第1章 第4课时　基本不等式-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时基本不等式[考试要求]1．了解基本不等式的推导过程.2．会用基本不等式解决简单的最值问题.3．理解基本不等式在实际问题中的应用．1．基本不等式：ab(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)x＋y≥2xy，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．(2)xy≤x+y22，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．[常用结论]几个重要的不等式1一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2(2)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a．(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx，x∈(0，π)的最小值为4．(4)“x＞0且y＞0”是“xy+yx≥2[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80 B．77C．81 D．82C[xy≤x+y22＝81，当且仅当2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋1x−2A．1 B．2C．22 D．4D[∵x>2，∴x＋1x−2＝x－2＋1x−2＋2≥2x−2·1x−2＋2＝4，当且仅当x3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是()A．ba+ab≥2 C．a2+b2BC[当ba<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大．15152[设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝12x·2y≤12x+2y22考点一利用基本不等式求最值配凑法[典例1](1)(2024·河北衡水模拟)若x<23，则函数f(x)＝3x＋1＋9A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3(2)函数y＝x2+2(1)C(2)23＋2[(1)因为x<23，故3x－2<0，f(x)＝3x＋1＋93x−2＝3x－2＋93x−2＋3＝－−3x−2+当且仅当－(3x－2)＝9−3x−2，即x＝－(2)因为x>1，所以x－1>0，则y＝x2+＝x−1＝(x－1)＋3x−1＋2≥23＋当且仅当x－1＝3x−1即x＝3＋1时，取等号．]常数代换法[典例2]已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则1x+493[由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得1x+4y＝(x＋y)1x+4y＝5＋4xy+yx≥5＋24xy·yx＝9，当且仅当4x2＝y2，即x＝13，y＝23时，等号成立，所以1x+4y的最小值为9．1x+xy＝x+yx+x消元法[典例3]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．6[法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，∵x>0，y>0，∴x＋3y≥23xy，∴3xy≤x+当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴x＋3y＋13即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，得x＝9−3y1∴x＋3y＝9−3y1+y＋3＝9+3＝3(1＋y)＋121+y－6≥＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121+y，即x∴x＋3y的最小值为6．]【教师备选资源】若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xx−13＋22[因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1，由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，于是得xx−1+2yy−1＝1＋1x−1＋2＋2＝3＋22，当且仅当1x−1＝2即x＝1＋22，y＝1＋2时取“＝”所以xx−1+2y1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等．2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax+by的最值”的问题，先将ax3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解．[跟进训练]1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是()A．y＝x(4－x)B．y＝xC．y＝1x+1D．y＝x(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是()A．4 B．5C．7 D．9(3)若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1(1)CD(2)C(3)4[(1)y＝x(4－x)≤x+4−x22＝4，A错误；y＝x2+9∵x(1－x)≤x+1−x2∴y＝1x+1当且仅当x＝1－x，即x＝12y＝x+4x＝x+4x(2)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，即x＝2y+2+故2x＋y＝4＋4y+1＋y＋1－1≥4＋24y+1·y+(3)令x－1＝m，2y－1＝n，则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，∴1x−1+12y−1＝1m+1＝2＋nm+当且仅当nm＝mn，即m＝n＝12，x＝32，y＝34∴1x−1+考点二基本不等式的常见变形应用[典例4](多选)(2023·广东汕头三模)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是()A．ab≤2 B．a+bC．a23＋b2≥4 D．1ACD[对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，即ab≤a+b2对于B，a＞0，b＞0，(a+b)2＝a＋b＋2ab＝4＋2ab≤4＋2又a+b＞0，则a+b≤22，当且仅当对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4，则a23＋b2＝a23＋(4－a)2＝4a23－8a＋16＝43(对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以a+则1a+1b＝1a当且仅当ba＝ab，即a＝故选ACD.]基本不等式的常见变形(1)ab≤a+b22≤a2+b(2)21a+1b[跟进训练]2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1(2)当12＜x＜52时，函数y＝(1)BC(2)22[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－3x+y∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝33，y＝－33时，满足题设条件，但x2＋y2＝(2)由a+b2≤a2+b则y＝2x−1+5−2x≤22x−1+当且仅当2x−1＝5−2x，即x＝32【教师备选资源】(2024·佛山模拟)若m>n>1，a＝lnm·lnn，b＝12(lnm＋lnnA．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．a<c<bA[∵m>n>1，∴lnm>lnn>0，∴12(lnm＋lnn)>lnm·lnn，∴b>a，∵m+n2>mn，∴lnm+n2>lnmn＝12ln(mn)＝12(lnm＋lnn考点三基本不等式的实际应用[典例5](2024·山东威海期末)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200m2，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为xm(10≤x≤20)，甬路的面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．[解](1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为200x则S＝(x＋4)3×200x+2×4－600＝8x＋2400x＋32，10≤(2)设总造价为w元，则w＝200×26x+1200x＋600×3＝2400x＋480000x＋360000＋800x＋240000＝3200x＋720000x＋363200，10≤x≤其中3200x＋720000x≥23200x当且仅当3200x＝720000x，即x＝15∈[10，20]时，等号成立，故w＝3200x＋720000x＋363200所以当x＝15m时，总造价最低，最低总造价为459200元．利用基本不等式解决实际问题的注意点(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋ax(a(4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件．[跟进训练]3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1h通过的车辆数N满足关系N＝1000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0(单位：m)为安全距离，A．135B．149C．165D．195(2)(2023·浙江温州三模)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为()A．4km B．5kmC．6km D．7km(1)B(2)B[(1)由题意得，N＝1000v0.7v+0.3v2+30＝10000.7+0.3v+30v≤10000.7+20.3(2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝k1x，y2＝k2把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝45，所以y1＝20x，y2＝4费用之和y＝y1＋y2＝20x+45x当且仅当20x＝45x，即所以当仓库建在离车站5km处时，两项费用之和最小．故选B.]【教师备选资源】1．如果一个直角三角形的斜边长等于22，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为()A．2 B．1C．2 D．6C[设该直角三角形的斜边为c＝22，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8，因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4，这个直角三角形周长取最大值4＋22时，a＝b＝2，此时三角形的面积为12×2×2＝2.故2．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．30[由题意得，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为6·600x＋4x＝4900x+x≥8900x·课时分层作业(四)基本不等式一、单项选择题1．(2024·山东济南模拟)已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为()A．34 B．3C．52 B[由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤32当且仅当2a＝b，即a＝32，b＝3或a＝－32，b＝－所以ab的最大值为322．(2024·山西晋中期中)已知0<x<2，则y＝2x4−xA．2 B．4C．5 D．6B[因为0<x<2，所以y＝2x4−x2＝2x24−当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0<x<2，解得x＝2.故选B.]3．(2024·哈师大附中模拟)若正数x，y满足x＋6y＝3，则3yxA．4 B．98C．23 D．2A[∵x，y为正数，x＋6y＝3，∴3yx+1y＝3yx+x+6y3y＝3yx4．下列函数中，函数的最小值为2的是()A．y＝x＋2B．y＝xC．y＝ex＋e－xD．y＝log3x＋logx3(0<x<1)C[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；因为y＝x2+3x2+2＝1x2+2+x2+2＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y5．(2024·河南名校联考期中)现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝()A．3 B．4C．5 D．6A[由题意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝a+5a+1，则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2a+a+5a+1＝2a+1+4a+1故选A.]6．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A．第一种方案更划算B．第二种方案更划算C．两种方案一样D．无法确定B[设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则方案一：两次加油平均价格为40x+40y80＝x方案二：两次加油平均价格为400200x+200y＝2xy二、多项选择题7．下列说法正确的有()A．若x<12，则2x＋1B．若x>－2，则x+6C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2D．若x<1，则x2ABD[对于A，因为x<12，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋12x−1＝(2x－1)＋12x−1＋1＝－1−2x+11−2x＋1≤－21−2x·对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以x+6x+2＝x+2+4x+2对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x对于D，x2−x+9x−1＝x−12+x−1+9x−1＝－1−x8．(2024·河南信阳模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则()A．xy≤98 B．4x＋2y≥4C．x2＋y24≤9ABD[因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥22xy，即xy≤98，4x＋2y≥24x×2y＝222x+由不等式a2+b22≥a+b2，得4x2+y22≥2x+y因为2x＋y＝3，所以xy+1x＝xy+13x(2x＋y)＝23+三、填空题9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________；a＋b的取值范围是________．[9，＋∞)[6，＋∞)[因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab≤a+变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．]10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若1x+4y≥12(－∞，9][因为x＋y＝1，所以xy≤x+y所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，当且仅当x＝y＝12时取等号，即x2＋y2的最小值若a≤1x+4y恒成立，则因为1x+4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，当且仅当2故实数a的取值范围是(－∞，9].]四、解答题11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?[解]设直角梯形的高为xcm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝1440x故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1440x+8＝8x＋5760x＋1472≥2当且仅当8x＝5760x，即x＝125∴当直角梯形的高为125cm时，用纸量最少．12．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本(单