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文档简介

复习:可分离变量的微分方程法

g(y)dy

f(x)dx第3节一阶线性微分方程一、一阶线性齐次微分方程二、一阶线性非齐次微分方程三、小结一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程微分方程变换是否是一阶齐次或非齐次微分方程

讨论:齐次不是一阶线性方程非齐次非齐次————不是一阶线性方程非齐次————齐次方程的通解为1.线性齐次方程二：一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解方程求解步骤为（常数变易法）：先求对应于非齐次方程的齐次方程的通解

例1这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解.则即解:(用常数变易法)则

代入所给非齐次方程,得即

故所得方程的通解为例2

如图所示，平行于

轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程.所求曲线为这是一个非齐次线性方程.是一阶线性非齐次微分方程,解：其通解为:或另解:(变量代换法)代入原式由分离变量法得所求通解为两边积分得三、小结2.线性齐次方程1、一阶线性微分方程的标准形式:3.线性非齐次方程练习

解法1:（常数变易法）此方程是一阶线性非齐次方程.先求得对应齐次方程化简得:积分得所以,原方程的通解为.练习解法2:(直接运用通解公式求解)

为方程的通解.

解原方程可化为:

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