第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第16讲直线和圆锥曲线的位置关系【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，若点M(x，y)在椭圆上，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若点M(x，y)在椭圆内，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若点M(x，y)在椭圆外，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.直线与椭圆的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与椭圆的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0SKIPIF1<0直线和椭圆相交SKIPIF1<0直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；②Δ＝0SKIPIF1<0直线和椭圆相切SKIPIF1<0直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0SKIPIF1<0直线和椭圆相离SKIPIF1<0直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与双曲线的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，①Δ＞0SKIPIF1<0直线和双曲线相交SKIPIF1<0直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0SKIPIF1<0直线和双曲线相切SKIPIF1<0直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0SKIPIF1<0直线和双曲线相离SKIPIF1<0直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为中点的弦所在直线的斜率SKIPIF1<0；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与抛物线的方程y2=2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若SKIPIF1<0①Δ＞0SKIPIF1<0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0SKIPIF1<0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0SKIPIF1<0直线和抛物线相离，无公共点．直线与抛物线的相交弦设直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线的焦点弦问题已知过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：焦点弦长SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，其中|AF|叫做焦半径，SKIPIF1<0④焦点弦长最小值为2p。根据SKIPIF1<0时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【典例例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1．若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且只有一公共点，那么SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为方程SKIPIF1<0表示的曲线为椭圆，则SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程与椭圆的方程联立，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.例2．若直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.设直线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0到圆心SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由弦长公式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由点到直线的距离公式得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.对于选项A，直线SKIPIF1<0到该圆圆心的距离为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，满足条件，而SKIPIF1<0，直线与圆没有公共点，故A排除；对于选项B，当SKIPIF1<0时，对于直线SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立椭圆方程得SKIPIF1<0，所以必有公共点；当SKIPIF1<0时，联立直线SKIPIF1<0与椭圆方程得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以必有公共点；故B正确；对于选项C，联立直线SKIPIF1<0与抛物线方程得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，有解SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程无解，此时无公共点，故C错误；对于选项D，当SKIPIF1<0时，对于直线SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立双曲线方程得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，与双曲线不存在公共点，故D排除.故选：B.例3．已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:SKIPIF1<0总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为椭圆焦点在x轴上，所以b2<4，又因为b>0，所以0<b<2；易知直线y=kx-1过定点SKIPIF1<0且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上，即SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以b≥1，综上1≤b<2，故SKIPIF1<0故选：D.例4．已知椭圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则直线l与椭圆C的位置关系为(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【解析】对于直线SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.例5．直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交【答案】A【解析】方法1：∵SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∴直线l恒过定点SKIPIF1<0，又∵椭圆SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.方法2：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0恒成立，∴直线l与椭圆相交.故选：A.题型二：椭圆的弦例6．过椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点且倾斜角为SKIPIF1<0的直线被椭圆SKIPIF1<0截得的弦长为______【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，可得右焦点SKIPIF1<0.设此直线与椭圆相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线方程为：SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例7．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆的左焦点为SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0倾斜角为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例8．SKIPIF1<0是过椭圆SKIPIF1<0右焦点SKIPIF1<0的弦，则弦长SKIPIF1<0的最小值为______【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由题可知，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率为零，易知SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0的斜率不为零，设其为SKIPIF1<0，联立椭圆方程SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0两点的坐标分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即当直线SKIPIF1<0的斜率不为零时，SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0，故弦长SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例9．已知椭圆SKIPIF1<0，斜率为1的直线SKIPIF1<0过点其左焦点SKIPIF1<0，且与椭圆交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则弦长SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】椭圆方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例10．椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过O作直线交椭圆于A、B两点，若SKIPIF1<0的面积为20，则直线AB的方程为______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】由直线AB关于原点对称以及椭圆关于原点对称可知，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．过点A作AH垂直于x轴，垂足为H，则SKIPIF1<0，即点A的纵坐标为SKIPIF1<0，代入椭圆方程解得A的横坐标为SKIPIF1<0，即点A的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．因此直线AB的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例11．已知椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0.【解析】(1)由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线与椭圆方程得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所民认SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例12．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点SKIPIF1<0且长轴长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．【解析】(1)由题意设椭圆C的方程为SKIPIF1<0，因为椭圆经过点SKIPIF1<0且长轴长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.(2)由已知设直线l的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.将直线SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型三：椭圆的综合问题例13．已知圆S：SKIPIF1<0，点P是圆S上的动点，T是抛物线SKIPIF1<0的焦点，Q为PT的中点，过Q作SKIPIF1<0交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过SKIPIF1<0的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形(O为坐标原点)，求直线l的方程．【解析】(1)圆S：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中垂线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点G的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，设其方程为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以曲线C的方程为SKIPIF1<0.(2)由题意知，直线l的斜率不为0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在曲线C：SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.

例14．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上任意一点SKIPIF1<0到两个焦点的距离之和为SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求直线SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由椭圆的定义知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵椭圆的离心率SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.(2)∵SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0内一点，∴直线SKIPIF1<0与椭圆必交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不合题意，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在椭圆上，∴SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．例15．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点和两个顶点，点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率互为相反数．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)由题意知：椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，即为椭圆的焦点，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，即为椭圆的上下顶点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0．(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求SKIPIF1<0的值为1．例16．若椭圆SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0的焦点，且与双曲线SKIPIF1<0有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线SKIPIF1<0与椭圆E交于A、B两点，求SKIPIF1<0面积的最大值以及此时直线l的方程．【解析】(1)抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以椭圆E的方程为SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与椭圆E交于A、B两点，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，由弦长公式可得SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取得等号，所以SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.例17．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．(2)依题意，知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．例18．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0经过椭圆SKIPIF1<0的右焦点，且与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．已知点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以SKIPIF1<0．又椭圆的离心率是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程SKIPIF1<0．(2)因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且过右焦点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．联立直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0的值是SKIPIF1<0．题型四：直线与双曲线的位置关系例19．已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0没有公共点，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，方程有解，即直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有公共点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.例20．直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交，有且只有1个交点，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交，且有且仅有1个交点,所以直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的渐近线SKIPIF1<0平行，故SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：A例21．曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的公共点的个数为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，表示椭圆的上半部分SKIPIF1<0含与SKIPIF1<0轴的交点SKIPIF1<0，此时曲线与SKIPIF1<0的交点为(0,3),(4,0),当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，表示双曲线在SKIPIF1<0轴下方的部分，其一条渐近线方程为：SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无交点，SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的公共点的个数为SKIPIF1<0.故选：B例22．过点SKIPIF1<0作直线l与双曲线SKIPIF1<0交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为(

)A．0 B．1 C．2 D．不能确定【答案】A【解析】设直线l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，(※)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此时，(※)式为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.故选：A例23．直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左、右两支各有一个交点，则SKIPIF1<0的取值范围为()A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】联立SKIPIF1<0，消y得，SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左、右两支各有一个交点，所以方程SKIPIF1<0有一正一负根，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D．例24．若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有且只有一个交点，则满足条件的直线SKIPIF1<0有(

)A．SKIPIF1<0条 B．SKIPIF1<0条 C．SKIPIF1<0条 D．SKIPIF1<0条【答案】C【解析】直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，又双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在其中一条渐近线SKIPIF1<0上，又直线与双曲线只有一个交点，则直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0或过点SKIPIF1<0且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线SKIPIF1<0有SKIPIF1<0条.故选：C题型五：双曲线的弦例25．已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线交双曲线于SKIPIF1<0两点.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)设直线方程为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.解得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.例26．已知双曲线的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且该双曲线过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的弦AB，求AB的长；(3)求SKIPIF1<0的周长．【解析】(1)因为双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上，设双曲线方程为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0.(2)依题意得直线AB的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(3)由(2)知A，B两点都在双曲线左支上，且SKIPIF1<0，由双曲线定义，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．例27．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为SKIPIF1<0．(1)求C的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线C交于A，B两点，求SKIPIF1<0．【解析】(1)因为焦点在SKIPIF1<0轴上，设双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①又双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③联立上述式子解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求方程为SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0例28．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上．(1)求直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之积；(2)若直线MN的斜率为2，且过点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)设SKIPIF1<0，由双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)直线SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.例29．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为SKIPIF1<0(1)求C的标准方程；(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求SKIPIF1<0【解析】(1)因为焦点在x轴上，故设C的标准方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0双曲线的焦距为10，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一条渐近线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，联立上式解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求方程为SKIPIF1<0(2)由(1)SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0的斜率为2，所以直线l的方程为SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0消去变量y可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0则A，B两点的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0例30．双曲线C的焦点与椭圆SKIPIF1<0的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为SKIPIF1<0.(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C的一弦中点为SKIPIF1<0，求此弦所在的直线方程.【解析】(1)∵椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0∵一条准线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．(2)设弦的两端分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则有：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0弦中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故直线的斜率SKIPIF1<0．则所求直线方程为：SKIPIF1<0．题型六：双曲线的综合问题例31．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的两点．(1)若SKIPIF1<0是坐标原点，直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的右焦点，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程；(2)若线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由题知：双曲线SKIPIF1<0焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，所以右焦点为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，此时设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,不满足题意；当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0例32．已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的方程.【解析】(1)双曲线SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又焦点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，经检验直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有两个交点，满足条件，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.例33．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支的一条切线，且与SKIPIF1<0的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．【解析】(1)由题设可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．(2)设点M的横坐标为SKIPIF1<0当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，则直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0易知点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0﹔当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0