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文档简介
2022年中考数学一轮复习23锐角三角函数
考点课标要求考查角度1锐角三角函数通过实例认识锐角三角函数,知道30°,45°,60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.常以选择题、填空题的形式考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值的计算等.2解直角三角形①会利用锐角三角函数解直角三角形;②能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.常以选择题、填空题、解答题的形式考查运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题,以应用题为主.中考命题说明知识点1:锐角三角函数
知识点梳理1.锐角三角函数的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b正弦:余弦:余切:知识点1:锐角三角函数
知识点梳理2.几个重要公式:设α是一个锐角,则sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α),sin2α+cos2α=1.3.特殊角的三角函数值:知识点1:锐角三角函数
知识点梳理4.锐角三角函数值的变化规律:①当0°<α<90°时,sinα(tanα)随着角度的增大(减小)而
增大(减小)
.②当0°<α<90°时,cosα随着角度的增大(减小)而
减小(增大)
.【考点】切线的性质;解直角三角形;圆周角定理【分析】连接OC、OD、CD,CD交PA于E,如图,利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD,根据等腰三角形的性质得到OP⊥CD,则∠COB=∠DOB,根据圆周角定理得到
,所以∠COB=∠CAD,然后求出sin∠COP即可.【例1】(4分)(2021•福建9/25)如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于(
)A.B.C.D.典型例题知识点1:锐角三角函数
【解答】解:连接OC、OD、CD,CD交PA于E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD,∴OP⊥CD,∴
,∴∠COB=∠DOB,∵
,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中,
,∴
,∴
.故选:D.典型例题知识点1:锐角三角函数
【例2】(3分)(2021•天津2/25)tan30°的值等于(
)A.B.C.1 D.2【考点】特殊角的三角函数值【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.【解答】解:
.故选:A.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.知识点1:锐角三角函数
典型例题典型例题知识点1:锐角三角函数
【例3】(5分)(2021•北京17/28)计算:2sin60°+
+|-5|﹣
.【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值,分别化简得出答案.【解答】解:原式===
.典型例题【例4】(6分)(2021•云南15/23)计算:.【分析】先分别计算乘方,特殊角三角函数值,零指数幂,负整数指数幂,然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算.【解答】解:原式=6.【点评】本题考查有理数的混合运算,特殊角三角函数值,零指数幂及负整数指数幂,掌握运算顺序准确计算是解题关键.知识点1:锐角三角函数
知识点梳理1.解直角三角形:在直角三角形中,由
已知元素
求
未知元素
的过程,叫做解直角三角形.知识点2:解直角三角形2.解直角三角形的常用关系:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,则:(1)三边关系:a2+b2=c2.(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°.(3)边与角关系:
,,.(4)sin2A+cos2A=1.知识点梳理3.解直角三角形的应用常用知识:(1)仰角和俯角:仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角.俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角.(2)坡度和坡角坡度(坡比):坡面的
铅直高度h与
水平宽度l
的比
,叫做坡度或坡比,一般用i表示.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i=tanα.坡度越大,α角越大,坡面
越陡
.知识点2:解直角三角形知识点梳理(3)方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角.知识点2:解直角三角形【例5】(4分)(2021•云南4/23)在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,
,则AB的长是(
)A.B.C.60 D.80【分析】利用三角函数定义计算出BC的长,然后再利用勾股定理计算出AB长即可.【解答】解:∵AC=100,
,∴BC=60,∴
,故选:D.典型例题知识点2:解直角三角形【例6】(6分)(2021•北京22/28)如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB,求BF和AD的长.【分析】(1)证AD∥CE,再由AE∥DC,即可得出结论;(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分线的性质得EC=EF=3,最后由平行四边形的性质求解即可.典型例题知识点2:解直角三角形【解答】(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥CE,∵AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形;典型例题知识点2:解直角三角形(2)解:∵EF⊥AB,∴∠BFE=90°,∵cosB,∴BF,∴EF,∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90°,∴EC=EF=3,由(1)得:四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC=3.典型例题知识点2:解直角三角形【例7】(8分)(2021•西藏25/27)如图,为了测量某建筑物CD的高度,在地面上取A,B两点,使A、B、D三点在同一条直线上,拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°,小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°,且AB=10m.求建筑物CD的高度.(拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1m,
)【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题【分析】连接AC、BC,由锐角三角函数定义求出BD=CD,
,再由AB=AD-BD,即可求解.典型例题知识点2:解直角三角形【解答】解:连接AC、BC,如图所示:由题意得:∠A=30°,∠DBC=45°,AB=10m,在Rt△BDC中,
,∴BD=CD,在Rt△ACD中,
,∴
,∴
(m),解得:
(m)
,答:建筑物CD的高度约为13.7m.典型例题知识点2:解直角三角形【例8】(3分)(2021•山西14/23)太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路,于2020年12月26日开通,如图是该地铁某站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5:12(为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为
米.【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题【分析】由坡度的定义,可设BC=5a米,则AC=12a米,再由勾股定理得出方程,解方程即可求解.典型例题知识点2:解直角三角形【解答】解:由题意得:∠ACB=90°,AB=0.5×40=20(米),∵扶梯AB的坡度
,∴设BC=5a米,则AC=12a米,由勾股定理得:(5a)2+(12a)2=202,解得:
(负值已舍去),∴
(米),故答案为:
.典型例题知识点2:解直角三角形【例9】(10分)(2021•天津22/25)如图,一艘货船在灯塔C的正南方向,距离灯塔257海里的A处遇险,发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上,同时位于A处的北偏东60°方向上的B处,救生船接到求救信号后,立即前往救援.求AB的长(结果取整数)参考数据:tan40°≈0.84,
取1.73.【考点】解直角三角形的应用—方向角问题【分析】通过作垂线,构造直角三角形,利用锐角三角函数的意义列方程求解即可.典型例题知识点2:解直角三角形【解答】解:如图,过点B作BH⊥AC,垂足为H,由题意得,∠BAC=60°,∠BCA=40°,AC=257,在Rt△ABH中,∵
,
,∴
,
,在Rt△BCH中,∵
,∴
,典型例题知识点2:解直角三角形又∵CA=CH+AH,∴
,所以
,∴
(海里),答:AB的长约为168海里.【点评】本题考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键.典型例题知识点2:解直角三角形【例10】(10分)(2021•青海24/25)如图1是某中学教学楼的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,
≈1.4)典型例题知识点2:解直角三角形【分析】作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,则EM=BC,在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度,进而可得出EF的长度,再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长,此题得解.典型例题知识点2:解直角三角形【解答】解:作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,∵AB=CE,AB+CD=AD=2,∴AB=CD=1,在Rt△ABE中,∠A=35°,AB=1,∴BE=AB•sin∠A=1×sin35°≈0.6,∴AE=AB•cos∠A=1×cos35°≈0.8,在Rt△CDF中,∠D=45°,CD=1,∴CF=CD•sin∠D=1×sin45°≈0.7,∴DF=CD•cos∠D=1×cos45°≈0.7,∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CM,又∵BE=EM,∴四边形BEMC是平行四边形,∴BC=EM,在Rt△MEF中,FM=CF+CM=1.3,EF=AD﹣AE﹣FD=0.5,∴EM≈1.4.答:B与C之间的距离约为1.4米.典型例题知识点2:解直角三角形【例11】(8分)(2021•江西20/23)图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图,图2是其侧面示意图,其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上,枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm(即MP的长度),枪身BA=8.5cm.(1)求∠ABC的度数;(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm.在图2中,若测得∠BMN=68.6°,小红与测温员之间距离为5
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