人教A版普通高中数学一轮复习第3章第2节第1课时导数与函数的单调性课件

第三章导数及其运用第二节导数的应用第1课时导数与函数的单调性·考试要求·1.结合实例，借助几何直观了解函数单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会用导数求函数的极大值、极小值．4．会求闭区间上函数的最大值、最小值．必备知识落实“四基”知识点函数的单调性与导数1．(教材改编题)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是(

)A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减√2．已知导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)D

解析：由题图可知，当x＜0时，f′(x)＜0，当x＞0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选D.√

√1．函数单调性与导数的关系设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内为常数函数2．(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．(3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验．【常用结论】(1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．应用1命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0；命题乙：函数f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A

解析：由题易知，甲可推出乙，但乙不能推出甲．例如，函数f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件．应用2若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________．[－3，0]

解析：题意等价于f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.√核心考点提升“四能”

√求函数的单调区间

√

反思感悟求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解集在定义域内的部分为单调递增(或递减)区间．

讨论函数的单调性

反思感悟解决含参函数的单调性问题的注意点(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．

√函数单调性的应用

反思感悟利用导数解不等式的关键是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后再使用导数．同时根据奇偶性变换不等式为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围．

√

√反思感悟利用导数比较大小的方法(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小．(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小．

反思感悟根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：若y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)在区间(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一子区间内，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．

√2．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜1，f(1)＝1，则不等式f(x)＞x的解集为(

)A．(－∞，1) B．(0，1)C．(1，＋∞) D．(e，＋∞)A

解析：由题意知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＜1，则f′(x)－1＜0.令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1＜0，所以F(x)在R上单调递减．因为f(1)＝1，所以F(1)＝f(1)－1＝0.因为f(x)＞x，所以f(x)－x＞0，即F(x)＞0＝F(1)，所以x＜1，即不等式f(x)＞x的解集为(－∞，1)．√

一题N解

拓展思维[试题呈现]若函数f(x)＝x3－ax