人教版选修4高中数学

十五、选修4

1.（山东理4）不等式Ix—5I+Ix+3IN1O的解集是

A.[-5,7]B.[-4,6]

C(-00,-5]U[7,+00)口(-co,-4]U[6,+00)

【答案】D

2.（北京理5）如图，AD,AE,BC分别与圆0切于点D,E,F,

延长AF与圆。交于另一点G。给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA；

@AFAG=ADAE

③4AFB-AADG

其中正确结论的序号是

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

【答案】A

（2,工）至！］圆P=2cos6

3.（安徽理5）在极坐标系中，点3的圆心的距离为

4+41+式

(A)2(B)V9(C)V9⑴)百

【答案】D

4.（北京理3）在极坐标系中,圆p=-2sin0的圆心的极坐标系是

(l,y)

A.

C.（1,0）D.(1,左)

【答案】B

x=8/2,

y=8f.

5.（天津理11）已知抛物线C的参数方程为为参数）若斜率为1的

直线经过抛物线C的焦点，且与圆（X—少+/=/（r>0）相切，

则「=.

【答案】近

6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦A3与0。相交于点F,E是A3延

点，且°尸尸"血4八/^:台石二^^二：卜若^:后与圆相切，则

线段CE的长为.

不

【答案】2

7.(天津理13)已知集合

A={xeRlk+3|+|x-4|49},8=(xeHlx=4r+1-6/e(0,+oo)]

’〔tJ,则集合

AnB=.

【答案】"1-24x45}

8.（上海理5）在极坐标系中，直线P（2cos6+sine）=2与直线Pcos°=l的夹角大小

为。

275

arccos----

【答案】5

ab

9.（上海理10）行列式,d（{T,l,2}）的所有可

能值中，最大的是。

【答案】6

（陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多

做，则按所做的第一•题评10•分）

A.（不等式选做题）若关于X的不等式同‘卜+"+卜一N存在实数解，则实数a的取

值范围是。

B.（几何证明选做题）如图，4=NZ）,AE18C,N4CD=9（r,且

AB=6,AC=4,AD=12；则BE=

c.（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，工轴的正半轴为

x=3+cos0

C.J__

极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线〔》=4+sm°（°为参数）和曲线02：2=1

上，则恒固的最小值为。

【答案]（-℃>,-3]U[3,+oo）4723

X=COS6Z,

V

11.（湖南理9）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为1y=l+sma为参数）

在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为

极轴）中，曲线C2的方程为P（c°sefin8）+l=0,则口与C2的交点个数为

【答案】2

12.（江西理15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为夕=2sine+4cos6,

以极点为原点，极轴为％轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为

［答案］x24--4x-2y=0

13.（江西理15）（2）（不等式选做题）对于实数Hy,若-2|"1,则卜一2y+l|

的最大值为

【答案】5

Dn，+4）（4+4yb

14.（湖南理10）设且盯HU,则yx的最小

值为o

［答案］9------

15.（湖南理11）如图2,A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4,图2

ADLBC,垂足为D,BE与AD相交与点E则AF的长为。

2百

【答案】3

16.（广东理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为

「=6cose（o-）:丁一）

J=sin。和卜=’，它们的交点坐标为___________.

I答一尊二^

17.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4,过圆。外一点P分别作圆、

和割线交圆于4,8,且PB=7,0是圆上一点使得8c=5,

ZBAC=/APB,则AB-

【答案】屈

18.（福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，

满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选

题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

设矩阵1°b）（其中a>0,b>0）.

（I）若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-l；

2

X,i

---f-y2=1

（II）若曲线C：x2+y2=l在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C\4,

求a,b的值.

（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线1的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为

.X=6cosa（的参数）

y=sina

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正

半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4,5）,判断点P与直线1的位置关系：

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为M.

（I）求集合M；

（II）若a,bWM,试比较ab+1与a+b的大小.

（1）选修4—2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满

分7分。

MM-'

01J

解（I）设矩阵M的逆矩阵1"2y2j,则

/2。）（2OYx,弘(\0、

2%=1,2%=0,3%2=0,3%=1，即玉=:，必=0,》2=°，、2=：7,

所以23

z\

r1

_-o-

_2

_1

-

1O1

K37

故所求的逆矩阵

（H）设曲线c上任意一点「a，》），

它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点p‘a；）''），

a0、('\ax=x

x，和

，

则0by)by=y'

又点p（x'，y）在曲线c’上,

丫，2

—+y-2=l

所以4'

22

ax,,1

-----+b-y22=1

则4为曲线C的方程,

Q2=4,

/+/2=1,故<

2

又已知曲线C的方程为h=i.

4=2,

。>0,5>0,所以v

又b=l.

（2）选修4—4：坐标系与参数方程

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,

考查化归与转化思想。满分7分。

「化为直角坐标，得pe,

解（D把极坐标系下的点

因为点P的直角坐标（0,4）满足直线’的方程尤—y+4=°,

所以点P在直线/上,

故可设点的坐标为（）

（II）因为点Q在曲线C上,Q8cosa,sinc,

从而点Q到直线/的距离为

JI

lj^cosa-sina+4l2cos(a+—)+4

-------------T=-^------=41cos(<z+­)+2A/2

V2V26

COS（£ZH）=-1I—

由此得，当6时，d取得最小值，且最小值为02.

（3）选修4—5：不等式选讲

本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分

7分。

解⑴由得解得0<%<1

所以M={xl0<x<l}.

(H)由(I)和。力eM可知O〈a〈l,O〈b〈l,

所以(ab+1)-(a+b)=3-1)S-l)>0.

^ab+l>a+b.

19.(辽宁理22)

如图，A,B,C,D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.

⑴证明:CD//AB；

(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明：A,B,G,F四点共圆.

20.(辽宁理23)

选修44：坐标系统与参数方程

X=COS(P

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为=(*为参数)，曲线C2的参数

x=acQs(p

方程为［y="sine(。>/2>0,*为参数)，在以。为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标

系中，射线1：e=a与Cl,C2各有个交点.当a=0时，这两个交点间的距离为2,当a=2

时，这两个交点重合.

(I)分别说明Cl,C2是什么曲线，并求出a与b的值；

(H)设当a=4时，1与ci,C2的交点分别为Al,BL当a=4时，i与ci,C2的交

点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.

解：

(I)C1是圆，C2是椭圆.

当。=°时，射线1与Cl,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),I妫这两点间

的距离为2所以a=3.

兀

cc——

当2时，射线1与ci,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点

重合，所以b=l.

=1和—+=].

(II)Cl,C2的普通方程分别为9

71y/2

a——x=—

当4时，射线1与C1交点A1的横坐标为2,与C2交点B1的横坐标为

，3所

冗

OC-----

当4时，射线1与Cl,C2的两个交点A2,B2分别与Al,B1关于x轴对称，因此,

四边形A1A2B2B1为梯形.

(2xf+2x)(xf-x)_2

故四边形A1A2B2B1的面积为25................io分

21.(辽宁理24)

选修4-5：不等式选讲

已知函数"X)=|x_2lTx-51.

(I)证明：-3</U)<3;

(II)求不等式“X)女2-8*+15的解集.

解：

(I)因为EC=ED,所以NEDC=NECD.

因为A,B,C,D四点在同一圆上，所以/EDC=/EBA.

故NECD=NEBA,

所以CD//AB.....................5分

(II)由(I)知，AE=BE,因为EF=FG,故NEFD=/EGC

从而/FED=/GEC.

连结AF,BG,则4EFA且AJEGB,故/FAE=NGBE,

XCD//AB,ZEDC=ZECD,所以NFAB=/GBA.

所以NAFG+NGBA=180°.

故A,B,G,F四点共圆.......10分

解：

—3,x«2,

/(x)=1x-21-1x-51=<2x-7,2<x<5,

(I)3x>5.

得2<x<5时,-3<2x-7<3.

所以一3W/(X)<3...........5分

(II)由⑴可知，

当xW2时,/(x)>x--8x+15的解集为空集；

当2<x<5时的解箧哥―8x+15{xl5-V3<x<5},

当x25时的解集万一8x+15{xl5<x<6}

综上，不等式/(x)2r-8x+15的解集为{尤15-6WxW6}.10分

22.(全国新课标理22)选修4-1：儿何证明选讲

如图，D,E分别为的边AB,AC上的点，且不与儿48c的顶点重合.已知阳的

长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程/-14x+/"〃=0的两个根.

(I)证明：C,B,D,E四点共圆；

(II)若NA=90°,且川=4,〃=6,求c,B,D,E所在圆的半径.

B

D

解：

(I)连接DE,根据题意在4ADE和4ACB中,

ADxAB=mn=AExAC,

AD_AE

即ACAB.又NDAE=NCAB,从而△ADESZ\ACB

因此NADE=/ACB

所以C,B,D,E四点共圆.

（II）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为xl=2,x2：

故AD=2,AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线相交于H点，连

接DH.因为C,B,D,E四点共圆，所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

由于/A=900,故GH〃AB,HF〃AC.HF=AG=5,DF=2（i2-2）=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5a

23.（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cosa

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为1N=2+2sina为参数），M为6上的动

点，P点满足丽=2而，点p的轨迹为曲线02.

（I）求G的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与a的异于极点的交

点为A,与G的异于极点的交点为B,求IABI.

解：

XY

（I）设