人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结一元二次方程21.1一元二次方程易错点：①a≠0和a=0②方程两个根的取舍知识点一一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意已下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2;③是整式方程。知识点二知识点三一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x₁=√a,x₂=-√a.(2)直接开平方法适用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0,就可以利用直接开平方法。(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非21.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么方程的两个根为,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。≠0)的过程。②确定公式中a,b,c的值，注意符号；④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0,则方程无实数知识点二一元二次方程根的判别式式b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b²-4ac.△>0,方程△>0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根△=0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根△<0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根根的21.2.3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0;③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=0,则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x²+px+q=0的两个根为xj,x₂,则有x₁+x₂=-p,x₁X₂=q.若一元二次方程a²x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x₂,则有x₁+x₂=,21.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。(2)设：是指设元，也就是设出未知数。(3)列：就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。(4)解：就是解方程，求出未知数的值。(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。(6)答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.(2)增长率问题设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)²=b。(3)利润问题(4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。二次函数一、相关概念及定义1二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。【这里需要强调】:和一元二次方程类似，二次项系数a≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2二次函数y=ax²+bx+c的结构特征：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.(2)a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。二、二次函数各种形式之间的变换,.2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax²;②y=ax²+k;③y=a(x-h)²;④y=a(x-h)²+k;⑤y=ax²+bx+c.4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.1五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式y=a(x-h)²+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x₁,0),(x₂,0)(若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.五、二次函数y=ax²的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.向下y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0.六、二次函数y=ax²+c的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.向下y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c.七、二次函数v=a(x-h²的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0向下x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.向下x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.1a的符号决定抛物线的开口方向：(3)|al相等，抛物线的开口大小、形状相同.2对称轴：平行于y轴(或重合)的直线记作.特别地，y轴记作直线x=0.4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.1二次项系数a二次函数y=ax²+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0.(1)当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；(2)当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|al的大小决定开口的大2一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.(1)在a>0的前提下，3常数项c1公式法：,∴顶点是,对称轴是直线1y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0,c).一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程①有两个交点→△>0→抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)⇔△=0→抛物线与x轴相切；③没有交点⇔△<0⇔抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为②方程组只有一组解时⇔l与G只有一个交点；③方程组无解时⇔l与G没有交点.1关于x轴对称2关于y轴对称3关于原点对称4关于顶点对称远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.1.平移步骤：平移k个单位平移k个单位2平移规律十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。(2)已知抛物线y=a(x-1)²+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。●●(1)已知抛物线y=4(x+a)²-2a的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。3.交点式。(1)已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。(2)已知抛物线线与x轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线x-b)的解析式。4.定点式。(1)在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线经过x轴上一定点Q,(2)抛物线y=x²+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。(3)抛物线y=ax²+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。5.平移式。(1)把抛物线y=-2x²向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(x-h)²+k,求此抛物线解析式。6.距离式。(1)抛物线y=ax²+4ax+1(a>0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。(2)已知抛物线y=mx²+3mx-4m(m>0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。7.对称轴式。(1)抛物线y=x²-2x+(m²-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。(2)已知抛物线y=-x²+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点，交y轴于点C,且求此抛物线的解析式。8.对称式。(1)平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y轴于E,将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B₁的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。(2)求与抛物线y=x²+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。9.切点式。(1)已知直线y=ax-a²(a≠0)与抛物线y=mx²有唯一公共点，求抛物线的解析式。(2)直线y=x+a与抛物线y=ax²+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。元二次方程(m+1)x²+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x²+(m+1)x+3解析式。(2)已知抛物线y=(a+2)x²-(a+1)x+2a的顶点在x轴上，求抛物线的解析式。图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转，点0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等。理解以下几点：(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。23.2中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点三中心对称的性质有以下几点：(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五关于原点对称的点的坐标关于在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点0叫作圆心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二圆的相关概念(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。24.1.2垂直于弦的直径知识点一圆的对称性知识点二垂径定理垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M,24.1.3弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应24.1.4圆周角知识点一圆周角定理(1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角(2)圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。24.2点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系点P在圆外一>d>r;点p在僵七d=r;点车圆知识点二过已知点作圆(1)经过一个点的圆(如点A)以点A外的任意一点(如点0)为圆心，以0A为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。(2)经过两点的圆(如点A、B)以线段AB的垂直平分线上的任意一点(如点0)为圆心，以0A(或OB)为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。第14页共19页①经过在同一条直线上的三个点不能作圆AC或BC、AC)并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点0,以点0为圆心，以0A③C知识点三三角形的外接圆与外心(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四反证法①假设命题的结论不成立；24.2.2直线和圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系若设⊙0的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有：=r;直线1和0相离d>r。知识点二切线的判定和性质(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。(3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三切线长定理(1)切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.(3)注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知识点四三角形的内切圆和内心(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。24.2.3圆和圆的位置关系知识点一圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系有五种：①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。(2)圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是rr₂,且r<r₂,则有两圆相交r₂-r₁<d<r₁+r₂24.3正多边形和圆知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切：把圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接各分知识点二正多边形的性质(4)正n边形的每一个内角等于,中心角和外角相等，等于24.4弧长和扇形面积知识点二扇形面积公式在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR²,所以圆心角为n°的扇形的面积为：比较扇形的弧长公式和面积公式发现：知识点三圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为1,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积：圆锥的全面积为：概率25.1随机事件与概率25.1.1随机事件知识点一必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，有些事件必