初中中考好题难题

2012年初中中考数学难题

—.填空题(共2小题)

1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=、后，BC=V10.第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点

O|：OQ的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点Di重合，折痕与BD交于点。2；设O2D1的中点为D2,第

三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,…按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交

于点On，则BO|=,BOn=

2.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(-3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=l,2,3,4,...)的顶点

在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标

为;抛物线C8的顶点坐标为.

二.解答题(共28小题)

3.已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0(kNl).

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数.

4.已知：关于x的方程kx?+(2k-3)x+k-3=0.

(1)求证：方程总有实数根；

(2)当k取哪些整数时，关于x的方程kx?+(2k-3)x+k-3=0的两个实数根均为负整数？

5.在平面直角坐标系中，将直线1：尸-卫x-3x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,

42

将抛物线C|：—x2沿X轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F.

3

(1)求直线AB的解析式；

(2)若线段DF〃x轴，求抛物线C2的解析式；

(3)在(2)的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH，x轴于点G,与直线1交于点H,一条直线m(m不过△AFH

的顶点)与AF交于点M,与FH交于点N,如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m

的解析式.

6.已知：关于x的一元二次方程-x?+(m+4)x-4m=0,其中0<m<4.

(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示)；

(2)设抛物线y=-x?+(m+4)x-4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0,-2),且

AD・BD=10,求抛物线的解析式；

(3)已知点E(a,yi),F(2a,y2)>G(3a,y3)都在(2)中的抛物线上，是否存在含有yi、y2、y3，且与a无

关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

7.点P为抛物线y=x2-2mx+n?(m为常数，m>0)上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90。后得到的新图

象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，点Q为点P旋转后的对应点.

(1)当m=2,点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a；

(3)如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分NAQC,AQ=2QC,当QD=m

时，求m的值.

8.关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有实数根，且c为正整数.

(1)求c的值；

(2)若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左

侧)，与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；

(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为(m,n),当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC

只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.

9.如图，己知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB«FC.

10.如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线.

求证：(1)ZEAD=ZEDA.

(2)DF〃AC.

(3)ZEAC=ZB.

11.已知：关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)在(1)的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1总过x轴上的一个固定点；

(3)关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=(m-1)x2+(m

-2)x-1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式.

12.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.

(1)如图1,若NDAC=2/ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形，贝|/ABC=；

(2)如图2,若NABC=30。，ZiACD是等边三角形，AB=3,BC=4.求BD的长；

(3)如图3,若NACD为锐角，作AHJ_BC于H.当BD2=4AH?+BC2时，NDAC=2NABC是否成立？若不成立,

请说明你的理由；若成立，证明你的结论.

13.已知关于x的方程mx、(3-2m)x+(m-3)=0,其中m>0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

Xo-1

(2)设方程的两个实数根分别为XI，X2,其中X1>X2,若产二一，求y与m的函数关系式;

3xj

(3)在(2)的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式yv-m成立的m的取值范围.

14.已知：关于x的一元二次方程x?+(n-2m)x+m?-mn=O①

(1)求证：方程①有两个实数根；

(2)若m-n-1=0,求证：方程①有一个实数根为1;

(3)在(2)的条件下，设方程①的另一个根为a.当x=2时，关于m的函数yi=nx+am与y2=x?+a(n-2m)x+m2

-mn的图象交于点A、B(点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D.当L沿

AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.

w

15.如图，已知抛物线y=(3-m)x2+2(m-3)x+4m-m?的顶点A在双曲线y=H上，直线y=mx+b经过点A,

x

与y轴交于点B,与x轴交于点C.

(1)确定直线AB的解析式；

(2)将直线AB绕点O顺时针旋转90。，与x轴交于点D,与y轴交于点E,求sin/BDE的值；

(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在

直线BG上，请直接写出使得NAMB+NANB=45。的点N的坐标.

16.如图，AB为的直径，AB=4,点C在。O上，CF±OC,且CF=BF.

(1)证明BF是。0的切线；

(2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求/MCF的大小.

17.如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合)，

记^DEF的周长为p.

(1)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=；

(2)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是.

小亮和小明对第(2)问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得

AAB1C,再将△AB|C以BiC为轴翻折一次得△A1B|C,如图2所示.则由轴对称的性质可知，DF+FEi+EiD2=p,

根据两点之间线段最短，可得庐DD2.老师听了后说："你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化,

所以还得不出我们想要的结果."小明接过老师的话说："那我们继续再翻折3次就可以了请参考他们的想法，写

出你的答案.

图1图2

18.已知关于x的方程x?-(m-3)x+m-4=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围；

(3)设抛物线y=x2-(m-3)x+m-4与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰

好是点M,求m的值.

孙

o~~iX

19.在RSABC中，ZACB=90°,tanZBAC=l.点D在边AC上(不与A,C重合)，连接BD,F为BD中点.

2

(1)若过点D作DE_LAB于E,连接CF、EF、CE,如图1.设CF=kEF,贝ijk=；

(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE-

DE=2CF；

(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最

20.我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边

形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四

边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.

(1)如图2,已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求：画出必要的

辅助线)；

(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合)，请分别探究图3、图4中Si，S2，S3,

S4四者之间的等量关系(Si，S2,S3，S4分别表示AABP,△CBP,△CDP,AADP的面积)：

①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；

②如图4,当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是_____________.

21.已知：关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax?-bx+kc(exO)的图象与x轴一个交

点的横坐标为1.

(1)若方程①的根为正整数，求整数k的值；

22

(2)求代数式型22___b+ab的值;

akc

(3)求证：关于x的一元二次方程ax2-bx+c=O②必有两个不相等的实数根.

22.已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D.

(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)在x轴上求一点E,使得ABCE是以BC为底边的等腰三角形；

(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF〃BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折

得到AEFG.设P(x,0),AE，FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取

值范围.

23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0,3),(3,0),(-2,-5).求：

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求这个二次函数的最值；

(3)若设这个二次函数图象与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧)，且点A是该图象的顶点，请在这个二次函

数的对称轴上确定一点B,使AACB是等腰三角形，求出点B的坐标.

24.根据所给的图形解答下列问题：

(1)如图1,△ABC中，AB=AC,ZBAC=90",AD_LBC于D,把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC

面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；

(2)如图2,△ABC中，AB=AC,NBAC=90。，请你设计一种与(1)不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成

一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；

(3)设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，

并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论.

25.例.如图①，平面直角坐标系xOy中有点B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面积.

解：过点B作BDLx轴于D,过点C作CELx轴于E.依题意，可得

S&OBC=S抑形BDEC+SAOBD-SAOCE

=-1(BD+CE)(OE-OD)+如-^OE-CE

=L(3+4)x(5-2)+i<2x3-1x5x4=35

222

.,.△OBC的面积为3.5.

(1)如图②，若B(xi，yP、C(X2,y2)均为第一象限的点，0、B、C三点不在同一条直线上.仿照例题的解

法，求△OBC的面积(用含xi、X2、yry2的代数式表示)；

(2)如图③，若三个点的坐标分别为A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四边形OABC的面积.

26.阅读：

①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像.如果原图形每一个点只对应像的一

个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换.特别地，当新图形与原图形的形状大

小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换.

问题1：我们学习过的平移、、变换都是正交变换.

②如果一个图形绕着一个点(旋转中心)旋转n。(0<n<360)后，像又回到原图形占据的空间(重合)，则称该

变换为该图形的n度旋转变换.特别地，具有180。旋转变换的图形称为中心对称图形.

例如，图A中奔驰车标示意图具有120。，240。，360。的旋转变换.

图B的几何图形具有180。的旋转变换，所以它是中心对称图形.

问题2：图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值.

答：(图C)；答：(图D).

问题3：如果将图C和图D的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为一

问题4：请你在图E中画出一个具有180。旋转变换的正多边形.(要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上)

27.已知：点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内，把线段AP、BP分别折成4CDP、△EFP,

其中NCDP=NEFP=90°,且D、P、F三点共线，如图所示.

(1)若ACDP、AEFP均为等腰三角形，且DF=2,求AB的长；

(2)若AB=12,tan/C=9,且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE

3

的面积的最小值.

____B

DPF

28.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-亚x+汉蕊x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的

33

顶点D与点C重合，如图A所示.把三角板绕着点0顺时针旋转，旋转角度为a((r<a<18(T),使B点恰好落

在AC上的B，处，如图B所示.

(1)求图A中的点B的坐标；

(2)求a的值；

(3)若二次函数y=mx2+3x的图象经过(1)中的点B,判断点B，是否在这条抛物线上，并说明理由.

29.已知：如图，AC是。0的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长.

(1)若/BAC=2/BAN,求证：MN是。0的切线.

(2)在(1)成立的条件下，当点E是定的中点时，在AN上截取AD=AB,连接BD、BE、DE,求证：ABED

是等边三角形.

30.在一个夹角为120。的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点.如

果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够.

(1)写出此图中相等的线段.

(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程)

B

C

2012年初中难题数学组卷

参考答案与试题解析

—.填空题(共2小题)

1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=&，BC=V10-第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点

O1：OQ的中点为Di，第二次将纸片折叠使点B与点Di重合，折痕与BD交于点。2；设O2D1的中点为D2,第

三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,•…按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交

于点On，则BOi=2

考点:翻折变换(折叠问题)；矩形的性质。

专题:规律型。

分析:(1)结合图形和已知条件，可以推出BD的长度，根据轴对称的性质,即可得出Oi点为BD的中点，很容

易就可推出0田=2；

(2)依据第二次将纸片折叠使点B与点Di重合，折痕与BD交于点。2，OQ的中点为Di，可以推出

B01

4-2-1n-1

O2DI=BO2=----LA-----；以此类推，即可推出：BOn=^——

22-32n

222一3

解答:解：•.•矩形纸片ABCD中，AB=V6，BC=VIO，

；.BD=4,

(1)当n=l时，

:第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点Oi，

AOiD=OiB=2,

.•.B0|=2=1；

22X1-3

(2)当n=2时，

•.,第二次将纸片折叠使点B与点Di重合，折痕与BD交于点。2,OiD的中点为Di，

B0,

4------2一1

.".OODI=BO2=------L叁------

'2222X2-3

♦.•设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,

3-吧_

O3D2=O3B=__^-1L2_

Qn-1

・•・以此类推，当n次折叠后，BOn=^-—.

22n-3

点评：本题考查图形的翻折变换，解直角三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴

对称，根据轴对称的性质推出结论

2.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(-3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=l,2,3,4,...)的顶点

在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标

为(3,2);抛物线C8的顶点坐标为(55,留).

3—

考点：二次函数的性质。

专题：规律型。

分析：根据A(-3,0),B(0,1)的坐标求直线AB的解析式为y=^+l,因为顶点C2的在直线AB上，C?坐

标可求；根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55,代入直线AB的解析式y:1x+l中，可求纵坐标.

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b

则[-3k+b=0

[b=l

解得k=工，b=l

3

直线AB的解析式为y=L+l

3

•..抛物线C2的顶点坐标的横坐标为3,且顶点在直线AB上

抛物线C2的顶点坐标为(3,2)

•..对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,...

每个数都是前两个数的和

抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55

抛物线C8的顶点坐标为(55,留).

3

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能

力.

二.解答题(共28小题)

3.已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0(k21).

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数.

考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）先由kHO,确定此方程为一元二次方程.要证明方程总有两个实数根，只有证明ANO,通过代数式变

形即可证明；

（2）先利用求根公式求出两根，X|=1,只要2被k整除，并且有k21的整数，即可得到k

X2=l-看

的值.

解答：证明:(1)Vk>l,

.,.kxO,此方程为一元二次方程，

A=4-4k(2-k)=4-8k+4k2=4(k-1)2

而4(k-1)2>0,

.•.方程恒有两个实数根.

⑵解：方程的根为x「土耳…」一山厂。2

一1±J(k1)/-1±(k-1)

Vk>l,

Vk>l,若k为整数，

当k=l或k=2时，方程的两个实数根均为整数.

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（awO,a,b,c为常数）根的判别式△=b?-4ac.当△>0,方程有两

个不相等的实数根；当△=（），方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.同时考查了解方程的

方法和整数的整除性质.

4.已知：关于x的方程kx2+（2k-3）x+k-3=0.

（1）求证：方程总有实数根；

（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx?+（2k-3）x+k-3=0的两个实数根均为负整数？

考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法。

专题：证明题；分类讨论。

分析：（1）分两种情况讨论，当k=0时为一元一次方程，方程有一个实数根；当kwO时，利用根的判别式计算出

△>0,得到方程总有实数根；

（2）先判断出方程为一元二次方程，然后利用求根公式求出方程的两个根，再根据方程两根均为负数得出

k的取值范围，从而求出k的值.

解答：解：（1）分类讨论：

若k=0,则此方程为一元一次方程，即-3x-3=0,

；.x=-1有根，（1分）

若kwO,则此方程为一元二次方程，

（2k-3）2-4k（k-3）=9>0,（2分）

，方程有两个不相等的实数根，（3分）

综上所述，方程总有实数根.

（2）;•方程有两个实数根，

.•.方程为一元二次方程.

利用求根公式⑵±（4分）

得X产爰X2……

•••方程有两个负整数根，

-1是负整数,即k是3的约数

k=+1,±3

但k=l、3时根不是负整数，

，k=-1、-3.（7分）

点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要明确：（1）△>00方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）=

方程有两个相等的实数根；（3）△VOQ方程没有实数根；同时要加以灵活运用.

5.在平面直角坐标系中，将直线1：尸-卫x-卫沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,

42

将抛物线C|：疔2*2沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F.

3

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF〃x轴，求抛物线C2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH^x轴于点G,与直线1交于点H,一条直线m（m不过△AFH

的顶点）与AF交于点M,与FH交于点N,如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m

的解析式.

J'八

考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。

专题：综合题。

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,将直线尸-ax-四x轴、y轴交点求出，沿x轴翻折，则直线

42

尸-Wx-2直线AB交同一A点，与y轴的交点（0,-卫）与点B关于x轴对称，求出K和b；

7422

（2）设平移后的抛物线C2的顶点为P（h,0）,则抛物线C2解析式为：尸2（x-h）2,求出D点坐标,

3

由DF〃x轴，又点F在直线AB上，解得h的值，就能抛物线C2的解析式；

（3）过M作MT±FH于T,可证三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA,设FT=3k,TM=4k,FM=5k,

求得FN,又由S△册JF^S△幽，求得k，故能求得直线m的解析式.

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,

将直线厂-Wx-'与x轴、y轴交点分别为（-2,0）,（0,-苣），

422

沿X轴翻折，则直线尸-卫X-2直线AB与x轴交于同一点（-2,0）,

丫42

AA（-2,0）,

与y轴的交点（0，->!）与点B关于x轴对称,

AB(0,3,

2

{-2k+b=0

解得

直线AB的解析式为浮乂二；

V4的

AD(0,2卜2),

3

DF〃x轴，

.•.点F(2h,2,2),

3

又点F在直线AB上，

••.*jh?中(2h)+-|>

解得hi=3,h2=—

...抛物线C2的解析式为尸2(x-3)2/x2-4x+6或尸2x2+xJ；

3338

(3)过M作MT_LFH于T,MP交FH于N

；.RSMTFSRSAGF.

AFT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5,

设FT=3k,TM=4k,FM=5k.

贝ljFN=,(AH+HF+AF)-FM=16-5k,

.1(16-5k)4k

■■^AMNFRFN・MT二g

7S△四寺H'AG*12X8=48,

又SAW^^AFH-

解得或k=2(舍去).

；.FM=6,FT=»,MT=_^,GN=4,丁6=丝

555

AM(.§,乌、N(6,-4).

55

直线MN的解析式为：尸-&x+4

3

点评:本题二次函数的综合题，涉及的知识有求直线的解析式和抛物线关系式，三角形相似等.

6.已知：关于x的一元二次方程-x?+(m+4)x-4m=0,其中0<mV4.

(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示)；

(2)设抛物线y=-x?+(m+4)x-4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0,-2),且

AD・BD=10,求抛物线的解析式；

(3)已知点E(a,yi)>F(2a,y2)>G(3a,y3)都在(2)中的抛物线上，是否存在含有yi、y2>y3.且与a无

关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

考点：二次函数综合题。

专题：开放型。

分析：(1)在△20的前提下，用求根公式进行计算即可.

(2)根据(1)的结果可得出A、B的坐标，然后求出AD、BD的长，代入AD・DB=10中，即可求得m

的值，也就得出了抛物线的解析式.

(2)分别将E、F、G的坐标代入抛物线的解析式中，可得出含a的力、y2,y3的表达式，进而判断出力、

y2、y3的等量关系.

解答：解：(1)将原方程整理，得X?-(m+4)x+4m=0,

△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4(4m)=m2-8m+16=(m-4)2>0

.(in+4)±(in-4)

.,.x=m或x=4；(2分)

(2)由(1)知，抛物线y=-x?+bx+c与x轴的交点分别为(m,0)、(4,0),

♦A在B的左侧,0<m<4,

AA(m,0),B(4,0).

则AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4,BD2=OB2+OD2=42+22=20；

VAD*BD=10,

/.AD2*BD2=100；

A20(m2+4)=100；(3分)

解得m=±l；(4分)

V0<m<4,

/.m=l

/.b=m+l=5,c=-4m=-4；

抛物线的解析式为y=-x?+5x-4；(5分)

(3)答：存在含有yi、y2、V3,且与a无关的等式，

如：Y3=-3(yi-y2)-4(答案不唯一)；(6分)

证明：由题意可得yi=-a?+5a-4,y2=-4a2+10a-4,y3=-9a2+15a-4；

•.,左边二y3=~9a2+15a-4；

右边=-3(yi-y2)-4=-3[(-a2+5a-4)-(-4a2+10a-4)]-4

=-9a+15a-4；

J左边=右边；

.,.y3=-3(yi-y2)-4成立.(7分)

点评：此题主要考查了一元二次方程的解法、二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数解析式的确定等知识.

7.点P为抛物线y=x2-2mx+m2(m为常数，m>0)上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90。后得到的新图

象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，点Q为点P旋转后的对应点.

(1)当m=2,点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a；

(3)如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分/AQC,AQ=2QC,当QD=m

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）首先根据m的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G的坐标，过P作PE，x轴于E,过Q

作QF_Lx轴于F,根据旋转的性质知：△GQFZZ\PGE,则QF=GE、PE=GF,可据此求得点Q的坐标.

（2）已知了Q点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线

的解析式中，可求得a、b、m的关系式.

（3）延长QC到E,使得QC=CE,那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四边形OEDQ是平行四边

形（或证△QCD^^ECO）,那么QD=OE=m,而AQ=QE,且QO平分NAQC,易证得△AQO丝△EQO,

则OA=OE=m,即A点坐标为（0,m）,然后将点A的坐标代入（2）的关系式中，即可求得m的值.

解答：解：（1）当m=2时，y=（x-2）

则G（2,0）,

•..点P的横坐标为4,且P在抛物线上，

.•.将x=4代入抛物线解析式得：y=（4-2）2=4,

；.P（4,4）,（1分）

如图，连接QG、PG,过点Q作QFLx轴于E过点P作PELx轴于E,

依题意，可得△GQF^ZkPGE；

则FQ=EG=2,FG=EP=4,

；.FO=2.

AQ（-2,2）.（2分）

(2)已知Q(a,b),则GE=QF=b,FG=m-a；

由(1)知：PE=FG=m-a,GE=QF=a,即P(m+b,m-a),

代入原抛物线的解析式中，得：m-a=(m+b)2-2m(m+b)+m2

m-a=m2+b2+2mb-2m2-2mb+m2

2

a=m-bu,

故用含m,b的代数式表示a：a=rn-t)2.(4分)

(3)如图，延长QC到点E,使CE二CQ,连接OE；

•・・C为OD中点，

AOC=CD,

VZECO=ZQCD,

AAECO^AQCD,

/.OE=DQ=m；(5分)

VAQ=2QC,

・・・AQ=QE,

•・・QO平分NAQC,

AZ1=Z2,

.,.△AQO^AEQO,(6分)

AO=EO=m,

・・・A（0,m）,（7分）

〈A（0,m）在新的函数图象上，

・，・0=m-m2

.*.mi=Lm2=0（舍）,

m=l.（8分）

点评：此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大.

8.关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有实数根，且c为正整数.

（1）求c的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左

侧），与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m,n）,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC

只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）若关于x的一元二次方程有实数根，那么根的判别式必大于等于0,可据此求出c的取值范围，由于

c为正整数，即可求出符合条件的c值.

（2）首先根据方程有两个整数根以及抛物线与x轴有两个不同的交点，确定c的值，从而得到抛物线的解

析式和对称轴方程；由于四边形OBPC是直角梯形，且CP〃OB,P在抛物线的对称轴上，那么PC的长正

好与抛物线对称轴的值相同，由此得解.

（3）首先将（2）所得抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到此时顶点D的坐标；

①抛物线向左平移，可先设出平移后抛物线的解析式；当点P位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，可

将点P坐标代入抛物线的解析式中，即可求得平移的距离；当点O位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时,

将点O的坐标代入抛物线的解析式中，同样能求出此时平移的距离；根据上面两种情况所得的m值，即可

得到m的取值范围.

②抛物线向右平移，方法同①.

解答：解：（1）；关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有实数根，

.,.△=16-4c>0,Ac<4.（1分）

又•••<;为正整数，，c=l,2,3,4.（2分）

（2）二•方程两根均为整数，，c=3,4；（3分）

又•..抛物线与x轴交于A、B两点，，c=3；

抛物线的解析式为y=x?-4x+3；（4分）

抛物线的对称轴为x=2.

•..四边形OBPC为直角梯形，且NCOB=90。，

...PC〃BO,：P点在对称轴上，，PC=2.（5分）

（3）由（2）知：y=x2-4x+3=（x-2）2-1：

①当抛物线向左平移时，设平移后的抛物线解析式为：y=（x-2+k）2-1；

易知P（2,3）,当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点P时，则有：

（2-2+k）2-1=3,

解得k=2（负值舍去）；

即y=x2-1,此时m=0；

当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点O时，则有：

（O-2+k）2-1=0,

解得k=l（舍去），k=3；

即y=（x-1）2-1,此时m=-1；

故当抛物线向作平移时，-2Vm40（或-ISmSO）.

②当抛物线向右平移时，同①可求得2<m"；

综上所述，-2<mS0或2Vms4.（7分）（写对一个给1分）

点评：此题考查了根的判别式、直角梯形的性质、二次函数解析式的确定以及函数图象的平移等知识.在（3）题

中，抛物线向左或向右平移都有符合条件的m值，因此需要分类讨论，以免漏解.

9.如图，已知AD为AABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB«FC.

考点：相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质。

专题：证明题。

分析：连AF,则DF=AF,再由△ACFS/^BAF,对应边成比例，即可求证.

解答：证明：连接AF,

「AD是角平分线，

，ZBAD=ZCAD,

又EF为AD的垂直平分线，，AF=FD,ZDAF=ZADF,

ZDAC+ZCAF=ZB+ZBAD,

.,.ZCAF=ZB,

VZAFC=ZAFC,

.'.△ACF^ABAF,即里空

AFBF

；.AF2=CF・BF,

即FD2=CF»BF.

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及垂直平分线的性质问题，应熟练掌握.

10.如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线.

求证：（1）ZEAD=ZEDA.

（2）DF〃AC.

（3）ZEAC=ZB.

考点：线段垂直平分线的性质。

专题：证明题。

分析：(1)根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE=DE,再根据等角对等边可得到

ZEAD=ZEDA；

(2)根据线段垂直平分线的性质证明AF=DF,进而得到/BAD=/ADF,再利用角平分线的性质可得到

ZBAD=ZCAD,禾IJ用等量代换可得NADF=NCAD,再根据平行线的判定即可得到DF〃AC；

(3)根据三角形内角与外角的关系可得到结论.

解答：证明：(1)；EF是AD的垂直平分线，

；.AE=DE,

ZEAD=ZEDA；

(2)；EF是AD