第2章 第2课时　函数的单调性与最值-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第2课时函数的单调性与最值[考试要求]1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有f(x)≤M；②∃x0∈D，使得f(x0)＝M①∀x∈D，都有f(x)≥M；②∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论]1．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)fx1−fx2x1−x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2(2)fx1−fx2x1−x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x22．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)． ()(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． ()(4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时，－1<t<2[答案]C2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．−∞，−12[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．(－∞，2][由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2．]4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝21−x，x∈[2，6]，则f(x－25－2[可判断函数f(x)＝21−x在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－25，f(x)min＝f考点一确定函数的单调性(单调区间)图象法、性质法确定函数的单调性[典例1](1)函数f(x)＝log12(－x2＋A．12，3C．(－2，3) D．1(2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________．(1)A(2)(－∞，－1]和[0，1][(1)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f(x)的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log12t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知，本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为(2)f(x)＝−x＝−x−1画出函数图象如图所示，可知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1].][拓展变式]本例(2)的函数换成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其单调递增区间是________．[1－2，1]，[1＋2，＋∞)[作出函数的图象如图所示，由图象知，其单调递增区间是[1－2，1]，[1＋2，＋∞)．]定义法、导数法确定函数的单调性[典例2]试讨论函数f(x)＝axx−1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．[解]法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，f(x)＝ax−1+1x−1＝f(x1)－f(x2)＝a1+1x1−1－a1+1x2所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．法二(导数法)：f′(x)＝ax'x−1−axx−1'当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．确定函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．[跟进训练]1．(1)函数f(x)＝3－x2－A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)(2)(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．f(x)＝－lnx B．f(x)＝1C．f(x)＝－1x D．f(x)＝3|x(1)B(2)C[(1)f(x)＝3－x2－2x分解为y＝3u和u＝－x2－2x两个函数，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可得函数f(x)＝3－x2(2)对于A，y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误；对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝12x在(0，＋对于C，y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－1x在(0，＋对于D，f(x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C.]考点二函数单调性的应用比较函数值的大小[典例3]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f−12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>cD[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f−12＝f52.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f(x因为1<2<52<e，所以f(2)>f52>f(e)，所以b>a>解抽象不等式[典例4]已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f13的xA．13，23C．12，23D[∵函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，∴2x－1≥0且2x－1＜13，∴x≥12且x＜23，∴12≤求参数的取值范围[典例5](1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)(2)(2024·山西朔州模拟)若函数f(x)＝x+ax−3，A．1，43C．(1，2) D．(1，2](1)D(2)B[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D.(2)若函数f(x)在R上单调递增，则y＝ax-3单调递增，则a＞1，y＝x＋ax－3在[4，＋∞则a≤4，a≤16，又4＋a4－3≥a4-3，∴a≤4则实数a的取值范围是1，函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．[跟进训练]2．(1)(多选)已知函数f(x)，∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，fx2−fx1x2A．f(0)＞f(－3)B．∀x∈R，f(x)≤f(－1)C．f(a2－a＋1)≥f3D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2(2)若函数f(x)＝x+a−3x−1在(a，＋∞(1)AB(2)[1，2)[(1)由函数f(x)满足f(－2－x)＝f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，fx2−fx1x2−x1＜0(x1≠x2)，则函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f(0)＞f(－3)，即A正确；对于选项B，由已知可得f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f(x)max＝f(－1)，即B正确；对于选项C，a2－a＋1＝a−122＋34≥34，又f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f(a2－a(2)f(x)＝x+a−3x−1＝x−1∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，∴a−2<0，a≥1⇒1考点三求函数的值域或最值[典例6](1)(2024·山东烟台期末)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f(x)的最小值为()A．2.5 B．3C．4 D．5(2)若函数f(x)＝x−a2，x≤0A．[－1，2] B．[－1，0]C．[1，2] D．[0，2](1)B(2)D[(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象，因为f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，所以f(x)的图象如图实线所示：由y=−x2由y=−x2+由图知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在0，5−1所以当x＝－1时，y＝－(－1)2＋4＝3，当x＝5−12时，y＝5−1所以f(x)的最小值为3.故选B.(2)当x＞0时，f(x)＝x＋1x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋∵f(x)的最小值为f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.又a≥0，得0≤a≤2.故选D.]【教师备选资源】(2024·湖南湘东名校期中)已知函数f(x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－12，则实数aA．0B．±1C．±2D．±2B[函数f(x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意作出a＞0时，函数M(x)的图象如图所示：由图象可知：在点A处取得最小值为－12故2x2－1＝－12，解得x＝±1由图象可知x＝－12，将点−12，−12代入g(x)＝ax得－12同理如果a＜0，则2x2－1＝－12，解得x＝±12，∴x＝12，将点12，−12代入g(x)＝ax得12a＝－12，解得a＝－1．当求函数最值的五种常用方法[跟进训练]3．(1)函数y＝1＋x－1−2x的值域为()A．−∞，32 C．32，+∞(2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f(x)＝x+4x，x∈12，6(1)B(2){4，5，6，7，8}[(1)法一：设1−2x＝t，则t≥0，x＝1−t22，所以y＝1＋1−t22－t＝12(－t2－2t＋3)＝－12(t＋1)2＋2．所以函数y＝1＋x－1−2x的值域为−∞，法二：因为y＝1＋x－1−2x在定义域−∞，12上单调递增，所以y＝1＋x－1−2x(2)易知y＝x＋4x，x∈12，当x＝2时，y＝x＋4x当x＝12时，y＝x＋4x＝当x＝6时，y＝x＋4x＝6＋2所以y＝x＋4x∈4，172，则函数课时分层作业(七)函数的单调性与最值一、单项选择题1．(2023·西城区一模)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝－|x| B．y＝x2－2xC．y＝sinx D．y＝x－1D[当x＞0时，y＝－|x|＝－x单调递减，A不符合题意；y＝x2－2x不具有单调性，B不符合题意；y＝sinx不具有单调性，C不符合题意；y＝x－1x故选D.]2．函数f(x)＝－x＋1x在−2A．32 B．－8C．－2 D．2A[函数f(x)＝－x＋1x在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在−2，−13上的最大值为f3．设a∈R，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(a2＋a＋2)＞f7B．f(a2＋a＋2)＜f7C．f(a2＋a＋2)≥f7D．f(a2＋a＋2)≤f7C[因为a2＋a＋2＝a+122＋74≥74，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(a4．(2024·湖北部分高中联考协作体模拟)函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是()A．12，+∞C．−12，12A[由4x2－1＞0，可得x＜－12或x＞1所以函数f(x)＝ln(4x2－1)的定义域为−∞，又y＝4x2－1在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是125．(2024·河北石家庄二中模拟)已知定义在[－1，3]上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，则不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为()A．(－∞，0] B．[0，1]C．[－1，0] D．[0，＋∞)B[∵对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，∴x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－1，3]上单调递减，∴由f(1－2x)≥f(x＋1)得，−1≤1−2x≤3，∴不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为[0，1].故选B.]6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fxA．y＝f(x)＋x是增函数B．y＝f(x)＋x是减函数C．y＝f(x)是增函数D．y＝f(x)是减函数A[不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵fx1−fx2x1−x2>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数．]二、多项选择题7．(2024·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax+2x+2A．f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)B．f(x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1]C．若f(x)在(－∞，－2)上单调递减，则a＜1D．若a＞1，则f(x)在定义域上单调递增AC[对于A：由x＋2≠0得x≠－2，则f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，A正确；对于B：f(x)＝ax+2x+2由x∈[－1，0]，可得x＋2∈[1，2]，则1x+2当a＝1时，f(x)＝a，即f(x)在[－1，0]上的值域为{1}；当a＜1时，2−2ax+2∈[1－a，2－2a]，a＋2−2ax+2∈[1，2－a]，即f(当a＞1时，2−2ax+2∈[2－2a，1－a]，a＋2−2ax即f(x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1].综上，当a＝1时，f(x)在[－1，0]上的值域为{1}；当a＜1时，f(x)在[－1，0]上的值域为[1，2－a]；当a＞1时，f(x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1].B错误；对于C：f(x)＝ax+2x+2若f(x)在(－∞，－2)上单调递减，则2－2a＞0，解得a＜1.C正确；对于D：f(x)＝ax+2x+2则a＞1时，f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递增．D错误．故选AC.]8．已知函数f(x)＝lnxA．f(x)在R上为增函数B．f(e)＞f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2]BC[易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．]三、填空题9．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．14[令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－t−122＋14，当t＝12，即x＝110．(2024·西宁模拟)已知函数f(x)＝logax，x＞1，ax−2，x≤(1，2][因为对任意x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2＞0，所以函数f解得1＜a≤2．]点拨：分段函数在R上具有单调性，注意衔接点处建立不等式．四、解答题11．(2024·秦皇岛青龙实验中学期中)已知函数f(x)＝x2+2x(1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f(x)的单调性，并证明；(2)当x∈(0，1]时，f(x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f(x)的最小值．[解](1)a＝2时，f(x)＝x＋12xx≥1时，f′(x)＝1－12∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．(2)∵f(x)＝x＋1ax＋2，∴f′(x)＝1－1∵当x∈(0，1]时，f(x)单调递减；当x∈