第10讲 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第10讲直线的交点坐标与距离公式【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：距离问题的综合灵活运用题型九：线段和与差的最值问题【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组SKIPIF1<0的解即可．若有SKIPIF1<0，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有SKIPIF1<0，则方程组无解，此时两直线平行；若有SKIPIF1<0，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有SKIPIF1<0以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交点的直线方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是待定系数．在这个方程中，无论SKIPIF1<0取什么实数，都得不到SKIPIF1<0，因此它不能表示直线SKIPIF1<0．知识点三：两点间的距离公式两点SKIPIF1<0间的距离公式为SKIPIF1<0．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．知识点四：点到直线的距离公式点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为直线上所有的点到已知点SKIPIF1<0的距离中最小距离；(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式SKIPIF1<0时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【典例例题】题型一：判断两直线的位置关系例1．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的情况是(

)A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点例2．SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)上两个不同的点，则关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0的解的情况是(

)A．无论SKIPIF1<0如何，总是无解B．无论SKIPIF1<0如何，总有唯一解C．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是方程组的一组解D．存在SKIPIF1<0，使之有无穷多解例3．两条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标就是方程组SKIPIF1<0的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．0题型二：过两条直线交点的直线系方程例4．过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为()A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0例5．已知两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0SKIPIF1<0两点的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．经过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例7．过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：交点问题例8．两条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点在第二象限，则m的取值范围是()A．(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0) B．(SKIPIF1<0,0)C．(0,SKIPIF1<0) D．(SKIPIF1<0)例9．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程是(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，则实数k的值为(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0例13．若三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共有两个交点，则实数SKIPIF1<0的值为(

)A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1例14．若点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共点，则相异两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所确定的直线方程是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：对称问题例15．已知点A与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则点A的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例16．已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，且直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例17．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点Q的坐标为(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例18．已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则点SKIPIF1<0的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例19．已知直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0关于直线l的对称直线为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为_______________．例20．直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程为__________．例21．直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线方程是______．例22．直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程是__.例23．直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程为________题型五：两点间的距离例24．点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0________．例25．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.例26．已知SKIPIF1<0，则BC边上的中线AM的长为__________.例27．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为______．例28．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．例29．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0轴上存在一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为___________．题型六：点到直线的距离例30．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为______．例31．已知动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_________.例32．直线SKIPIF1<0上的点到原点距离的最小值为________.例33．已知实数x，y满足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为______．例34．已知SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于4，则a的值为__________．例35．若点A在直线SKIPIF1<0上，且点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则点A的坐标为________________.例36．已知点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0___________.例37．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点到直线l：SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0______．题型七：两平行直线间的距离例38．若两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．例39．已知直线l到两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离相等，则直线l的方程为__________．例40．若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为______．例41．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则这两条直线间的距离是____________．例42．平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为__________．题型八：距离问题的综合灵活运用例43．函数SKIPIF1<0的最小值是_____________.例44．函数SKIPIF1<0的最小值为_________．例45．设SKIPIF1<0的最小值为_______.例46．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0之间的距离，结合．上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为______．例47．已知实数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.题型九：线段和与差的最值问题例48．已知点SKIPIF1<0，点P是直线SKIPIF1<0上动点，则SKIPIF1<0的最小值是________．例49．已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的周长的最小值为______．例50．在直角坐标系中，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______．例51．)已知SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和最小时点SKIPIF1<0的坐标为____________.例52．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离，结合上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为___________.例53．已知平面上两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0上求一点M．(1)使SKIPIF1<0最大值；(2)使SKIPIF1<0最小．例54．已知直线SKIPIF1<0及点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)试在SKIPIF1<0上求一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最小，并求这个最小值；(2)试在SKIPIF1<0上求一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最大，并求这个最大值．【过关测试】一、单选题1．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0距离的最大值是(

)A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0，则a的值为(

)A．4 B．SKIPIF1<0 C．4或SKIPIF1<0 D．8或SKIPIF1<03．点(1,1)到直线SKIPIF1<0的距离是(

)A．1 B．2 C．SKIPIF1<04．已知直线SKIPIF1<0过直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线SKIPIF1<0的方程为()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第四象限，则m的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互相垂直，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．20 B．-4 C．12 D．47．两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为(

)A．SKIPIF1<0 B．2 C．14 D．SKIPIF1<08．过点SKIPIF1<0引直线，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多选题9．已知直线SKIPIF1<0，则下列说法正确的是(

)A．直线SKIPIF1<0与直线l相互平行 B．直线SKIPIF1<0与直线l相互垂直C．直线SKIPIF1<0与直线l相交 D．点SKIPIF1<0到直线l的距离为SKIPIF1<010．已知SKIPIF1<0两点到直线SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0的值可能为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．111．已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是(

)A．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离相等时，SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率不存在C．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为-2 D．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行12．下列结论正确的有(

)A．过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为SKIPIF1<0B．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0C．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及x轴上的动点P，则SKIPIF1<0的最小值为5D．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0三、填空题13．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0__________.14．将一张坐标纸折叠一次，使点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，则与点SKIPIF1<0重合的点的坐标是__________．15．SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0与过定点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是______．16．已知点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，P为直线SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为__________．四、解答题17．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0的方程；(2