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文档简介
课时质量评价(六十一)1.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有()A.48种 B.36种C.24种 D.12种B解析:由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选1种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选1种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选1种有6种选法.根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法.故选B.2.(数学与文化)如图,古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出形状相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有个阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.由八卦模型图可抽象得到正八边形,从该正八边形的8个顶点中任意选出4个构成四边形,其中梯形的个数为()A.8 B.16C.24 D.32C解析:梯形的上、下底平行且不相等,如图.若以AB为底边,则可构成2个梯形,根据对称性可知此类梯形有16个;若以AC为底边,则可构成1个梯形,此类梯形共有8个.所以梯形的个数为16+8=24.故选C.3.(2024·聊城模拟)新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项,其错误选项可能有0个、1个或2个,这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用,促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求.若某道数学不定项选择题存在错误选项,且错误选项不能相邻,则符合要求的4个不同选项的排列方式共有()A.24种 B.36种C.48种 D.60种B解析:当错误选项恰有1个时,4个选项进行排列有A44=24(种)排列方式;当错误选项恰有2个时,先排2个正确选项,再将2个错误选项插入到3个空位中,有4.(多选题)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别记作a,b,则下列说法正确的有()A.baB.baC.(a,b)表示x轴上方不同的点的个数是6D.(a,b)表示y轴右侧不同的点的个数是6BC解析:对于A,若a,b均为正,共有2×2=4(个),若a,b均为负,共有1×2=2(个),但63=-4-2,所以共有5个,所以A错误;对于B,若ba为正,显然均比1大,所以只需ba为负即可,共有2×2+1×2=6(个),所以B正确;对于C,要使(a,b)表示x轴上方的点,只需b为正即可,共有3×2=6(个),所以C正确;对于D,要使(a,b)表示y轴右侧的点,只需5.下列各式中正确的个数为()①Cnm=Anmm!;②Anm=nAn-1m-1;③CnA.1 B.2C.3 D.4D解析:对于①,因为Cnm=AnmA对于②,Anm=n(n-1)(n-2)…(nAn-1m-1=(n-1)(n-2)…(n-所以Anm=nA对于③,CnmCn=m+1n-m,故③对于④,Cn+1m+1=n+1!m+1!n-m!=6.(2024·本溪模拟)e作为数学常数,它的一个定义是e=limx→+1+1xx,其数值约为2.7182818284….某人在设置手机的数字密码时,打算将e的前5位数字:2,7,1,8,2进行某种排列得到密码,如果要求两个2不相邻,那么此人可以设置的不同密码有36解析:第一步:对除去2以外的3个数字进行全排列,有A33=6(种)方法;第二步:将两个2选两个空插进去有C47.某社区将招募的5名志愿者分成两组,分别担任白天和夜间的网格员,要求每组至少两人,则不同的分配方法种数为.20解析:由两人担任白天网格员有C52种分配方法,由三人担任白天网格员有C58.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.解:(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有(C32C53+C(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为C7(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为C7(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种情况,再安排该男生有C31种情况,选出的3人全排列有9.甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛,每位教师至少指导一名学生.(1)若每位教师至多指导两名学生,求共有多少种分配方案;(2)若教师甲只指导其中一名学生,求共有多少种分配方案.解:(1)根据题意,分两步进行分析:①将五名学生分成三组,人数分别为2,2,1,有C5②将分好的三组全排列,安排给三位教师,有A3所以共有15×6=90(种)分配方案.(2)根据题意,分两步进行分析:①从五名学生任选一名学生分配给甲教师指导,有5种情况;②剩下四名学生分成两组,安排给其余两位教师指导,有C4所以共有5×14=70(种)分配方案.10.(新情境)魔方,又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯理工大学建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法,风靡程度经久未衰,每年都会举办大小赛事,是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方(如图)自由转动之后的色块组合约有4.3×1019种,现将下图已还原的魔方按5步打乱,且每一步互相独立,则打乱方式有()A.A185种C.185种 D.195种C解析:若以红色的一面为正面,分成三行三列,每一行可以左右旋转,每一列可以上下旋转,此时有3×2+3×2=12(种)旋转方式;接着侧面(以绿色一面为例),每一列都可以上下旋转,此时有3×2=6(种)旋转方式,故每一次旋转魔方,共有12+6=18(种)旋转方式.所以按5步打乱,且每一步互相独立,则共有185种打乱方式.故选C.11.(2024·日照模拟)某人从一层到二层需跨10级台阶,他一步可能跨1级台阶,称为一阶步,也可能跨2级台阶,称为二阶步,最多能跨3级台阶,称为三阶步,从一层上到二层他总共跨了6步,而且任何相邻两步均不同阶,则他从一层到二层可能的不同走法共有()A.10种 B.9种C.8种 D.12种A解析:按题意要求,不难验证这6步中不可能没有三阶步,也不可能有多于1个的三阶步,因此,只能是1个三阶步,2个二阶步,3个一阶步.为形象起见,以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程:白球表示一阶步,黑球表示二阶步,红球表示三阶步,该过程可表示为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.下面分三种情形讨论:(1)若第1、第6球均为白球,则两黑球必分别位于中间白球的两侧,此时,共有4个黑、白球之间的空位放置红球,所以此种情况共有4种不同的排列.(2)若第1球不是白球,①若第1球为红球,则余下5球只有1种可能的排列;②若第1球为黑球,则余下5球因红、黑球的位置不同有2种不同的排列,此种情形共有3种不同排列.(3)第6球不是白球,同(2),共有3种不同的排列.综上,按题意要求从一层到二层共有4+3+3=10(种)可能的不同走法.故选A.12.(多选题)现有3名男生和4名女生,在下列不同条件下进行排列,则()A.排成前后两排,前排3人后排4人的排法共有5400种B.全体排成一排,甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C.全体排成一排,女生必须站在一起的排法共有576种D.全体排成一排,男生互不相邻的排法共有1440种BCD解析:对于A,将7名学生排成前后两排,前排3人后排4人的排法,有C7对于B,甲不站排头也不站排尾,有5个位置可选择,将剩下的6人全排列,有A66种排法,则有对于C,将4名女生看成一个整体,有A44种排法,将这个整体与3名男生全排列,有A4对于D,先排4名女生,有A44种排法,排好后有5个空位,在5个人空位中任选3个,安排3名男生,有A513.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影,恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻,且丙坐在七人的正中间,则不同坐法的种数为.192解析:由题知,丙坐在正中间(4号位),甲、乙两人只能坐12或23或56或67号位,有4种情况,且甲、乙的顺序有A22种情况,剩下的4个位置其余4人坐,有A414.(数学与文化)七巧板是我国古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板,它包括五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若用4种颜色给各板块涂色,要求正方形板块单独一色,其余板块两块一种颜色,而且有公共边的板块不同色,则不同的涂色方案有种.72解析:将七巧板的七个板块标号,如图.由题意,一共4种颜色,板块A需单独一色,剩下6个板块中每2个板块涂同一种颜色.又板块B,C,D两两有公共边不能同色,故板块A,B,C,D必定涂不同颜色.①当板块E与板块C同色时,则板块F,G与板块B,D或板块D,B分别同色,共2种情况;②当板块E与板块B同色时,则板块F只能与D同色,板块G只能与C同色,共1种情况.又板块A,B,C,D颜色可全排列,故不同的涂色方案共有2+1×15.(1)将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子.把球全部放入盒内,共有多少种放法?(2)将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同,有多少种不同的放法?(3)将11个相同的小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中.若要求每个盒子至少放1个小球,有多少种不同的放法?解:(1)满足条件的放法可分为4步,第一步放1号球,第二步放2号球,第三步放3号球,第四步放4号球,每步都有3种放法.由分步乘法计数原理,可得满足条件的放法有3×3×3×3=81(种).(2)满足条件的放法可分为三步,第一步,从五个球中任选一个球x将其放在与其编号相同的盒子中,有5种放法;第二步,从余下的四个球中任选一个球y,放入编号为z(z≠y)的盒子中,有3种放法;第三步,将编号为z的小球放入余下的某一盒子中,有3种放法;第四步,将余下的两个小球按要求放入余下的盒子中,有1种放法.由分步乘法计数原理,可得共有5×3×3×1=45(种)放法.(3)将11个相同的小球排成一排,在排列的两端各放置1块隔板,在小球之间的10个空隙中选择4个空隙插入隔板,即可将11个小球分为5段,依次将各段小球放入5个盒子中,可得满足要求的放法,故满足要求的放法有C1016.已知从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取两个数,组成没有重复
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