专题23锐角三角函数（课件）

2022年中考数学一轮复习23锐角三角函数

考点课标要求考查角度1锐角三角函数通过实例认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．常以选择题、填空题的形式考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值的计算等．2解直角三角形①会利用锐角三角函数解直角三角形；②能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．常以选择题、填空题、解答题的形式考查运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，以应用题为主．中考命题说明知识点1：锐角三角函数

知识点梳理1.锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：余弦：余切：知识点1：锐角三角函数

知识点梳理2.几个重要公式：设α是一个锐角，则sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1．3.特殊角的三角函数值：知识点1：锐角三角函数

知识点梳理4.锐角三角函数值的变化规律：①当0°＜α＜90°时，sinα（tanα）随着角度的增大（减小）而

增大（减小）

．②当0°＜α＜90°时，cosα随着角度的增大（减小）而

减小（增大）

．【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理【分析】连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，根据等腰三角形的性质得到OP⊥CD，则∠COB=∠DOB，根据圆周角定理得到

，所以∠COB=∠CAD，然后求出sin∠COP即可．【例1】（4分）（2021•福建9/25）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6，PC=4，则sin∠CAD等于（

）A．B．C．D．典型例题知识点1：锐角三角函数

【解答】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，∴OP⊥CD，∴

，∴∠COB=∠DOB，∵

，∴∠COB=∠CAD，在Rt△OCP中，

，∴

，∴

．故选：D．典型例题知识点1：锐角三角函数

【例2】（3分）（2021•天津2/25）tan30°的值等于（

）A．B．C．1 D．2【考点】特殊角的三角函数值【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：

．故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．知识点1：锐角三角函数

典型例题典型例题知识点1：锐角三角函数

【例3】（5分）（2021•北京17/28）计算：2sin60°+

+|-5|﹣

．【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝＝

．典型例题【例4】（6分）（2021•云南15/23）计算：.【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算．【解答】解：原式=6．【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．知识点1：锐角三角函数

知识点梳理1.解直角三角形：在直角三角形中，由

已知元素

求

未知元素

的过程，叫做解直角三角形．知识点2：解直角三角形2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则：（1）三边关系：a2＋b2＝c2．（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°．（3）边与角关系：

，，．（4）sin2A＋cos2A＝1．知识点梳理3.解直角三角形的应用常用知识：（1）仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度（坡比）：坡面的

铅直高度h与

水平宽度l

的比

，叫做坡度或坡比，一般用i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα．坡度越大，α角越大，坡面

越陡

．知识点2：解直角三角形知识点梳理（3）方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．知识点2：解直角三角形【例5】（4分）（2021•云南4/23）在△ABC中，∠ABC=90°．若AC=100，

，则AB的长是（

）A．B．C．60 D．80【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．【解答】解：∵AC=100，

，∴BC=60，∴

，故选：D．典型例题知识点2：解直角三角形【例6】（6分）（2021•北京22/28）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB，求BF和AD的长．【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；（2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF＝3，最后由平行四边形的性质求解即可．典型例题知识点2：解直角三角形【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；典型例题知识点2：解直角三角形（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cosB，∴BF，∴EF，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴EC＝EF＝3，由（1）得：四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC＝3．典型例题知识点2：解直角三角形【例7】（8分）（2021•西藏25/27）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB=10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，

）【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题【分析】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD=CD，

，再由AB=AD-BD，即可求解．典型例题知识点2：解直角三角形【解答】解：连接AC、BC，如图所示：由题意得：∠A=30°，∠DBC=45°，AB=10m，在Rt△BDC中，

，∴BD=CD，在Rt△ACD中，

，∴

，∴

（m），解得：

（m）

，答：建筑物CD的高度约为13.7m．典型例题知识点2：解直角三角形【例8】（3分）（2021•山西14/23）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为

米．【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题【分析】由坡度的定义，可设BC=5a米，则AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．典型例题知识点2：解直角三角形【解答】解：由题意得：∠ACB=90°，AB=0.5×40=20（米），∵扶梯AB的坡度

，∴设BC=5a米，则AC=12a米，由勾股定理得：(5a)2+(12a)2=202，解得：

（负值已舍去），∴

（米），故答案为：

．典型例题知识点2：解直角三角形【例9】（10分）（2021•天津22/25）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，

取1.73．【考点】解直角三角形的应用—方向角问题【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．典型例题知识点2：解直角三角形【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257，在Rt△ABH中，∵

，

，∴

，

，在Rt△BCH中，∵

，∴

，典型例题知识点2：解直角三角形又∵CA=CH+AH，∴

，所以

，∴

（海里），答：AB的长约为168海里．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．典型例题知识点2：解直角三角形【例10】（10分）（2021•青海24/25）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，

≈1.4）典型例题知识点2：解直角三角形【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，则EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．典型例题知识点2：解直角三角形【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB•sin∠A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB•cos∠A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD•sin∠D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD•cos∠D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝EM，∴四边形BEMC是平行四边形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM≈1.4．答：B与C之间的距离约为1.4米．典型例题知识点2：解直角三角形【例11】（8分）（2021•江西20/23）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为5