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文档简介
2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2完全平方公式114.2.2完全平方公式1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.(重点)2.灵活运用完全平方公式进行计算.(难点)一、情境导入1.教师引导学生复习平方差公式.学生积极举手回答.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.2.教师肯定学生的表现,并讲解:这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式.二、合作探究探究点一:完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算:(1)(5-a)2;(2)(-3m-4n)2;(3)(-3a+b)2.解析:直接运用完全平方公式进行计算即可.解:(1)(5-a)2=25-10a+a2;(2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2;(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.方法总结:完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为“首平方,末平方,首末两倍中间放”.【类型二】构造完全平方式如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值.解析:先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值.解:∵36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+1)xy+(5y)2,∴(m+1)xy=±2·6x·5y,∴m+1=±60,∴m=59或-61.方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.【类型三】运用完全平方公式进行简便运算利用乘法公式计算:(1)982-101×99;(2)20162-2016×4030+20152.解析:原式变形后,利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果.解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=1002-400+4-1002+1=-395;(2)原式=20162-2×2016×2015+20152=(2016-2015)2=1.方法总结:运用完全平方公式进行简便运算,要熟记完全平方公式的特征,将原式转化为能利用完全平方公式的形式.【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值已知x-y=6,xy=-8.(1)求x2+y2的值;(2)求代数式eq\f(1,2)(x+y+z)2+eq\f(1,2)(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)的值.解析:(1)由(x-y)2=x2+y2-2xy,可得x2+y2=(x-y)2+2xy,将x-y=6,xy=-8代入即可求得x2+y2的值;(2)首先化简eq\f(1,2)(x+y+z)2+eq\f(1,2)(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)=x2+y2,由(1)即可求得答案.解:(1)∵x-y=6,xy=-8,∴(x-y)2=x2+y2-2xy,∴x2+y2=(x-y)2+2xy=36-16=20;(2)∵eq\f(1,2)(x+y+z)2+eq\f(1,2)(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)=eq\f(1,2)(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)+eq\f(1,2)[(x-y)2-z2]-xz-yz=eq\f(1,2)x2+eq\f(1,2)y2+eq\f(1,2)z2+xy+xz+yz+eq\f(1,2)x2+eq\f(1,2)y2-xy-eq\f(1,2)z2-xz-yz=x2+y2,又∵x2+y2=20,∴原式=20.方法总结:通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式:(x-y)2=x2+y2-2xy,x2+y2=(x-y)2+2xy.【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)2-(a-b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是()A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2解析:空白部分的面积为(a-b)2,还可以表示为a2-2ab+b2,所以,此等式是(a-b)2=a2-2ab+b2.故选C.方法总结:通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.探究点二:添括号后运用完全平方公式计算:(1)(a-b+c)2;(2)(1-2x+y)(1+2x-y).解析:利用整体思想将三项式转化为二项式,再利用完全平方公式或平方差公式求解,并注意添括号的符号法则.解:(1)原式=[(a-b)+c]2=(a-b)2+c2+2(a-b)c=a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc;(2)原式=[1+(-2x+y)][1-(-2x+y)]=12-(-2x+y)2=1-4x2+4xy-y2.方法总结:利用完全平方公式进行计算时,应先将式子变成(a±b)2的形式.注意a,b可以是多项式,但应保持前后使用公式的一致性.三、板书设计完全平方公式1.探究公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;2.完全平方公式的几何意义;3.利用完全平方公式计算.本节的探讨方式和上节类似,都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式.完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式,教学中可以将两个公式写作一个公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,有助于学生的记忆.在探究两数差的平方公式时,因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法,因此可以让学生自己画图证明.14.2.2完全平方公式教学目标:完全平方公式的推导及其应用;完全平方公式的几何解释;视学生对算理的理解,有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.教学重点与难点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用.教学过程:一、提出问题,学生自学问题:根据乘方的定义,我们知道:a2=a•a,那么(a+b)2应该写成什么样的形式呢?(a+b)2的运算结果有什么规律?计算下列各式,你能发现什么规律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;
(m+2)2=_______;(2)(p−1)2=(p−1)(p−1)=_______;
(m−2)2=_______;学生讨论,教师归纳,得出结果:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1
(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4(2)(p−1)2=(p−1)(p−1)=p2−2p+1
(m−2)2=(m−2)(m−2)=m2−4m+4分析推广:结果中有两个数的平方和,而2p=2•p•1,4m=2•m•2,恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号.推广:计算(a+b)2=__________;(a−b)2=__________.
得到公式,分析公式结论:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.二、几何分析:你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗?图(1)大正方形的边长为(a+b),面积就是(a+b)2,同时,大正方形可以分成图中①②③④四个部分,它们分别的面积为a2、ab、ab、b2,因此,整个面积为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2,即说明(a+b)2=a2+2ab+b2.类似地可由图(2)说明(a−b)2=a2−2ab+b2.三、例题:例1.应用完全平方公式计算:(1)(4m+n)2
(2)(y−)2
(3)(−a−b)2
(4)(b−a)2解答:(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2(2)(y−)2=y2−y+(3)(−a−b)2=a2+2ab+b2(4)(b−a)2=b2−2ba+a2例2.运用完全平方公式计算:(1)1022
(2)992解答:(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)992=(100−1)2=10000−200+1=9801四、添括号法则在公式里的运用问题:在运用公式的时候,有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体,把另外一个多项式看作另外一个整体,例如:(a+b+c)(a−b+c)和(a+b+c)2,这就需要在式子里添加括号;那么如何加括号呢?它有什么法则呢?它与去括号有何关系呢?学生回顾去括号法则,在去括号时:a+(b+c)=a+b+c,a−(b+c)=a−b−c反过来,就得到了添括号法则:a+b+c=a+(b+c),a−b−c=a−(b+c)理解法则:如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.也是:遇“加”不变,遇“减”都变.总结:添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数式的值都保持不变,所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.五、小结:1.完全平方公式的结构特征:公式的左边是一个二项式的完全平方;右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.2.添括号法则:如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.利用添括号法则可以将整式变形,从而灵活利用乘法公式进行计算,灵活运用公式进行运算.14.3因式分解14.3.1提公因式法1.理解因式分解的概念,以及因式分解与整式乘法的关系.会用提取公因式的方法分解因式.(重点)2.会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.(难点)一、情境导入1.多媒体展示,让学生完成.计算:(1)m(a+b+c);(2)(a+b)(a-b);(3)(a+b)2.学生通过回忆前面所学的解题方法,完成解题,并积极作答:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2;(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.学生通过对比上题发现:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c);(2)a2-b2=(a+b)(a-b);(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.3.教师肯定学生的表现,说明其过程正好与整式的乘法相反,它是把一个多项式化为几个整式的积的形式,该过程叫做因式分解,这节课我们就来探讨它.二、合作探究探究点一:因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;②x3+x=x(x2+1);③(x-y)2=x2-2xy+y2;④x2-9y2=(x+3y)(x-3y).A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故①不是因式分解;②把一个多项式转化成几个整式积的形式,故②是因式分解;③是整式的乘法,故③不是因式分解;④把一个多项式转化成几个整式积的形式,故④是因式分解;故选B.方法总结:因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式,整式乘法是多项式的表现形式.探究点二:提公因式法分解因式【类型一】确定公因式多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析:系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,∴公因式为3ab.故选D.方法总结:确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【类型二】用提公因式法因式分解因式分解:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解析:将原式各项提取公因式即可得到结果.解:(1)原式=4ab2(2a2+3bc);(2)原式=(2a-3)(b+c);(3)原式=(a+b)(a-b-1).方法总结:提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式.【类型三】利用因式分解简化运算计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解析:(1)首先提取公因式13,进而求出即可;(2)首先提取公因式20.16,进而求出即可.解:(1)39×37-13×91=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14=20.16×(29+72+13-14)=2016.方法总结:在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提取公因式的方法可使运算简便.【类型四】利用因式分解整体代换求值已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解析:原式提取公因式变形后,将a+b与ab的值代入计算即可求出值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.方法总结:求代数式的值,有时要将已知条件看作一个整体代入求值.【类型五】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c,且a+2ab=c+2bc,请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形?并说明理由.解析:对已知条件进行化简后得到a=c,根据等腰三角形的概念即可判定.解:整理a+2ab=c+2bc得,a+2ab-c-2bc=0,(a-c)+2b(a-c)=0,(a-c)(1+2b)=0,∴(a-c)=0或(1+2b)=0,即a=c或b=-eq\f(1,2)(舍去),∴△ABC是等腰三角形.方法总结:通过提公因式分解因式,找出三边的关系来判定三角形的形状.【类型六】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题
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