.3ab212．1思路点睛：分式的值为0，则分子为0，分母不为0.13．－2点拨：∵x2＋3x＝－1，∴x2＝－3x－1.∴x－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(x2＋x－1,x＋1)＝eq\f(－3x－1＋x－1,x＋1)＝eq\f(－2x－2,x＋1)＝－2.14．b≤12且b≠615.eq\f(12600,x)－25＝eq\f(12600,1.5x)三、16.解：(1)原式＝eq\f(m－1,m)·eq\f(m2,（m＋1）（m－1）)＝eq\f(m,m＋1).(2)原式＝eq\f(12,（m＋3）（m－3）)－eq\f(2（m＋3）,（m＋3）（m－3）)＝eq\f(6－2m,（m＋3）（m－3）)＝eq\f(2（3－m）,（m＋3）（m－3）)＝－eq\f(2,m＋3).(3)原式＝a－b－eq\f(（a＋b）2,a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.(4)原式＝eq\f(（x＋1）（x－1）,（x－1）2)·eq\f(x－1,x（x＋1）)＋eq\f(2,x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x)＝eq\f(3,x).17．解：(1)去分母，得x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)，去括号，得x2＋x－x2＋1＝2x－2，解得x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的解．(2)去分母，得3x－(x＋2)＝0，解得x＝1,检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.∴x＝1是原分式方程的增根，即原分式方程无解．18．解：原式＝eq\f(a,a－1)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a2－1,（a＋1）（a－1）)＋\f(1,（a＋1）（a－1）)))＝eq\f(a,a－1)÷eq\f(a2,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(a,a－1)·eq\f(（a＋1）（a－1）,a2)＝eq\f(a＋1,a).当a＝eq\r(2)时，原式＝eq\f(\r(2)＋1,\r(2))＝eq\f(\r(2)＋2,2).19．解：任务一：三；分式的基本性质任务二：否eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)－eq\f(2x＋1,2x＋6)＝eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq\f(2x＋1,2（x＋3）)＝eq\f(x－3,x＋3)－eq\f(2x＋1,2（x＋3）)＝eq\f(2（x－3）,2（x＋3）)－eq\f(2x＋1,2（x＋3）)＝eq\f(2x－6－（2x＋1）,2（x＋3）)＝eq\f(2x－6－2x－1,2（x＋3）)＝－eq\f(7,2x＋6).20．解：方程两边都乘(x－2)(x＋2)，得x(x＋2)－a(x－2)＝x2，化简，得(a－2)x＝2a.①若分式方程去分母得到的方程无解，则a－2＝0，解得a＝2.②若分式方程有增根，则(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝2或x＝－2.当x＝2时，2(a－2)＝2a，此时方程无解，舍去；当x＝－2时，－2(a－2)＝2a，解得a＝1.综上所述，a的值为2或1.21．解：(1)设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分，依据题意，得eq\f(2400,x)－eq\f(2400,1.5x)＝4，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意．答：小张跑步的平均速度为200米/分．(2)不能，理由如下：小张跑步的时间：2400÷200＝12(分钟)，小张骑车的时间：12－4＝8(分钟)．∵12＋8＋6＝26＞25，∴小张不能在电影起从前赶到电影院．22．解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则其次批头盔的进货单价为(x＋20)元．依据题意，得eq\f(7200,x＋20)＝3×eq\f(1800,x)，解得x＝60.经检验，x＝60是原方程的根，且符合题意．答：第一批头盔的进货单价为60元．(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×eq\f(1800,60)＝120(个)，∵总利润不少于4200元，∴120y－