第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设(2)所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．知识点4、作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解．【典例例题】题型一：异面直线所成的角例1．如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是(

)

A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点，所以，，又，，所以，，因为，所以，所以在中，，所以，因为，根据等角定理可知，与所成的角的大小是，故B，C，D错误.故选：A.例2．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为(

)

A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接，所以，直线与所成角即为直线与所成的，所以，，，在中由余弦定理可得,因为，所以.故选：C.例3．在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方体中，因为分别是的中点，可得，又因为分别是的中点，可得，所以异面直线和所成的角，即为，在等腰直角中，可得，所以异面直线和所成的角为.故选：B.题型二：线面角例4．如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．

求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；【解析】设点到平面的距离为，由知，因为平面，平面，故，又，，平面，故平面．又平面，所以，则，，，可得，矩形ABCD中，，所以直线与平面所成的角的正弦值是．例5．如图，在正方体中，．(1)求证：平面；(2)求直线和平面所成的角．【解析】(1)在正方体中，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面；(2)设，连接，由(1)得平面，则即为直线和平面所成角的平面角，又平面，所以，在中，，所以，又，所以，即直线和平面所成的角为．例6．)如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】(1)连接，交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.(2)取中点，连接，，，为等边三角形，又为中点，；平面，平面，，，平面，平面，即为直线与平面所成角，，，又，，，即直线与平面所成角的正弦值为.题型三：二面角例7．)如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.

(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【解析】(1)记中点为M，连结，为正三角形，,则，且.因为平面平面，平面平面，平面ACD,所以平面，又因为平面，所以.延长交于点G，则为平面与平面的交线，因为，故，所以B为的中点，取中点F，连结，则，因为平面，平面，所以平面.即线段上存在点F，当时，平面.(2)连结，则为平面与平面的交线，在平面内，过点B作的垂线，垂足为H.连结，因为平面，平面，故,平面，故平面，平面，故,则为平面与平面所成的二面角的平面角.为正三角形，，故，则,且,故在中，，故，而，故,又因为，所以，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.例8．如图，在四棱锥中，底面是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．【解析】(1)连接交于M，连接，因为底面是菱形，所以M为的中点，又点E是PD的中点，故为的中位线，故，而平面，平面，故平面；(2)设为的中点，连接，因为，故,因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，故，底面是菱形，故，作交于N，则，且N为的中点，连接，因为平面，故平面，则即为二面角的平面角，设，则,，则，则，由于为的中点，N为的中点，故，而平面，平面，故，所以，即二面角的正切值为2.例9．如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.

(1)证明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.【解析】(1)，且，故四边形为平行四边形，故，平面，且平面，故平面.(2)如图所示：是中点，连接，，，

则，，故，即，故，平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角，，，故.故二面角的平面角为.例10．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．【解析】(1)取的中点，连接，因为点为的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；(2)四边形为菱形，，，为等边三角形，，在中，是中点，，平面，平面，，，平面，平面，平面，斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，与平面所成角的正切值为．(3)在平面中，过点作，垂足为，连结，

平面，平面，，，平面，平面，又平面，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值为．题型四：距离问题例11．在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．

求点到平面的距离．【解析】设点到平面的距离为因为是边长为2的正三角形，所以，且，，因为顶点在平面的射影为边的中点，所以平面，且平面，所以，故，解得.同理可得，故，即.在中，由余弦定理可得，结合可得，所以.根据等体积公式可得，解得.例12．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．【解析】(1)证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，易知，，，在中，由余弦定理得，，则，故，由，，，同理可得且，故为二面角的平面角，又，则，故，故平面平面ABCD，又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，故．又平面ABCD，平面平面，故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．(2)连接AC，设C到平面PAB的距离为h，由(1)得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，，即，∵，，，，平面AEP，则平面AEP，又，故平面AEP，平面AEP，故，故，故，解得．例13．在直角梯形中(如图一)，，，.将沿折起，使(如图二).

(1)求证：平面平面；(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.【解析】(1)取的中点，连接，如图所示：因为，，则四边形为正方形，所以，因为，所以.因为，，，平面，所以平面.又因为平面，所以.因为，，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)取的中点，连接，因为平面，，所以平面，又因为平面，所以.因为，所以.因为，，，平面，所以平面，又因为平面，所以.因为，，且，所以，即点E到直线CD的距离为.题型五：体积问题例14．)校联考阶段练习)如图，在正四棱锥中，分别为的中点．

(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中．【解析】(1)在正四棱锥中，连接，连接，由正方形，得，由，得平面，则平面，而分别为的中点，即，因此平面，又平面，所以平面平面.(2)设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，由，得，则为等边三角形，，因为平面平面，且为交线，所以到平面的距离等于到直线的距离，，在中，由余弦定理得，则，则到直线的距离，直线与平面所成角的正弦值．(3)过作于，设，则，，由，得，解出，由，得，在中，，四棱锥的高，则，四边形的对角线垂直，则，下方几何体体积，所以．例15．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积．【解析】(1)证明：在三棱柱中，，因为平面，所以平面．又平面，所以，①因为，为中点，所以，②由①②，，平面，所以平面，又平面，所以，③设，则在矩形中，，，故，，，所以，即，④由③④，，平面，所以平面．(2)因为为中点，所以．例16．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.

(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.【解析】(1)证明：连接，∵四边形为正方形，、分别为中点，∴，

又五点共面，平面，平面，

∴平面，(2)在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面，又平面，所以，所以，，

因为，为中点.所以，故.例17．如图，三棱锥中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，，，，，，求三棱锥的体积．【解析】(1)如图，分别取的中点为，连结.因为分别为的中点，所以，，且，，，所以，且.所以，四边形为平行四边形，所以，.因为平面，平面，所以，平面.(2)由已知可得，在中，有，，，根据余弦定理可知，，所以，.在中，有，所以，，.因为，平面，平面，，所以，平面.又，所以，.【过关测试】一、多选题1．如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则(

)

A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为B．圆台的全面积为C．圆台的外接球(上下底面圆周都在球面上)的半径为D．从点经过圆台的表面到点的最短距离为【答案】ABD【解析】取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接，分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形，且，，，在和中，，，，所以，，所以，，因为，，，则四边形为矩形，且，同理可证四边形为矩形，则，且，所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为，所以，，则，所以，，A对；对于B选项，圆台的全面积为，B对；对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且，由勾股定理可得，且，所以，圆台的外接球直径为，则，B错；对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：延长、交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，且，易知、分别为、的中点，所以，，设，则，则，在中，，，，由余弦定理可得，因此，从点经过圆台的表面到点的最短距离为，D对.故选：ABD.2．如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面，则(

)

A．平面B．C．D．若二面角的平面角的余弦值为，则【答案】ACD【解析】对于A，连接交于点，由平面几何的知识易知，又因为平面平面，且交线为，平面，所以平面，又因为平面，所以.又，，所以平面，故选项A正确；对于B，若，由选项A可知，平面，因为平面，所以，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，在中，有两个直角，所以与不垂直，故选项B错误；对于C，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，故选项C正确；对于D，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，易知平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，所以，解得，所以，，故选项D正确，故选：ACD.3．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则(

)．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【解析】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.4．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有(

)

A．异面直线与的夹角的正弦为B．二面角的平面角的正切值为C．正方体的外接球体积为D．三棱锥与三棱锥体积相等【答案】ACD【解析】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，，则，A正确；对于B，连接交于点O，连接，∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，在中，，B不正确；对于C，∵正方体外接球的半径，∴正方体的外接球体积为，C正确；对于D，∵，三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.故选：ACD.二、单选题5．在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为(

)

A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意画出图形：在平面内，过A作，过点作，交于点，连接.，，平面.又，是二面角的平面角.由矩形得，.在中，由勾股定理得.是等边三角形，，.二面角的余弦值为故选：.6．如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(

)

A． B． C． D．【答案】C【解析】取AF的中点G，连接AC交BD于O点，如图所示，则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，由平面平面，，平面平面，平面知，平面，又平面，所以，由题易知，所以，则，，，则在中，由余弦定理知，，由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C7．在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点为，连接，如下图所示：利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形，即，所以异面直线与所成的角的平面角即为，不妨设正方体棱长为，易知；取的中点为，连接，易知，所以.故选：A8．如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是(

)A．B．平面SCDC．直线SA与平面SBD所成的角等于D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.【答案】C【解析】对于A，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为为正方形，所以，又平面，，所以平面，因为平面，所以，故A正确；对于B，因为，平面，平面，所以平面SCD，故B正确；对于C，设交于，连，由A知，平面SBD，则是直线SA与平面SBD所成的角，设，，则，，只有当，即，即时，才有，故C不正确；对于D，由C知，是直线SA与平面SBD所成的角，是直线与平面SBD所成的角，因为，，，所以与全等，所以，故D正确.三、填空题9．如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．

【答案】【解析】，为边长为的等边三角形，设到平面的距离为，根据，则，解得.故答案为：.10．在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________【答案】【解析】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为，则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，则即为所求，因为平面，所以平面,则，，则，因为，所以.故答案为：.11．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.【答案】/【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得，则，该四棱柱为长方体，，因为，，是平行四边形,所以异面直线与所成角为(或其补角)，，，，∴.故答案为:.12．在正方体中，分别是，，，的中点，则异面直线和所成角的弧度数为_____________．【答案】//【解析】易得，，所以异面直线EF和MN所成的角为，在中，，，所以．所以异面直线和所成角的弧度数为.故答案为：.13．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】连接，在正方体中，面，是直线与平面所成角，设棱长为1，则，直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：.14．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．

【答案】【解析】因为在直三棱柱中，平面，平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，因为，，所以为等腰直角三角形，所以，所以直线与平面所成的角为，故答案为：15．如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为__________．

【答案】【解析】平面,点R到面的距离等于点C到面的距离,,等体积转化故答案为：.四、解答题16．如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【解析】(1)证明：如图①，，，，，，，

如图②，∵，，，，，，且，平面，平面，又平面，，平面，且平面，，又，且平面，平面．(2)方法一：过点作，垂足为，由(1)知平面，而平面，，且，平面，平面，则垂线段的长度即为点到平面的距离．在中，，，，，，由已知得，则，由(1)知，，，即点到平面的距离为．方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离，由(1)知平面，平面，，在直角三角形中，，，，由等面积得，，即，，平面，且平面，，由(1)知，∽，，则在直角三角形中，，设点到平面的距离为，在三棱锥中，由等体积得，，即，，即点到平面的距离为．17．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．

(1)求证：//平面；(2)求证：平面平面；(3)求点到面的距离．【解析】(1)(1)直三棱柱，四边形为平行四边形

为的中点

为的中点，，又平面，平面，平面.(2)四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形，即

三棱柱为直三棱柱，

平面，平面，，，，

，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面，平面平面(3)法一：连接，设点到平面的距离为，平面，平面，，为三棱锥高，在直角中，，.在直角中，，.在直角中，，，.在等腰中，，，，，，点到平面的距离为.在平行四边形中，因为为的中点，且点平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故点到平面的距离为.方法二：(综合法)作，垂足为，连接，作，垂足为.平面，平面，，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，即为点到平面的距离，在直角中，；在直角中，，，点到平面的距离为.在平行四边形中，因为为的中点，且点平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故点到平面的距离为.18．如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．

(1)求球的表面积；(2)求异面直线和成角的余弦值．【解析】(1)设外接圆圆心为，底面外接圆的半径，又球心到底面的距离为，球的半径，球的表面积为.(2)为球的直径，，，取的中点，的中点，连接，则，，两异面直线和所成的角为或其补角；在中，，，，，即两异面直线所成角的余弦值为.19．如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH．

(1)求证：点H为线段BC的中点；(2)求三棱台的表面积；(3)求二面角的正弦值．【解析】(1)连接CD，设，连接HO、DG∵平面FGH，平面CBD，平面平面FGH=HO，∴∵四边形DFCG是正方形，O是CD的中点，∴点H是BC的中点．(2)三棱台中，∵为等边三角形，∴为等边三角形，EF=DE=1．上底面为等边三角形，其边长为1，面积为，下底面为等边三角形，其边长为2，面积为，侧面ADFC和侧面EFCB为直角梯形，面积为，侧面ADEB为等腰梯形，，作出侧面ADEB的图形，如图所示：过点作，则有，所以，故面积为．，所以，三棱台的表面积为：．(3)∵，，且，∴平面ABC，∴平面平面ACDF，过H作HM垂直于AC，交AC于M，则平面ACDF，作HN垂直于GF于N，连接MN，则∠HNM即为二面角的平面角，因为是边长为2的正三角形，所以点到距离为，又因为为的中点，所以，由题意可知，，，在中，由余弦定理可得，所以，由三角形面积相等可得，解得，所以，即二面角的正弦值为.20．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．【解析】(1)证明：因为在正方形中，折叠后即有，又平面，所以平面，而平面,故；(2)由题意知，故，故；(3)取线段的中点G，连接，因为，所以有，平面,平面,所以即为二面角的平面角，又由(1)得平面，平面，故,而,,故,即二面角的余弦值为.21．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．

【解析】因为，且平面，平面，所以平面，如图所示，设平面平面，且平面，所以，因为平面，且平面，所以，又因为为正方形，可得，因为且平面，所以平面，所以平面，又因为平面，所以，所以或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，在直角中，可得，所以，即平面与平面所成二面角的大小为或.22．已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．①；②为二面角的平面角．【解析】(1)且，延长必交于一点，即为点，平面，平面，且，，平面，平面，又平面，平面，连接，则平面平面，又平面平面，直线即为直线，如下图所示，，即直线与相交.(2)若选条件①，，平面平面，平面平面，平面，平面；同理可知：平面，平面，，；取中点，连接，，，四边形为平行四边形，，，，又，，；设，则，又，，，，，，又，，由(1)知：二面角即为二面角，设其平面角为，，，为中点，，，设点到直线的距离为，则，即，解得：，，又二面角为锐二面角，.若选条件②，若为二面角的平面角，则，，又，；平面平面，平面平面，平面，平面；同理可知：平面，平面，，；取中点，连接，，，四边形为平行四边形，，，，又，，；设，则，又，，，，，，又，，由(1)知：二面角即为二面角，设其平面角为，，，为中点，，，设点到直线的距离为，则，即，解得：，，又二面角为锐二面角，.23．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.

(1)证明平面.(2)求异面直线与所成的角；【解析】(1)因为底面，平面，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以，因为是侧棱的中点，所以，又平面平面，所以平面.(2)连，两