高中数学选择性必修一课件：2 4 2 圆的一般方程(人教A版)

2.4.2圆的一般方程课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识.问题一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？1.圆的一般方程的定义圆的一般方程中有三个待定系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就明确了D2＋E2－4F>0D2＋E2－4F<02.用待定系数法求圆的方程的大致步骤(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.拓展深化[微判断]1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.()2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.()

提示当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(

)√×√[微训练]1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(

) A.(2，3) B.(－2，3) C.(－2，－3) D.(2，－3)

答案D[微训练]1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(

) A.(2，3) B.(－2，3) C.(－2，－3) D.(2，－3)

答案D2.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(

) A.以(a，b)为圆心的圆 B.以(－a，－b)为圆心的圆 C.点(a，b) D.点(－a，－b)

答案D3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.答案4[微思考]1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？

提示x2＋y2＋F＝0(F<0).2.若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？

提示①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.题型一圆的一般方程的概念【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，规律方法方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.特别提醒在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.规律方法方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.特别提醒在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.【训练1】

(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________； (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.解析(1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，∴该圆的面积为9π.由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，题型二求圆的一般方程【例2】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.解设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.规律方法待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.(3)解此方程组，求出D，E，F的值.(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.【训练2】已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.解设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.解设点M的坐标是(x，y)，角度2代入法求轨迹方程【例3－2】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.解设点M(x，y)，点P(x0，y0)，∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，角度3定义法求动点的轨迹方程【例3－3】已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.解法一设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法二同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).规律方法求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.特别提醒在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.【训练3】已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.2.圆的一般方程具有的特征 (1)x2，y2项的系数应相等. (2)没有xy项. (3)D2＋E2－4AF>0.3.圆的一般方程与标准方程的联系(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径.(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出.(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程.特别提醒对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件.二、素养训练1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(

)A.8π B.4π C.2π D.π答案C2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(

)答案D3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是(

) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0答案B4.(多填题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；答案(－2，－4)

55.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆.备用工具&资料5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0