第9章　高考研究在线9　两种视角下探究二项分布概率的最值问题-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

在人教A版选择性必修第三册P81“探究与发现”中，同学们已研究了二项分布P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，随k变化时，概率值的变化特点，相应结论如文中探究问题1所示，在2023年教育部教育考试院老高考新课标适应性测试中，已对该性质做了命题；若n，k为常数，p为变量，概率Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，可视为参数探究问题1探究函数f(k)＝Cnkpkqn－k(k＝0，1，2，…，n，p＋q＝1，0＜p＜1)的最值取得情况，其中k令fkfk−1＝n+1−kpk1−p＝1＋n+1p−k得出结论如下：①当(n＋1)p为整数时，则当k＝(n＋1)p时取得概率最大值，又PX=kPX=k−1＝1，故此时可取的k值有2个：k＝(n＋1)p或(n②当(n＋1)p不为整数时，则当k取(n＋1)p的整数部分时，P(X＝k)是唯一的概率最大值．[典例1]为了提高广大青少年的法律意识，我市开展青少年“学宪法、讲宪法”知识竞赛活动，团员小明每天自觉登录“青少年普法”软件，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛．每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2，3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2，3，4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分．经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为14，1(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为14[解](1)记事件Ai(i＝1，2，3)表示第一局获得i分，事件Bi(i＝1，2)表示第二局获得i分，这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5，4，3，2.P(X＝5)＝P(A3B2)＝P(A3)P(B2)＝14×1P(X＝4)＝P(A3B1)＋P(A2B2)＝14×3P(X＝3)＝P(A2B1)＋P(A1B2)＝12×3P(X＝2)＝P(A1B1)＝14×3则其分布列为X5432P1573所以E(X)＝5×116＋4×516＋3×716＋2×316＝(2)设小明每天赢得的局数为Y，则易知Y～B20，于是P(Y＝k)＝C20假设赢得k局的概率最大，则据条件得C即20！整理得1k·14≥121−k又因为k∈N*，所以k＝5，因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大．本题属于n，p固定，探究以k为自变量的离散函数(数列)f(k)＝C20k0.25k(1－0.25)20-k，k＝0，1，…[跟进训练]1．第十四届全国冬季运动会(以下简称冬运)于2024年2月17日至2月27日举行，为进一步增强群众的法治意识，提高群众冬运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬运走进千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬运·法治同行”主题法治宣传教育活动．该活动采取线上、线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬运法律知识普及类趣味答题，线下有“冬运普法”知识讲座，实现“冬运＋普法”的全新模式．其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)请估计被抽取的1000名市民作答成绩的平均数和中位数；(2)视频率为概率，现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机抽取20名，调查其掌握各类冬运法律知识的情况．记k名市民的成绩在[40，60]的概率为P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20．请估计这20名市民的作答成绩在[40，60]的人数为多少时P(X＝k)最大？并说明理由．[解](1)由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数x＝5×0.05＋15×0.1＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.25＋55×0.1＝34(分)．设1000名市民作答成绩的中位数为x，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－30)＝0.5，所以x＝35，所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分．(2)估计这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大．由已知得X～B(20，0.35)，所以P(X＝k)＝C20k0.35k(1－0.35)20-k，k＝0，1，令PX=k≥PX=k−1即C即721−k≥13k，13k+1≥7由k∈N*，所以k＝7，所以这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时P(X＝k)最大．探究问题2探究函数f(p)＝Cnkpkqn－k(k＝0，1，2，…，n，n∈Z，0＜p＜1，p＋q＝1)的最值取得情况，其中p为自变量，n，k由f′(p)＝Cnk[kpk-1(1－p)n－k－pk(n－k)(1－p)n－k-1]＝Cnkpk-1(1－p)n－k-1[k(1－p)－(n－k)p]＝Cnkpk-1(1－p)n－k(1)当k＝0时，f′(p)＜0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递减，f(p)无最值；(2)当k＝n时，f′(p)＞0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递增，f(p)无最值；(3)当k＝1，2，…，n－1时，由于当p＜kn时，f′(p)＞0，f(p)单调递增，当p＞kn时，f′(p)＜0，f(p)单调递减，故当p＝kn时，f(p)取得最大值，f(p)max＝f又当p→0，f(p)→0，当p→1时，f(p)→0，从而f(p)无最小值．上述两个问题的解决运用了函数与方程的思想，问题1中通过解不等式fkfk−1≥1比较f(k)与f(k－1)的大小．问题2中通过求导判断函数的单调性求出最值．出于实际意义，一般更关注概率的最大值点的取得情况．存在最大值点的前提下，若视k为自变量，最大值点为某个随机变量，也可能是两个．若视p为自变量，f(p)＝Cnkpkqn－k，n[典例2](2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C202p2(1－p)1因此f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C202p(1－p令f′(p)＝0，得p＝0.1．当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0．所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．命题者以概率p为自变量，视角新颖，求解该题除了判断分布类型，写分布列外，在解题过程中主要的难点来自用函数的思想来解决问题，应用导数求最大值点．并且在(2)问中要通过计算期望的数值做分析和决策．涉及求值、求值域、求参数的取值范围等问题时，树立函数意识，列出相应的函数解析式，将问题转化为求函数值和函数最值的问题来研究．[跟进训练]2．甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0<p<1.(1)设甲以3∶1获胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值；(2)记(1)中，f(p)取得最大值时p的值为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和数学期望E(X)．[解](1)甲以3∶1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，所以f(p)＝C32·p2·(1－p)·p＝3p3－3p4，0<p<1，f′(p)＝9p2－12p3＝3p2(3－4令f′(p)＝