人教A版普通高中数学一轮复习第10章第6节离散型随机变量的分布列及数字特征课件

第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量的分布列及数字特征·考试要求·1．了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识点一随机变量及离散型随机变量的分布列及性质1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)在离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1. (

)(2)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．

(

)(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．

(

)必备知识落实“四基”X25P0.30.7××√2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(

)A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次D

解析：因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．√

X－101P0.51－2qq21．随机变量(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为________或可以__________的随机变量，我们称为离散型随机变量．(3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量；用小写英文字母表示随机变量的取值．唯一有限个一一列举注意点：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．2．离散型随机变量的分布列(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布图．(3)性质：①pi____0，i＝1，2，3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___．≥13．两点分布：X的分布列如下表所示．称X服从两点分布或0－1分布．X01P1－pp

X－101P2．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则：命中得1分，不中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为X，则X的方差D(X)＝________.0.09

解析：由题意知，随机变量X的可能取值为0，1.因为P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1，所以E(X)＝1×0.9＋0×0.1＝0.9，D(X)＝(1－0.9)2×0.9＋(0－0.9)2×0.1＝0.09.3．甲、乙两名工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列如下：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是__________．乙

解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)＜E(X)，故乙的技术较好．X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2

X01Pa2a

1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝______________________＝_________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的____________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的__________．Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加权平均数平均水平注意点：E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．

Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn

偏离程度集中分散3．若X服从两点分布，则E(X)＝___；则D(X)＝_________．pp(1－p)【常用结论】若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.应用1

(多选题)设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(

)A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD

解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，则E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8.因为离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝22D(X)＝7.2.故选ACD.X01234Pq0.40.10.20.2√√√

核心考点提升“四能”√X01P9a2－a3－8a

3．设离散型随机变量X的分布列为(1)求η＝|X－1|的分布列；(2)求P(1＜2X＋1＜9)．X01234P0.20.10.10.3m解：(1)由题意易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.由X的分布列可知η＝|X－1|的取值为0，1，2，3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，所以η＝|X－1|的分布列为(2)由1＜2X＋1＜9，解得0＜X＜4，故P(1＜2X＋1＜9)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.η0123P0.10.30.30.3反思感悟离散型随机变量的分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值．(2)利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

√

X123P反思感悟求离散型随机变量X的分布列及数字特征的方法(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求D(X)．(6)涉及形如Y＝aX＋b(a，b为非零常数)的期望、方差时，注意应用性质求解．

X01234P

均值与方差在决策问题中的应用【例2】(2024·泰安模拟)某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励额．(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励额为1000元的概率；②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望．(2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

X4001000P(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1000元，所以先寻找期望为1000元的可能方案．对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，因为1000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1000元；如果选择(800，800，800，200)的方案，因为1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)记为方案1.对于面值由600元和400元组成的情况，

反思感悟利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们比较两个随机变量的差别时，可先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，需要用D(ξ1)，D(ξ2)来进一步比较这两个随机变量的偏离程度，从平均水平和离散程度两个方面进行比较．(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．(2021·新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列．(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由．解：(1)由题意，X的可能取值为0，20，100，则P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)得，先回答A类问题的期望E(X)＝0×0.2＋2