第2章　高考研究在线2　高考试题中的抽象函数-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

抽象函数可以全面考查函数的概念和性质，新高考连续三年在此点命题，破解此类问题的一般方法为赋值法、函数性质法和构造函数法．命题点一与奇偶性、对称性相关的求值问题[典例1](1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则()A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f32−2x，g(2＋A．f(0)＝0 B．g−1C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)(1)ABC(2)BC[(1)取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．故选ABC.(2)因为f32−2x，g(2＋所以f32−2x＝f即f32−x＝f32+x，g(2＋x所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝32，x＝2对称，又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，所以g32＝0，g(3－x)＝－g(所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，所以g−12＝gg(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．故选BC.]本例(2)改编于2021年新高考Ⅱ卷T8，主要考查原函数与导函数之间的性质关联问题．设函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，则f(x)与f′(x)有如下关系：(1)f(x)的图象关于直线x＝a对称⇒f′(x)的图象关于点A(a，0)中心对称；(2)f′(x)关于直线x＝b对称⇒f(x)关于点B(b，f(b))中心对称；(3)f(x)的图象是周期为T的周期函数⇒f′(x)图象是周期为T的周期函数．[跟进训练]1．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(3－x)，g52A．f(3)＝0 B．g(3)＝0C．f52＝f72 D．g(5)＝－AD[∵f(3－x)，g52∴f(3＋x)＝－f(3－x)，g52+2x＝－g52−2x，∴f(x)的图象关于点(3，0)对称，g(x)的图象关于点52，0对称，∴A正确；∵∴g(x)的图象关于直线x＝3对称，B错误；∵g(x)图象关于点52，0∴g(x)的周期为2，∴g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)，∴g(5)＝－g(8)，D正确；∵f(3＋x)＝－f(3－x)，∴f52＝－f7命题点二与周期性相关的求值问题[典例2](2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝()A．－3 B．－2C．0 D．1A[法一(赋值法)：令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)的周期为6；令x＝1，y＝0得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒f(0)＝2，∴f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2，故＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即＝－3.故选A.法二(特殊函数法)：取f(x)＝2cosπ3x符合条件，则T＝6，计算可得f(2)＝f(1)－ff(3)＝f(2)－f(1)＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝2，∴＝1－1－2－1＋1＋2＝0，一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0．由于22除以6余4，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.]常见的抽象函数7大模型：(1)一次函数：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－b.(2)二次函数：f(a－x)＝f(a＋x)．(3)幂函数：f(xy)＝f(x)f(y)．(4)指数函数：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x－y)＝fx(5)对数函数：f(xy)＝f(x)＋f(y)，fxy＝f(x)－f(y(6)正切函数：f(x±y)＝fx(7)余弦函数：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(x)＋f(y)＝2fx−y2[跟进训练]2．(多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f(x＋y)＝fx+fA．f(0)＝0B．f(x)为偶函数C．f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期D．f(2023)＝－1ACD[对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝fx+f−x1−fxf−x＝0，因此又f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f(x)为奇函数，故B错误；对于C，令y＝1，则f(x＋1)＝fx+f11−f所以f(x＋2)＝－1＋21−fx+