河南省确山县高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行 （1）教案 北师大版选修2-1

河南省确山县高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行（1）教案北师大版选修2-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）河南省确山县高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行（1）教案北师大版选修2-1教学内容分析本节课的主要教学内容为北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何的2.4节，重点是用向量讨论垂直与平行。内容包括向量垂直与平行的判定，向量垂直与平行性质的应用，以及在实际几何问题中的运用。这一部分内容与学生已有知识的联系在于，学生已经学习了向量的基本概念、向量的坐标运算以及立体几何中的基本图形，为理解向量的垂直与平行关系打下了基础。在此基础上，本节课将引导学生通过向量工具深入探讨立体几何图形间的位置关系，培养空间想象能力和逻辑推理能力。核心素养目标分析本节课的核心素养目标旨在通过空间向量与立体几何的结合，深化学生对数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养的理解与应用。首先，通过引入向量的垂直与平行判定，培养学生对空间关系的抽象思维能力，增强其对数学抽象的理解。其次，在探索向量垂直与平行性质的过程中，锻炼学生的逻辑推理能力，使其能够运用严谨的逻辑思维解决问题。此外，结合立体几何图形的实际应用，学生将运用所学的向量知识进行数学建模，提高解决实际问题的能力。具体包括以下方面：

1.理解并掌握向量垂直与平行的判定方法，能够运用向量工具分析立体几何图形的位置关系，强化数学抽象素养。

2.能够运用逻辑推理，推导向量垂直与平行的性质，并用以解决相关问题，提升逻辑推理素养。

3.将向量知识应用于立体几何问题的求解，培养数学建模素养。

4.在向量运算和几何分析过程中，加强数学运算能力，提高数学运算素养。重点难点及解决办法重点：

1.向量垂直与平行的判定方法。

2.向量垂直与平行性质在立体几何中的应用。

难点：

1.理解向量垂直与平行判定的数学原理。

2.将向量知识灵活运用于解决复杂的立体几何问题。

解决办法与突破策略：

1.对于重点内容的掌握，通过直观的几何图形演示和具体的例题解析，帮助学生形象理解并记忆向量垂直与平行的判定方法。

-利用多媒体教学工具，展示动态的向量关系，增强学生的直观感受。

-结合实际立体几何模型，让学生动手操作，加深对向量判定方法的理解。

2.针对难点，采用以下策略突破：

-通过小组讨论和问题引导，激发学生思考向量判定背后的数学原理，培养深度理解能力。

-设计不同难度的练习题，从基础到综合，逐步提升学生的应用能力，特别是在解决复杂立体几何问题时，引导学生如何将问题转化为向量问题，并运用所学知识解决。

-对于学习困难的学生，提供个别辅导，针对性地解答他们的疑问，帮助他们克服难点。教学资源1.软硬件资源：

-多媒体教学设备（投影仪、计算机）

-立体几何模型

-数学软件（如GeoGebra、Cabri3D）

-白板与标记笔

-学生用练习册与参考资料

2.课程平台：

-教室内教学平台（如校园网内教学系统）

-在线学习管理系统（用于发布作业、学习资料等）

3.信息化资源：

-电子教案

-课件PPT

-动态几何图形演示软件

-网络教学视频（空间向量与立体几何相关）

4.教学手段：

-探究式学习

-小组合作学习

-课堂讲授与讨论

-实物模型演示

-课后在线互动与反馈

-个性化辅导与答疑

-课堂练习与作业批改反馈

以上资源与手段均与课本内容紧密相关，旨在提高教学效果，促进学生理解和应用能力的提升。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过校园网教学平台，发布关于空间向量与立体几何的预习资料，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“用向量讨论垂直与平行”课题，设计问题，如“向量如何判定垂直与平行？”引导学生自主思考。

-监控预习进度：通过平台数据，跟踪学生预习情况，确保学生掌握基础知识。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读预习资料，了解向量垂直与平行的基本概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，记录疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记、问题等提交至平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生自主学习能力，为课堂学习奠定基础。

-信息技术手段：利用教学平台，实现资源共享和进度监控。

作用与目的：

-帮助学生初步理解向量垂直与平行的判定方法，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过实际生活中的立体几何例子，引出本节课主题。

-讲解知识点：详细讲解向量垂直与平行的判定方法及其应用。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨向量在立体几何中的应用。

-解答疑问：针对学生疑问，进行解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考，理解向量判定方法的原理。

-参与课堂活动：在小组讨论中，积极发表意见，体验向量知识的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题，勇敢提问，参与课堂讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，帮助学生深入理解向量判定方法。

-实践活动法：设计讨论活动，让学生在实践中掌握技能。

-合作学习法：培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解向量垂直与平行的判定方法，并将其应用于立体几何问题。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据课堂内容，布置课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：推荐与空间向量相关的拓展资料，如几何建模案例等。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固课堂所学知识。

-拓展学习：利用拓展资源，进一步学习和思考向量知识。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：帮助学生发现不足，促进自我提升。

作用与目的：

-巩固学生所学的向量垂直与平行判定方法，提高解题能力。

-通过拓展学习，拓宽知识视野，激发学生对几何学的兴趣。

-通过反思总结，培养学生自我监控和自我改进的能力。教学资源拓展1.拓展资源：

-相关数学书籍：《立体几何》、《空间向量及其应用》等，这些书籍中包含了丰富的空间向量与立体几何知识，能帮助学生更深入地理解本节课的内容。

-科普文章：关于空间向量在现实生活中的应用，如建筑、工程、航空航天等领域，让学生了解数学知识的实际价值。

-历史背景资料：介绍向量概念的发展历程，以及向量方法在数学史上的重要地位，增加学生对向量知识的兴趣。

-研究论文：针对空间向量与立体几何的高级研究，如向量场的概念、向量在物理学中的应用等，为学有余力的学生提供更深入的学习资料。

-动画与视频资源：制作或收集关于向量垂直与平行判定方法的动画演示，帮助学生直观理解几何关系。

-实际案例：搜集一些涉及空间向量与立体几何的实际问题，如建筑设计中的立体结构分析、地理信息系统中的空间数据分析等。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关数学书籍，加深对空间向量与立体几何理论的理解，提升数学素养。

-建议学生查阅科普文章，了解向量知识在现实生活中的应用，增强学习的实践意义。

-布置研究性学习任务，让学生自主查找历史背景资料，了解向量概念的起源和发展，培养学生对数学文化的尊重和热爱。

-对于学有余力的学生，推荐阅读相关的研究论文，拓展学术视野，激发学生的科研兴趣。

-组织观看动画与视频资源，帮助学生从不同角度理解向量垂直与平行的判定方法，提高学习效果。

-结合实际案例，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力和创新能力。课后作业1.题型一：证明题

证明：若向量a与向量b垂直，且向量b与向量c垂直，则向量a与向量c平行。

2.题型二：计算题

给定向量A(1,2,3)和向量B(-1,1,2)，判断这两个向量是否垂直，并说明理由。

3.题型三：应用题

在三维空间中，已知点P(2,3,4)和点Q(1,0,-1)，求过点P和点Q的平面方程，并证明该平面与向量n(1,2,3)垂直。

4.题型四：解析题

分析以下立体图形，判断面AC与面BD是否平行，并给出证明。

（图形描述：四面体ABCD，其中AB、AC、AD、BC、BD、CD均为棱）

5.题型五：综合题

给定四面体PABC，已知向量PA、PB、PC两两垂直。求证：平面PAB、平面PAC、平面PBC两两平行。

答案：

1.证明：由向量垂直的传递性，向量a与向量c平行。

2.向量A与向量B不垂直，因为它们的点积不为0。

3.平面方程为：x+2y+3z-9=0，该平面与向量n垂直。

4.面AC与面BD平行，证明：向量AC与向量BD的点积为0，且向量AC、BD的方向相同。

5.证明：由向量垂直的性质，易得平面PAB、平面PAC、平面PBC两两平行。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课主要学习了空间向量与立体几何中的2.4节内容，即用向量讨论垂直与平行的判定方法。通过本节课的学习，学生应该掌握了向量垂直与平行的判定条件，以及这些判定条件在立体几何问题中的应用。此外，学生还应该能够运用所学知识解决实际几何问题，如证明线面垂直、求平面方程等。

在本节课中，教师通过讲解、示例、小组讨论等多种教学方式，帮助学生理解向量垂直与平行的判定方法，并能够将这些方法应用于解决实际问题。学生通过自主学习、课堂讨论和课后作业，巩固了所学知识，提高了空间想象能力和逻辑推理能力。

当堂检测：

为了检验学生对本节课内容的掌握情况，教师设计了以下当堂检测题目：

1.判断题：判断以下命题是否正确，并说明理由。

-若向量a与向量b垂直，向量b与向量c垂直，则向量a与向量c垂直。

-若向量a与向量b平行，向量b与向量c平行，则向量a与向量c平行。

2.计算题：计算以下向量的点积，并判断两个向量是否垂直。

-向量A(1,2,3)和向量B(-1,1,2)。

-向量C(2,-1,3)和向量D(1,-2,6)。

3.应用题：已知点P(2,3,4)和点Q(1,0,-1)，求过点P和点Q的平面方程，并判断该平面是否与向量n(1,2,3)垂直。

4.解析题：分析以下立体图形，判断线段AC是否与线段BD平行。

（图形描述：长方体ABCD-A1B1C1D1，其中AB、BC、CD、DA为棱，AA1、BB1、CC1、DD1为高）

5.综合题：已知四面体PABC，且向量PA、PB、PC两两垂直。判断平面PAB、平面PAC、平面PBC是否两两平行。内容逻辑关系①重点知识点：

-向量垂直与平行的判定方法：通过点积和向量坐标的关系，判断两个向量是否垂直或平行。

-向量垂直与平行性质的应用：在立体几何问题中，利用向量的垂直与平行性质，解决实际问题。

-实际几何问题的向量分析：将立体几何问题转化为向量问题，运用向量的垂直与平行性质求解。

②重点词：

-点积：用于判断两个向量是否垂直或平行的重要工具。

-坐标：表示向量的位置和方向，用于进行向量运算和分析。

-立体几何：研究空间图形的性质、关系和度量的一门学科。

③重点句：

-向量垂直的判定条件：两个向量的点积为零。

-向量平行的判定条件：两个向量的比例相等。

-向量垂直与平行性质的应用：在解决立体几何问题时，运用向量的垂直与平行性质进行分析和求解。

板书设计：

1.向量垂直与平行的判定方法

-点积为零：垂直

-比例相等：平行

2.向量垂直与平行性质的应用

-解决立体几何问题

-分析空间图形关系

3.实际几何问题的向量分析

-转化为向量问题

-运用向量的垂直与平行性质求解

板书设计应条理清楚，重点突出，简洁明了，以便于学生理解和记忆。教学反思与总结在教学过程中，我采用了多种教学方法，如讲授、讨论、案例分析等，以帮助学生更好地理解和应用向量垂直与平行的判定方法。我发现，通过实际例子和小组讨论，学生能够更直观地理解向量的概念，并能够将所学知识应用于解决实际问题。然而，我也注意到，部分学生在理解向量垂直与平行的判定条件方面存在困难，这可能是因为他们对向量的基本概念还不够熟悉。

在教学管理方面，我尝试通过在线平台和微信群与学生保持联系，以监控他们的预习进度和作业完成情况。我发现这种方法在一定程度上提高了学生的学习积极性和主动性，但也需要花费更多的时间和精