2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第9章向量应用

9.4向量应用

课程

一任会用向量方法解决箍堆的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.体会向易在解决数学和实际问题中的作川.

标准

区基础认知•自主学习《

概念认知

1.用向量方法解决平面几何问题

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，

将平面几何问题转化为向量问题;

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;

③把运算结栗'翻译"成几何美系.

2.向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.

⑵向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.

⑶动量mv是向量的数乘运算.

(4)功是力F与位移s的数量积.

自我小测

1.已知两个力Fi,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力

与Fi的夹角为60°,那么F1的大小为()

A.54NB.5N

C.IOND.5^/2N

选B.如图可知|F]|=|F|cos60°=5(N).

2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,

2),则此四边形为()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

选A.由题意得期=(3,3),Dt=(2,2),所以磋〃阮，|电性

IDt|,所以四边形为梯形.

3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),

且=2At),则顶点D的坐标为()

A.(2,孑B.[2,5)

C.(3,2)D.(1,3)

选A.设D(x,y),则=(4,3),At)=(x,y-2),由=2At)

f4=2x卜=2

得,所以

[3=2(y-2)[y=72•

所以顶点D的坐标为(2,I).

4.某人从点O向正东走30m到达点A,再向正北走3O\/3m到达

点B,则此人的位移的大小是m,方向是北偏东

如图所示，

此人的位移是3=OA+A^，且OA,

贝(!|Q6I=AJ|OA|2+|A6|2=60(m),

tanZBOA二事,

|OA|

所以NBOA=60。.所以3方向为北偏东30。.

答案：6030°

5.如图，正方形ABCD的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,

AF与DE交于点M.求NEMF.

DC

AEB

建立如图所示的平面直角坐标系,

因为正方形ABCD的边长为a,

所以A(0,0),D(0,a),

E^O,Fa,At7=，花=[|,-a

22

因为AfDfe=y-y=0,

所以Af±Dt,

即AF±DE.

所以NEMF=90。.

为学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.在四边形ABCD中，若At=(1,2),Bt)=(-4,2),则该四边

形的面积为()

A.4B.24C.5D.10

选C.因为AtBt)=0,所以AC_LBD.

所以四边形ABCD的面积S=；|At||Bt)|=1x小x2小=5.

2.一条河的宽度为d,水流的速度为v2,T台从岸边A处出发，垂

直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是V.,则

在航行过程中，船的实际速度的大小为()

A.|vi|B.^|vi|2+|V2|2

C.^|V||2-|V2|2D.|V1|-|V2|

选C.画出船过河的简图（图略）可知，实际速度是“与V2的和，由勾

股定理知选C.

3.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|附-Ot|=|cm+Ot

-20A|,则^ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

选B.因为-Ot|=|CB|=|Afe-At|,|Ofe+Ot-20A|=

|Afe+At|,所以Afe-At|=|Afe+At|,则ATfeAt=0,所以

ZBAC=90°,

即△ABC是直角三角形.

4.若O是△ABC内一点，OA+附+Ot=0,则0为4八8（2的

（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

选D.如图，取AB的中点E,连接OE,

贝！JOA+3=20t.又OA+3+Ot=0,

所以Ot=-20.又O为公共点,

所以O,C,E三点共线，且|Ot1=21M|.

所以。为AABC的重心.

5.用两条成60。的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12N,则合力的

大小约为(精确到0.1N)()

A.20.6NB.18.8N

C.20.8ND.36.8N

选C.设两条绳索的拉力Fi,F2的合力为F合.如图所示，则出|=|

At)|=12,尸合二At,

B

连接BD交AC于M,ZBAM=30°,所以|F合|二

2|A^1|=2xl2cos30°=12s~20.8(N).

二、填空题

6.在平面直角坐标系中，力F=(2,3)作用一物体，使物体从点A(2,

0)移动到点B(4,0),则力F对物体做的功为.

根据题意方F对物体做的功为W=FA6=(23)-(4-2,0-0)=2x2

+3x0=4.

答案：4

7.正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点，则

cosZDOE=.

以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示,

4

答案：弓

8.河水的流速为5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速

度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s.

设小船在静水中的速度为V1,河水的流速为V2,V］与V2的合速度为

v.因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水

中的速度V,斜向上游方向，河水速度V2平行于河岸，合速度v指向

对岸，所以静水速度|V1|=4|v|2+陋|2=\jl22+52=13(m/s).

答案：13

9.如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上(绳子

的质量忽略不计，g=10m/s2)，绳子在A,B处与铅垂方向的夹角分

别为30°,60。,则绳子AC和BC的拉力大小分别为，________.

设绳子AC和BC的拉力分别为fi,f2,物体的重力用f表示，贝!Jlfl

ION,fi+f2=-f,如图，以C为起点，S=-fi=-f2,CO

=f厕NECG=30°,ZFCG=60。,所以|Cfe|=|CO|cos30°=10x坐

=5y[3,|C?|=

|Ctj|cos60°=10x；=5,

所以绳子AC的拉力大小为5sN,绳子BC的拉力大小为5N.

答案：5小N5N

三、解答题

10.已知在RtAABC中，NC=90。，设AC=m,BC=n.若D为斜

边AB的中点，求证：CD=；AB.

【证明】以C为坐标原点，边CB,CA所在的直线分别为x轴，y

轴建立平面直角坐标系，如图所示,

由题意得,A(0,m),B(n,0),则Afe=(n,-m),

因为D为AB的中点,

所以电，司,Ct)由司.

所以Ct)I=1y/n2+m2,|A^|=y/m2+n2,

所以|Ct)|二；|Afe|,即CD=；AB.

11.如图，用两根分别长5也米和10米的绳子，将100N的物体吊

在水平屋顶AB上,平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所

受力的大小(绳子的重量忽略不计).

如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45。角，BG与铅垂方向成

60°角.

设A处所受力为Fa,B处所受力为Fb,物体的重力为G,

因为NEGC=60。，ZEGD=45°,

则有IFalcos45°+IFblcos60°=|G|=100,①

且IFalsin45°=|Fb|sin60°,②

由①②解得|Fa|=15M-50V6,

所以A处所受力的大小为(150啦-5076)N.

综合突破练

一、选择题

1.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(l,2)从点A(4,6)处移动到点

B(7,12)处，其所用时间为()

A.2B.3C.4D.8

选B.因为|v|=、T+22=小,|Afe\=\j(7-4)2+(12-6)2=

V45,

所以时间t==3.

2.已知△ABC满足AB?二期At+BA+CAC6，则△ABC

是()

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

选C,由题意得，2=Alb-At+Afe-Cfi+CA-Cfi=Afi-(At

+)+CA,CS=Afe2+CA,Cfi,所以CA=0,

所以CAJ_CS,即CA±CB,所以△ABC是直角三角形.

3.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0),B(0,1),点C在第一

象限内，NAOC=%，且OC=2.若Ot=X,OA+|13，贝！U+|i的

值是()

A.y[2B.啦+1

C.小D.仍+1

选D.由题意,知OA=(1,0),06=(0,1).设C(x,y),则Ot=(x,

y).

因为8=xoA+MT6,

所以(x,y)=X(l,0)+p(0,1)=(X,|i).

fx=X,

所以

〔y=m

又因为NAOC=4,OC=2,

所以A,=x=2cos菅二小,|i=y=2sin=1,

所以入+|i=小+1.

4.已知点0(0,0),A(0,b),B(a,a3).^AOAB为直角三角形，则

a与b的关系有可能是()

21

A.b=aB.b=a3+-

a

C.b=a3--D.b=a3-1

a

选B.由题意，知OA=(0,b),Qfe=(a,a3),Afi=(a,a3-b).因为

△OAB为直角三角形，所以①若OA±06，则OAOS=0,即a3b

=0,当b=0时，点O与点A重合；当a=0时，点O与点B重合,

故a3b^0，即OA与OB不垂直.

②若OA±A^,则OAA6=0,

即1)3-b)=0,又b#0，故b=a3.

③若3±Afe,贝UOfe=0,即a?+a3(a3-b)=0,又a^O,故

33

a+7a-b=0,BPb=a+7.

故当△OAB为直角三角形时，

有b=a，或b=a?+J只有B符合题意.

d

二、填空题

5.如图，在^ABC中，O为BC中点，若AB=1,AC=3,ZBAC

=60。，则

|OA|=.

BOC

根据题意，o为BC的中点，

所以At)=1(Afi+At),|OA|2=1(A62+2A^At+At2)=

；(I2+2xlx3xcos60°+32),所以|OA|=.

分口案.•2

6.已知i,j,k为共面的三个单位向量，且iJJ,则(i+k)a+k)的

取值范围为.

由iJ_j得ij=0,又i,j为单位向量，

贝用i+jl=qi2+j2+2ij=y/2,

贝小i+k>(j+k)=i-j+(i+j>k+k2=(i+j>k+1=|i+j|cos(i+j,k)

也cos(i+jzk)+1,

由-l<cos(i+j,k〉R,得(i+k>(j+k)的取值范围是「血，1

+啦].

答案：口-啦，1+6]

7.如图所示,在倾斜角为37°(sin37°~0.6),高为2m的斜面上，质

量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对

斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为J,

重力所做的功为J(g=

9.8m/s2).

in

2m

?in

物体m的位移大小为|s|二;^"前K(m)，则支持力对物体m所做的

L)Xll_//

功为W1=Fs=|F||s|cos90°=0(J)重力对物体m所做的功为W2=Gs

|G||s|-sin37°-5x9.8xyx0.6=98(J).

答案：098

8.如图所小i已知O为坐标原点,点A(3,0),B(4i4),C(2,1),

则AC和OB的交点P的坐标为.

设g=tOfe=t(4,4)=(4t,4t),

则m=0P-OA=(4t-3,4t),At=(2,1)-(3,0)=(-1,1).

由电，At共线，得(4t-3)x1-4tx(-1)=0,

解得•所以讨=(4t,4t)=(l，|)，

’33'

所以点p的坐标为

,2J2.

口—•1，1

三、解答题

9.一架飞机从A地向北偏西60。方向飞行1000km到达B地，因大

雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60。方向，

并且A,C两地相距

2000km,求飞机从B地到C地的位移.

方法一：由题意得I成|=1000km,

|At|=2000km,ZBAC=60°,

所以|2=|At-Afe|2=|At|2+|Afe|2-2|At|-|Afe|-cos60°=2

0002+

10002-2x2000X1000X；=3xl06,

所以|=100073km,

所以F+IBt|2=|AtF,所以NABC=90°.

取AC的中点D,

由|At|=2|A^|且/BAD=60。，

知Bt）的方向为