函数的基本性质2021年高一年级上册数学期末考点（新人教必修）（精炼篇）（解析版）

精练06函数的基本性质

1.【山西省晋中市平遥古城高级中学2019-2020学年高一上学期期末】己知函数式x）=|x|+ln|x|,若/（3小1）

（1）,则实数。的取值范围是（）

22

A.a<0B.a>—C.0<a<一D.a〈0或a>—

33

【答案】D

【详解】

/(x)=|x|+ln|x|的定义域为(-8,0)（0,+8）,关于原点对称,

又/(-X)=|一x|+InI-X|=/(x),

所以f(x)=x|+如|x|为偶函数,

当x>0时，/(x)=x+lnx为增函数，

又/(3a-l)>/(I)可化为/(|3a-11)>/(I),

所以13a-1|〉1,

所以3a—1>1或3a—1<—1,

2

解得a〉一或a<0,

3

故选：D

X

2.【广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一开学考试】设函数/（X）=-(XcR),区间M=3,切,

i+W

集合N={y|y=/（x）,xeM},则使M=N成立的实数对（a,加有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】A

【详解】

/(T)=$X=-/(©,

二/（X）为奇函数,

QxeR，1+国

一X!

X..0时，/(%)=----=------1,x<0时，/(x)=——=1------

l+x1+X1—X1—X

・・・/（X）在R上单调递减

函数在区间仅，切上的值域也为3,b],则/（a）=b,/（b）=a,

a,h

即一而见一询="'解得a=0'b=()

a<b,使"=N成立的实数对(a,b)有0对

故选：A

3.【四川省泸州市2019-2020学年高一期末】设函数〃x)的定义域为R,满足/(X+1)=g/(X)，且当

Q

xe(O,l］时，〃x)=x(x—l).若对任意48),都有/(x)2,则胆的最小值是()

4556

A.---B.—C.---D.---

3345

【答案】A

【详解】

〃x+l)=g"x)，

.•./(x)=2/(x+l)

当xe(O,l］时，/(x)=x(x-l)e一;,0,

xw(-l,O］时，x+le(Oj］,f(x)=2f(x+l)=2(x+l)xe一;，°，

不£(一2,—1］时，x+lG(-I,o］,/(x)=2/(x4-l)=4(x+2)(x4-1)e［-1,0］,

将函数大致图象绘制如下：

A

Q

x£(—2,—1］时，令4(x+2)(x+1)=—,

9

54

解得：x.=—，=—，

3­3

Q

若对于任意田)，都有--，

9

4

所以〃22--,

3

故选:A.

4.【湖北省荆门市2019-2020学年高一期末】已知一个奇函数的定义域为｛l,2,a,邛，则。+人=()

A.-3B.3C.0D.1

【答案】A

【详解】

奇函数的定义域关于原点对称，

1+2+。=0。=—3,

故选：A.

5.【江西省吉安市2019-2020学年高一上学期期末】已知。>0,设函数/(8)=2020'(xe[-a,d)

的最大值为M，最小值为N,那么M+N+,”2020)+”—2020)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

7O?Or1

因为=--•=]-----------是定义域上的增函数，

、'2020*+12020'+1

故M+N=/(a)+/(-a)；

又/-(%)+“―x)=l-----J—+1-------——=1,

'，')2020'+12020^+1

故M+N+f(2020)+f(-2020)=1+1=2.

故选：B.

6.【河北省张家口市2019-2020学年高一上学期期末】若函数"X)是偶函数，且当xNO时，〃x)="+l,

则当x<0时，/(%)=()

xx

A.e-*+lB.e--lc.-e+\D.-e-x-1

【答案】A

【详解】

由题意，设尤<0，则一x>0,又当尤20时，/(x)=e*+l,

所以/(—x)=e-*+l,

又函数是偶函数，即/(―x)=〃x),

所以/(力=""+1.

故选：A.

7.【四川省广安市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数/(x)=|x-。|对于区间(Y),—1)上任意的士，

々(％HX,)均满足。°J二/。J<0,则实数。的取值范围是()

x2—x]

A.[-1,+8)B.[1,+8)C.(-8,1]D.(-8,-1]

【答案】A

【详解】

因为函数./■(X)对于区间(-0),-1)上任意的补天(玉w占)均满足<0.

%2—%

所以函数/(X)在区间(-8,—1)上单调递减，

/、।,fx-a.x>a

乂/(x)=|x-a|=<，其单调递减区间为(一8,〃],

[-x+a,x<a

所以1,

故选:A.

8.【陕西省西安市长安一中2019-2020学年高一上学期期末】已知函数是定义在R上的奇函数，

/(x)=/(x+4),且/⑴=1,则/(2019)+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【详解】

由/(x)=/(x+4),所以函数的周期为7=4，

Q|J/(2019)+/(2020)=/(-1)+/(0),

函数/(X)是定义在R上的奇函数，/(1)=1,

；"(T)=_〃1)=T，〃0)=0,

/(2019)+7(2020)=-1+0=-l.

故选：A

伽小：43<1）是定义在（一…）上

9.【四川省新津中学2020-2021学年高一10月月考】〃x）=

-ax,（x>1）

是减函数，则。的取值范围是（）

££C.0,11

A.B.D.—oo—

85343

【答案】A

【详解】

,（3a—l）x+4a,（x<l）是定义在（_8什8）上是减函数,

因为/(x)=

-ax\x>1）

3a-1<0

所以《-a<0，求得-4a，,

83

一。<3。-1+4。

故选:A.

10.【北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末】下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）单调递增的是

)

A.y=2*B.y-x3C.y=cosxD.y=ln\x\

【答案】D

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=2',为指数函数，其定义域为R,不是偶函数，不符合题意；

对于B,y=V,为某函数，是奇函数，不符合题意；

对于C，y=8sx,为偶函数，在（0,+8）不是增函数，不符合题意；

luxx0

对于D,y=M=\,，,:八，为偶函数，且当x〉0时，y=lnx,为增函数，符合题意;

11[/«（-%）,%<0

故选：D.

11.【浙江省杭州市学军中学(学紫)2019-2020学年高一上学期期中】已知定义在上的函数

/(x)=1-1(加为实数)为偶函数，记a=〃logo.53),^=/(log253),c=/(2m),贝但，b,

c的大小关系为()

A.a<b<CB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【详解】

(1、k

因为定义在R上的函数/(x)=g-1(俄为实数)为偶函数，

所以/'(-%)=/(x),即|一1-〃?|=,一时，因此m=0；

所以/(x)=(J-1=./]-NO,

2'-l,x<0

因此当xNO时，/(X)单调递减；当x<0时，“X)单调递增：

=/(log053)=/(-log23)=/(log23),^=/(iog253),c=/(2m)=/(0),

而log23>log2,53>0,所以/(log23)</(log253)</(0),

即a<Z?<c.

故选A

12.【福建省莆田第一中学2019-2020学年高一期末】若函数y=/(x)的图象与函数y=3-2x的图象关于

坐标原点对称，则y=/(x)的表达式为()

A.y=-2x-3B,y=2x+3c,y=-2x+3D,y=2x-3

【答案】A

【详解】

设(x,y)为函数/(x)上的点，则(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)在函数y=3-2x上，

可得—y=3—2x(—x),整理得y=-2x—3,

即函数y=/(x)的表达式为y=-2x-3.

故选：A.

13.【广东省韶关市2019-2020学年高一期末】已知定义在/?上的奇函数〃x),且当x>0时是增函

数，设a=/(log36),/?=-/^log3^,c=/(ln3),则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>h>cD.c>a>b

【答案】D

【详解】

解：为奇函数且x>0时，〃x)单调递增，

所以匕=一/110g3J)=/卜呜J)=/(地32)，

因为In3>l>log3逐>log32>0，

所以<?>〃>/?.

故选：D.

14.【黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考】已知/(x)是R的奇函数，满足

/(I—x)=/(l+x),若/。)=2,则/⑴+〃2)+〃3)++/(2019)=()

A.-5()B.2C.0D.50

【答案】C

【详解】

因为/(l-x)=/(l+x),

用X—1代替上式中的X,得到〃2—尤)=/(力

而是R的奇函数，

所以有/(x)=/(2-x)=—/(x—2)

用x—2代替上式中的x,得〃x—2)=—〃x—4),

所以/(x)=_/(x_2)=/(x_4),

可得〃x)的周期为4.

因为"1)=2,/(0)=/(4)=0

所以％=1时，由〃1_司=〃1+力得/(2)=〃0)=0

x=2时,由/(l_x)=/(l+x)得/•(3)=/(_(=_f(l)=_2

故〃1)=〃5)=〃9)=…，〃2)=〃6)=〃10)=-,

43)="7)="11)=…，"4)=〃8)="12)=…

所以〃1)+〃2)+/(3)++./(2019)

=504[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)+/(3)

=504(2+0—2+0)+2+0—2

=0

故选C.

15.【浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末】若

(log22019)'+(log2020<(log22019f+(log202n2)',贝U()

A.x+y<0B.x+y>0c.x-y<0D.x-y>0

【答案】A

解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数，令/(幻=(摩22019)”-(唾22020厂，

则易得在R上单调递增，

v

(log22019)+(log20202)1<(log22019r-(log20202)、，

v-JC-?

(log22019)-(log22020)<(log22019)-(log22020)',

即f(%)<f(.-y)，

所以x<-y,

故x+〉<0.

故选:A.

16.【浙江省91高中联盟2019-2020学年高一上学期期中】已知aeR,函数/(x)=口3一演^6R)对

-4"I..?

任意re--,0,使得|〃/+2)-/(/),可恒成立，则实数”的取值范围为.

JD

4

【答案】—,+co

3

【详解】

解：=-X,,

+2)-/⑺1=12a(3/2+8+4)-21,

2

+丁恒成立，

A2

/.ci(3厂+6/+4)2§或a(3广+6,+4)«Q怛成立.

4?

当〃>()时，3r2+6r+4>—或3『+6r+4<—恒成立,

3a3。

2

,二只需—K(3/+6,+4)或一“3产+6Z+4).

3a,'min3a\max

-10

•函数y=3产+6/+4=3。+1)2+1/e

3''

・♦•当，=一1时，ymin=h当f=0时，Jmax=4,

4241

—«1或—24,。2一或〃工一,

3a3a36

又。＞0,

4八1

...—或0<。«一；

36

当“40时，〃(/+2)_/")|=|243/+6，+4)_2|=2,[3«+1)2+1]_122>_,

9

.”40时，|/3+2)—〃/)怛1恒成立.

综上，。的取值范围为1-8,：*■

1

故答案为:—00,—

6

17.【江西省新余市2018-2019学年高一上学期期末】已知函数/(£)=%2—2笈+4在(一1,田)上是增函

数，则实数。的取值范围为.

【答案】(―8,—1]

【详解】

/(x)=x2-2ax+4,

/(x)的对称轴为x=a，

要使/（X）在（T,y）上是增函数，需满足。工―1.

故答案为：（­°0>-1].

/%<0

18.【陕西省安康二中2019-2020学年高一上学期期末】已知函数/（©=〈'一若/（2一P）>/«,

ln（x+l）,x>0

则实数x的取值范围是.

【答案】（一2,1）

【详解】

由的函数图象，可知

/（X）是定义在H上的增函数，而/（2—N）>/（x）

2—x2>x,解得：-2<x<1

故答案为：（一2,1）

x,x<l,

19.【河北省保定市曲阳县第一中学2019-2020学年高一期末】设函数f（x）=]31则不等式

X----F1,X21,

X

/（6-x2）>/（-%）的解集为.

【答案】（-2,3）

【详解】

当xcl时，f（x）=x单调递增,且f（x）<l;

当xNl时,f（x）=x3一一+1单调递增,且/（x）Nl.

X

所以函数/（X）在R上单调递增.

于是/（6-/）>/（-%）等价于6-f>_x,

则炉7_6<（）,（x-3）（x+2）<0,m-2<x<3.

故答案为：（-2,3）.

20.已知函数〃x）是定义在区间［-1,3］上的减函数,且函数/（x）的图象经过点P（-l,2）,Q（3,-4）,则

该函数的值域是.

【答案】［-4⑵

【详解】

解:：“X）的图象经过P（-l,2）,Q（3,-4）；

二/（-1）=2"（3）=T；

又•.•/（%）的定义域为［T,3］；

...该函数的值域是［-4,2］；

故答案为：［T,2］.

21.【广西崇左市2019-2020学年高一上学期期末】已知奇函数/（X）在区间［0,+8）上单调递减，则满足

/（3彳-1）+/（；）、/（0）的》的取值范围是.

【答案】

【详解】

由奇函数在x=0有意义可得/（0）=0,则不等式/（3x—l）+/（g）》/（0）可变为

/（3x—=g）,又因奇函数/（x）在区间［0,+8）上单调递减，可得奇函数整个定义域上

为减函数，则有3x—1W-解得工忘工，即不等式的x的取值范围为（一8,2.

故答案为：(一

22.【上海市控江中学2019-2020学年高一上学期期末】己知常数aeH,函数/(x)=三、.若/(x)的

最大值与最小值之差为2，则。.

【答案】土出

【详解】

当x=-a时，/(x)=0,

x+ax+a________1________

当x?a时，/(”)

x2+1[(X+Q)-Q『+1/、。~+1C

(X+Q)H------------2a

x+a

21______

x>一。时，(x+〃)+-^―t——2a>2doi+1-2a

x+a

当且仅当x=时，等号成立，

,1+1+Q

・•.0</(x)<,-=---

2yja2+l-2a2

同理X<-a时，...1+。<f(x)<0，

—yJci~+1+czra~+1+ci

：.----------------</(x)<---------------，

22

即/(x)的最小值和最大值分别为一+1+。J。？+1+。,

22

依题意得y］a2+1=2，解得a=±'

故答案为:土百.

23.【山西省吕梁市2019-2020学年高一上学期期末】符号［幻表示不超过X的最大整数，如

［万］=3,［-1.08］=-2,定义函数/(幻=》一［幻，则下列命题中正确是.

①函数"X)的最大值为1；

②函数“X)的最小值为0；

③函数G(x)=〃x)—/有无数个零点；

④函数”X)是增函数；

【答案】②③

【详解】

函数，(x)=x-[x],

・•・函数/(X)的最大值为小于1，故①不正确；

函数/(%)的最小值为0，故②正确;

函数每隔一个单位重复一次，所以函数G(x)=/(x)-g有无数个零点，故③正确;

由函数f(x)图像，结合函数单调性定义可知，函数/(%)在定义域内不单调，

故④不正确；

故答案为：②③

24.【浙江省金华市金华十校2019-2020学年高一上学期期末】已知定义在[1,+8)的函数“X)=X+：,

对满足归一百41的任意实数占，々，都有|〃%)-/(%2)上1，则实数/的取值范围为.

【答案】0W/W4

【详解】

解：当时，|/(玉)一/(%2)|=0<1，明显成立；

当方/尤2时，不妨设尤1>尤2，则0<%]-X2<1,

•'•|/(^)-/(%2)|=-%)+‘"/')=|%一9卜1—,41恒成立，

恒成立,

1,tI

即------<1-----<------

々一天x}x2x}-x2

XJ,X9,

整理得一"^+xz—+百工2恒成立,

%1-X2<1,X2>Xj-1,

/.—^—^—+xyx2>x]-1）+X|（%）-1）=2（xJ―玉）=2x（2?—2）=4,

当且仅当々=%T=1，即％=1，%=2时等号成立，故，<4,

又-x2<1,/.0>x2-Xj>-1,

Mx,八

-+工/2勺一入押2+%/2=0,当且仅当*2一X=-1时，等号成立，故720，

综上所述0W/W4.

故答案为：0W1W4.

25.【重庆市江北区2019-2020学年高一上学期期末】已知函数/（幻=1Inx|,若/（幻=攵有两个不相等的

实数根a,£（a<〃），则4a一4的取值范围是.

【答案】（9,3）

【详解】

|ln/=M刈=左（左>0）,由图像可知

-\na=k^>a=e~k，\n0=kn0=eJ

4

kk

4a—0=4e-〃-e=--et

4

函数y=7和y=-才都是减函数，

,yng-e”是减函数，(左>0)

4

当人=()时，-T-^°=3,

e

:.y=^-ek的值域是(7,3),

故4a一尸的取值范围是,3).

故答案为：(—,3)

26.【山西省晋中市平遥古城高级中学2019-2020学年高一上学期期末】已知定义域为R的函数

/(x)=-2+［且是奇函数.

3+1

(1)求。的值；

(2)判断函数式的的单调性并证明;

(3)解关于f的不等式f(3M)+/(2-Z)<0.

【答案】(l)a=4；(2)/U)在/?上为增函数；证明见解析；(3)｛5<-：｝.

【详解】

(1)由兀0为定义在R上的奇函数可知，/(0)=0,解得“=4,

经检验，a=4使./U)为奇函数.

(2)由(1)可知/(幻=一2+^^,

3*+1

证明：对于任意实数X”X2,不妨设为<X2,

、4・374-3*z_4(3”-3力

一'*=3"'+1-3*+1=(33+1)(3*?+1),

•.•y=3*在R上单调递增,且xi<x2,3』<3松，.,■/(xi)-f(%2)<0,

.•./(»)</(JT2),故「X)在H上为增函数.

(3)不等式/(3r-l)+/(2-r)<0可化为/(3M)<-f(2-r),

再由/(-x)=；/(x)可得f(38)</(r-2).

由(2)可得解得，<一一，

2

所以不等式的解集为｛皿<一2).

2

z/r

27.【云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一上学期期末】已知函数/(©=——(。。0).

x-1

(1)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明;

(2)若。=1,求函数f(x)在一；上的值域.

【答案】(1)答案详见解析，证明详见解析；(2)

【详解】

(1)当a>0时，函数/(x)在(T/)上是减函数；当"0时，/(x)在(—1,1)上是增函数,

证明如下：

当a>0时，任取-1<芭<1，

axyax2

/U,)-/(x2)

X^—1Xj—1

a(x2-)

(%,-1)(%2-1)

因为X]-l<0,x2-1<0,a(x2-x,)>0,

所以/丝>0,得/(%)>/(x,),故函数/(x)在(—1,1)上是减函数;

(X(-1)(X2-1)-

当。<0时，任取一1<玉<1，

/(3)-/区)=壬-3

x]-1x2-1

_a(x2-xj

_

(x,-l)(x2-l)

因为药一1<0,x2-1<0,。(无2—%)<0,

a(x2-x})

所以<0，得/(X)</(%)，

(x,-l)(x2-l)

所以函数/(x)在(T,l)上是增函数，得证.

(2)当。=1时，由(1)得/(x)=』7在(—1,1)卜一是减函数，

x-\

从而函数/(x)=」7在一!，工上也是减函数，其最小值为/(，)=一1,

x-1222

最大值为了(—gig.

由此可得，函数/(X)在一；,；上的值域为-1,；.

28.【山西省柳林县2019-2020学年高一期末】已知函数人划=V"-±且“4)=3.

X

(1)求加的值；

(2)判断了(x)的奇偶性；

(3)若不等式/(幻一。〉0在[1,48)上恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)m=\；(2)f(x)为奇函数；(3)(-co,-3)

【详解】

4

(1)/(4)=4,?,—=3,m—\\

4

4

(2)由(1)知/(幻=九一一，，/(幻的定义域为{x|xw0},关于原点对称，

X

「44°

:・/(一%)=一％一-~~-=-(x--)=_/(%),・.・/&)为奇函数;

(一X)X

(3)由。</(x)在[1,+8)上恒成立，a</(x)min,

4

丁=%与)，=一一在口,+0。)均为增函数，

x

4

/.f(x)=x——在上为增函数，

x

——3，

3,故答案为(f,-3).

29.【浙江省衢州市2019-2020学年高一期末】已知函数/(x)=a+」一为奇函数(e=2.71828),k&R.

e'-1

(1)求。的值；

⑵若g(x)=/(lnx)-/[ln(x+Z?)],xe[2,3],求g(x)的最大值：

(3)若/。)-6乙,0在区间[2,3]上解集为空集，求方的取值范围.

【答案】)(1)«=⑵g(x)M=77F；⑶

【详解】

解：（1）由/（X）=一/（一幻,

彳ciH-----=—(aH------),

ex-\—

即2。=1,a--\

2

(2)g(x)=f(lnx)-f[ln(x+k2)]

11k2s»

-7^-x+A：2-r(x-i)(x+/：2-i)"x"」,

k2-2kA

令h(x)=(x-l)(x+--1)=(%+----)2----,xe[2,3].