第2章 第3课时　函数的奇偶性、周期性-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第3课时函数的奇偶性、周期性[考试要求]1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2．会依据函数的性质进行简单的应用．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a((4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)．3．常见奇、偶函数的类型(1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；(2)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数；(3)f(x)＝ax−a−xax+a(4)f(x)＝logab−xb(5)f(x)＝loga(x2+1±x)(a＞0且(6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数；(7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． ()(2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数． ()(3)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． ()(4)若函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是()A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝x2+1x D．f(x[答案]BC2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2025)＝________．12[∵f(x)的周期为2，∴f(2025)＝f(1)＝2-1＝13．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________．－1－2－x－2x＋1[∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1．]4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．(－2，0)∪(2，5][由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].]考点一函数奇偶性的判断[典例1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3−x(2)f(x)＝(1＋x)1−x1(3)f(x)＝x(4)f(x)＝log2(x＋x2[解](1)由3−x2≥0，x2−3即函数f(x)的定义域为{－3，从而f(x)＝3−x2因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)函数f(x)＝(1＋x)1−x1+x的定义域满足1−x1+x≥0，则由于定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋−x2+1]＝log2(x2+1－x)＝log2(x2+1＋x)-1＝－log2(x2+判断函数奇偶性的两个必备条件及方法(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．[跟进训练]1．(1)(多选)设函数f(x)＝exA．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数(2)已知函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋ax(a∈R)，讨论f(x(1)ABC[对于A，B，C用定义验证正确；因为f(x)＝ex−e−x2，则f(－x)＝e−x−ex因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数，所以D错误．](2)[解]由题意知，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝2x2，f(－x)＝2(－x)2＝2x2＝f(x)，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(1)＝2＋a，f(－1)＝2－a，f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)，f(x)是非奇非偶函数．考点二函数奇偶性的应用利用奇偶性求值(解析式)[典例2](1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln2x−12x+1为偶函数，则A．－1 B．0C．12 (2)(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)是定义在R上奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x2−2x+2(1)B(2)−2x2+2x+2，x＜00，x由f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得(－x＋a)ln−2x−1−2x+1＝(x＋a又(－x＋a)ln2x+12x−1＝(－x＋a所以(x－a)ln2x−12x+1＝(x＋a∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0.故选B.法二：因为f(x)＝(x＋a)ln2x−12x+1为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln3，f(1)＝(a＋1)ln13＝－(a＋1)ln3，所以(a－1)ln3＝－(a＋1)ln3，解得(2)由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0，而当x＜0时，－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－2−x2−2×综上所述，f(x)＝−2(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求谁设谁，自变量转移．利用奇偶性解不等式[典例3](1)(2023·山东鄄城一中三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0的解集为()A．(－2，4] B．(－3，5]C．−52，(2)(2024·湖南师大附中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为()A．(－∞，－2)∪52，4C．−2，52∪(4，＋∞) (1)C(2)C[(1)因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得2a−2=0，2b=0，解得a=2，b=因为y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，所以f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0，即f(2x＋1)＋f(4)＞0，等价于f(2x＋1)＞f(－4)，所以2x+1＞−4，−5≤2x(2)依题意，函数的大致图象如图：因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0，则当x＞3或x＜－3时，f(x)＜0；当－3＜x＜3时，f(x)＞0，不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为2x−5＞0，fx−1＜0或2x−5＜0，fx−1＞0，所以2x−5＞0，x−1＞3即原不等式的解集为−2，52∪(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．[跟进训练]2．(1)(2024·安徽滁州模拟)函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若f(a)≥f13，则aA．1B．−∞C．−D．−∞(2)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋1x＋3，若f(a)＝1，则f(－a(3)(2023·福建漳州三模)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)＝x2−x，0＜x≤1，(1)C(2)5(3)－34[(1)∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞∴y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∵f(a)≥f13∴|a|≤13，－13≤a≤13，a(2)根据题意f(a)＝sina＋a3＋1a即sina＋a3＋1a所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋1−a＝－sina＝2＋3＝5.(3)由函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，则f−32＝－f32＝－32−1由f12＝122－12＝－14，则f−32＋f1考点三函数的周期性[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f132A．－94 B．－1C．14 D．(2)(2023·湖北二模)已知函数y＝f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋1，则f(2025)＝________．(1)A(2)2[(1)由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f132＝f8−32＝f−32＝－(2)因为对任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k为常数，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝k，从而f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(1)＝2．]【教师备选资源】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列是周期函数的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2xD[依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.]利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．[跟进训练]3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)f(x)的最小正周期是________；(2)当x∈[2，4]时，f(x)＝________；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝________．(1)4(2)x2－6x＋8(3)0[(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0．]课时分层作业(八)函数的奇偶性、周期性一、单项选择题1．(2024·福州模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为()A．y＝0 B．y＝1C．y＝x2 D．y＝2xD[对于A，定义域为R，且f(－x)＝0＝f(x)，则f(x)为偶函数，故A不满足题意；对于B，因为定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－1x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故B不满足题意；对于C，因为定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C不满足题意；对于D，因为f(－x)＝2－x，f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x2．(2024·湖南长沙模拟)已知f(x)＝2－x＋a·2x为奇函数，则f(1)的值为()A．－32B．1C．32A[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即20＋a·20＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝2－x－2x，此时f(－x)＝2x－2－x＝－(2－x－2x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故f(1)＝12－2＝－33．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(1)＝－2，则f(2023)＝()A．2 B．0C．－2 D．－4A[依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(1)＝－2，则f(2023)＝f(－1＋506×4)＝f(－1)＝－f(1)＝2．]4．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1−x1A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1B[f(x)＝1−x1+x＝2−x+11+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝5．(2024·江苏南京模拟)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝1x−1，则f(xA．1x2−1C．xx2−1C[由f(x)＋g(x)＝1x−1f(－x)＋g(－x)＝1−x−1又f(x)，g(x)分别为奇，偶函数，所以g(x)－f(x)＝1−x−1由fx+gx=1x−16．(2023·广东六校联考)设函数f(x)＝(a－1)x|x－b＋1|为奇函数且在R上为减函数，则关于a，b的值表述正确的是()A．a＞1，b＝1 B．a＞1，b＜1C．a＜1，b＝1 D．a＜1，b＞1C[因为函数f(x)＝(a－1)x|x－b＋1|为R上的奇函数，且是R上的减函数，所以a－1≠0且f(－1)＝－f(1)，即－(a－1)|－b|＝－(a－1)|2－b|，所以|－b|＝|2－b|，解得b＝1，经检验符合题意，故f(x)＝(a－1)x|x|＝a−1因为函数f(x)＝(a－1)x|x|在R上为减函数，所以a－1＜0，所以a＜1.故选C.]7．函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式fxA．(－2，2)B．(－∞，0)∪(0，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D[由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(－x)＝－f(x)可得，fx−2f−xx＝由于x在分母位置，所以x≠0，当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2；当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2.综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于()A．336 B．338C．337 D．339B[因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338．]二、多项选择题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋xBD[由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，对于A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于B项，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．]10．已知函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R，x2－x1＝2，都有f(x1)＋f(x2)＝0，且f(1)＝1，则下列结论正确的是()A．f(23)＝1B．f(－23)＝1C．f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1D．f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝0BCD[由x2－x1＝2得x2＝x1＋2，所以f(x1)＋f(x1＋2)＝0，故f(x1＋2)＋f(x1＋4)＝0，所以f(x1＋4)＝f(x1)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．对于A，f(23)＝f(5×4＋3)＝f(3)＝－f(1)＝－1，A错误；对于B，f(－23)＝f(－6×4＋1)＝f(1)＝1，B正确；对于C，f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，f(5)＝f(1)＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1，C正确；对于D，f(x)＋f(x＋2)＝0，f(x＋1)＋f(x＋3)＝0，所以f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝0，D正确．故选BCD.]三、填空题11．(2023·广东湛江二模)已知奇函数f(x)＝x2−3−x，－x2＋3x－1[当x＞0时，－x＜0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1．]12．(2024·烟台模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f(x)＝2x，则f(2＋log25)的值为________．－45[因为f(2－x)＝－f(x)＝f(－x所以f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，所以f(2＋log25)＝f2×2＝flog254＝－又－1＜log245所以f(2＋log25)＝－flog245＝−13．函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2 B．0C．2 D．4C[依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝