2006年第18“五羊杯”初中数学竞赛初一试卷

2006年第18届“五羊杯”初中数学竞赛初一试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知有理数，，，满足，那么A． B． C． D．2．（5分）计算：A．0.0013764 B．0.0004836 C．0.00186 D．03．（5分）计算：A． B． C． D．4．（5分）已知有理数，，，满足，且，那么A． B． C． D．5．（5分）2006和3007的最大公约数是A．1 B．7 C．11 D．136．（5分）的计算结果是一个A．无限循环小数 B．有限小数 C．无限不循环小数 D．整数7．（5分）把17写成的形式，其中，，是整数，，共有种写法．A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）设整数满足，，也是整数，而且的各位数字和恰好也是，那么这样的A．至少有3个 B．恰有2个 C．刚好有1个 D．不存在9．（5分）关于的一元一次方程的解A．是一个大于1000的数 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于0且小于2的数 D．不存在10．（5分）设、、、为大于0的整数，满足算式，那么A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）是整数，，且是一个完全立方数，则的最小值是．12．（5分）如果五羊牌越野汽车的车牌号码为“”这种类型，即开头两个是英文字母（可以相同），后面两个是阿拉伯数字（可以相同），那么，这样的车牌号码一共有个．13．（5分）如果，，，那么、、、的大小顺序（从小到大）是．14．（5分）如果、、是三个质数，而且，那么这样的、、组成的数组，，共有组．15．（5分）如下是2008年6月的日历，杨小武该月每周都要参加一次足球训练，日程安排是：星期日、星期一和星期六安排去一次，星期三去两次．那么杨小武参加训练的日期数的总和是（注：如果5日和17日去训练，那么日期数的总和是，依此类推）周次星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六一1234567二891011121314三15161718192021四22232425262728五293016．（5分）如下的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“五”“羊”“杯”．17．（5分）分数中共有个分数可以化成混循环小数．18．（5分）请你自己作图：画一个平行四边形，顶点按逆时针方向标上字母，，，、连接两条对角线，，这两条对角线相交于一点、设是边上的一点，连接线段，、设和相交于点，和相交于点．已知四边形的面积为10，三个三角形、、的面积的和为75，那么平行四边形的面积为．19．（5分）请你自己画图：画一个三角形，三个顶点分别标上，，、在边上任意取三个点（都不是，，记为，，、在边上任意取两个点（都不是，，记为，、连接线段，，和，、这时，图中一共可以数得出个三角形．20．（5分）甲、乙两车在、两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从城开出，乙车从城开出，两车在距城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达城时，两车又在距城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离城公里．

2006年第18届“五羊杯”初中数学竞赛初一试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知有理数，，，满足，那么A． B． C． D．【分析】根据已知条件可得，，，，，四个正数比较大小，分子相同，分母越大，分数越小．【解答】解：，，，，，，．故选：．【点评】本题考查了有理数的除法和有理数的大小比较．2．（5分）计算：A．0.0013764 B．0.0004836 C．0.00186 D．0【分析】此题看似复杂，实际把原式看作是，把小数化为整数，就比较容易了．【解答】解：原式，其中，故原式．故选：．【点评】按有理数运算顺序进行混合运算，并且准确地掌握有理数的运算中的符号问题．3．（5分）计算：A． B． C． D．【分析】本题直接根据有理数的计算法则，分子分母同时乘以8，化简计算即可．【解答】解：分子分母同时乘以8，原式，，．故选：．【点评】本题考查有理数的混合运算，分子分母同乘以同一个数，化简即可．4．（5分）已知有理数，，，满足，且，那么A． B． C． D．【分析】可设，进而用表示出，联立求得的值，代入所给代数式中求解即可．【解答】解：设，则，，，故选：．【点评】考查比例性质的应用；用含的代数式表示出及的值是解决本题的突破点．5．（5分）2006和3007的最大公约数是A．1 B．7 C．11 D．13【分析】设是2006和3007的最大公约数，则整除2006和3007，从而整除，因为3007是奇数，从而可得出答案．【解答】解：设是2006和3007的最大公约数，则整除2006和3007，从而整除，因为3007是奇数，所以只有，故选：．【点评】本题考查了最大公约数，难度较大，关键是得出整除．6．（5分）的计算结果是一个A．无限循环小数 B．有限小数 C．无限不循环小数 D．整数【分析】由于，，，其中、、都是整数，然后代入已知等式进行分析即可求解．【解答】解：，，，其中、、都是整数，．的计算结果是一个整数．故选：．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据所求代数式的隐含条件确定是谁的倍数关系，然后结合题目的运算分析解决问题．7．（5分）把17写成的形式，其中，，是整数，，共有种写法．A．15 B．16 C．17 D．18【分析】解答此题利用枚举法，从最小的整数开始，注意这一条件，一一列举即可解答．【解答】解：当时，，，，，，，共6种；当时，，，，，，共5种；当时，，，，共3种；当时，，，共2种；综上所知共种．故选：．【点评】此题主要考查一一列举的方法来解答答案有限的数学问题．8．（5分）设整数满足，，也是整数，而且的各位数字和恰好也是，那么这样的A．至少有3个 B．恰有2个 C．刚好有1个 D．不存在【分析】根据整数满足，则是一个位数不多于3的一个整数，可以先设出这个数，然后根据整除性和各位上的数都是正整数，即可得到的各位数的范围，从而求解．【解答】解：可设，，，是中的数字．，，不同时为0．又题意得，．因，只能取0或1．若．则只有，，引出矛盾．故，，，．故选：．【点评】本题主要考查了数的整除性，正确确定的各个位上的数字之间的关系是解决本题的关键．9．（5分）关于的一元一次方程的解A．是一个大于1000的数 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于0且小于2的数 D．不存在【分析】运用视察法可发现当时，方程成立，由此可判断出正确选项．【解答】解：通过视察法发现当时方程两边都等于2，即方程的解为，结合选项可得正确．故选：．【点评】本题考查一元一次方程的解，当方程比较麻烦时有时可能不需要仔细地去解，而是仔细地观察．10．（5分）设、、、为大于0的整数，满足算式，那么A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据题意可知：，，推出，即得，求即可，同理，求和．【解答】解：，，，，，，，，时，，，，；，．故选：．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，等式的性质，关键在于正确的对等式两边的代数式和分数进行整理变形，认真熟练地进行计算．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）是整数，，且是一个完全立方数，则的最小值是278．【分析】根据是正整数，且是一个完全立方数，可知是小于2006的完全立方数，由于小于2006的最大立方平方数是，则有方程，求解即可．【解答】解：是整数，，且取最小值．则有，，．故答案为：278．【点评】本题考查完全立方数的知识，难度较大，关键是找到小于2006的最大的完全立方数．12．（5分）如果五羊牌越野汽车的车牌号码为“”这种类型，即开头两个是英文字母（可以相同），后面两个是阿拉伯数字（可以相同），那么，这样的车牌号码一共有67600个．【分析】先求出前面两个英文字母组合的种数，再求出后面从0到9有10个数任取两个的组合数，再由乘法原理求解即可．【解答】解：因为有26个英文字母，所以前面两个英文字母共用中组合，因为从0到9有10个数，所以共有中组合，所以按乘法原理，所求个数为个．故答案为：67600．【点评】本题考查的是排列组合中的乘法原理，即完成一件事，需两个步骤，第一步有种不同方法，第二步有种不同方法，则完成这件一共有种不同方法．13．（5分）如果，，，那么、、、的大小顺序（从小到大）是．【分析】先设，，再用，表示出的值，判断出、的取值范围再与、的值相比较，判断出、、、的大小并用“”连接起来．【解答】解：设，，则，显然，故，，易见，，．故答案为：．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，把的值用、表示出来是解答此题的关键．14．（5分）如果、、是三个质数，而且，那么这样的、、组成的数组，，共有1组．【分析】先根据求出的值，由于、、是三个质数可知、、中必有一个是3的倍数，但3的倍数中只有3才是质数，把代入原式即可求出、的对应值．【解答】解：，，，，都不是3的倍数，从而、、除以3的余数都不相同，、、中必有一个是3的倍数，但3的倍数中只有3才是质数，，，均为质数，这是唯一解，即符合题意的数组，，共有1组．故答案为：1．【点评】本题考查的是质数与合数，熟知质数与合数的定义是解答此题的关键．15．（5分）如下是2008年6月的日历，杨小武该月每周都要参加一次足球训练，日程安排是：星期日、星期一和星期六安排去一次，星期三去两次．那么杨小武参加训练的日期数的总和是88（注：如果5日和17日去训练，那么日期数的总和是，依此类推）周次星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六一1234567二891011121314三15161718192021四22232425262728五2930【分析】由题意可以设第周安排在星期，训练（星期日记为，该日日期是2008年6月日，根据表格中的数据从而求出总和为，从而求解．【解答】解：设第周安排在星期，训练（星期日记为，该日日期是2008年6月日，则，，，，，从而所求的总和为，故答案为88．【点评】此题主要考查学生对数据的处理能力，关键是要读懂题意，此题难度比较大．16．（5分）如下的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“五”“羊”“杯”14．【分析】首先设，，，然后由数字的表示方法得到方程：，再由数字各位上的数字特点分析求解即可．【解答】解：设，，，则由题意得：，，，此式左边为13的倍数，但13与100互质，是13的倍数，但是一位数，唯有，代入得：，即，和76互质，是76的倍数，设，则是正整数），是2位数，，，，“五”“羊”“杯”．故答案为：14．【点评】此题考查了数字的表示方法与性质．解题时要注意每位上的数字是小于10的自然数．17．（5分）分数中共有14个分数可以化成混循环小数．【分析】关于化成混循环小数，应该是2或5的倍数，而且至少有一个非2非5的质因数．在1，2，，40中符合以上条件的为6，12，14，15，18，22，24，26，28，30，34，35，36，38，共14个．【解答】解：，，，，，，，，，，，，，．分数中共有14个分数可以化成混循环小数．故答案为：14．【点评】本题考查了混循环小数．分数可以化成混循环小数是分数的分母是2或5的倍数，而且至少有一个非2非5的质因数的真分数．18．（5分）请你自己作图：画一个平行四边形，顶点按逆时针方向标上字母，，，、连接两条对角线，，这两条对角线相交于一点、设是边上的一点，连接线段，、设和相交于点，和相交于点．已知四边形的面积为10，三个三角形、、的面积的和为75，那么平行四边形的面积为130．【分析】可将平行四边形的面积分割为各个小三角形面积的和，进而由已知条件中各个小三角形的面积通过转化即可得出平行四边形的面积．【解答】解：设所求的平行四边形的面积为，则，又，，所以由已知得，，，故此题应填130．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，题中主要涉及面积计算问题，应熟练掌握此类问题并能够求解．19．（5分）请你自己画图：画一个三角形，三个顶点分别标上，，、在边上任意取三个点（都不是，，记为，，、在边上任意取两个点（都不是，，记为，、连接线段，，和，、这时，图中一共可以数得出42个三角形．【分析】如图，可以数得出的三角形有两类，第一类：有一个顶点为．第二类：不以为顶点的三角形，分别求解即可．【解答】解：如图，可以数得出的三角形有两类，第一类：有一个顶点为，个数（个（从，，，，中任意取两条，再从，，中任意取一条）．第二类：不以为顶点的三角形，个数个）（从，，中任意取两条，从，，，中，任意取一条）．共（个．故答案为：42．【点评】本题考查作图复杂作图，三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题．20．（5分）甲、乙两车在、两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从城开出，乙车从城开出，两车在距城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达城时，两车又在距城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离城72公里．【分析】可在一条线段上简单的作出图形，考虑两车第二次相遇的情形，即甲还没有到达城，便与相遇于处，其实是乙到达城后，在回程途中追上甲，这样甲到达，之间的处时，乙到达城折回与甲第三次相遇，又其速度不变，所以设法求出其速度之间的关系即此题解题的关键．【解答】解：设两车首次相遇于处，第二次相遇于处，第三次相遇于