人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题嵌套函数的零点问题学案_第1页
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文档简介

微专题嵌套函数的零点问题函数的零点问题是高考命题的热点之一，常考查二次函数与复合函数相关的零点问题，与函数的图象性交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一判断嵌套函数零点的个数【例1】已知函数f(x)＝lnx-1x，x＞0，A．2 B．3C．4 D．5D解析：令t＝f(x)＋1＝ln①当t＞0时，f(t)＝lnt－1t，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－12＞0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示．由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．类型二由嵌套函数零点的个数求参数问题【例2】已知函数f(x)＝-x2+2x，x≥0，x2-2x，x＜0，若关于x的不等式[A．2 B．3C．5 D．8D解析：由题设，分段函数的图象如下：①若b＝0，则[f(x)]2＋af(x)－b2＜0即为[f(x)]2＋af(x)＜0.当a＞0时，－a＜f(x)＜0，又因为关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2＜0恰有1个整数解，所以其整数解必为3，且f(4)≤－a＜f(3)．又f(3)＝－3，f(4)＝－8，所以3＜a≤8.a≤0不必考虑．②若b≠0，因为[f(x)]2＋af(x)－b2＜0有解，所以Δ＝a2＋4b2＞0，解得-a-a2+4b22＜f(x)＜-a+a由于当f(x)＝0时，不等式的解集中含有2个整数解{0，2}，故舍去．综上，a的最大值为8.故选D.已知函数零点的个数求参数范围时，常利用数形

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