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文档简介
3.3.2第2课时抛物线的方程及性质的应用关键能力·素养形成类型一直线与抛物线的位置关系【典例】若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.关键能力·素养形成【思维·引】将直线方程与抛物线方程联立,消去y后化为关于x的方程,其中二次项系数含参数,分类讨论方程有一解时a的取值.解:因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程组有唯一一组实数解,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0①(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.令Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0或a=-.当a=0时,原方程组有唯一解当a=-时,原方程组有唯一解综上实数a的取值集合是.【内化·悟】直线与抛物线只有一个公共点,则直线和抛物线一定相切吗?提示:不一定相切,当直线和抛物线的对称轴重合或平行时,直线和抛物线相交只有一个公共点.【内化·悟】直线与抛物线只有一个公共点,则直线和抛物线一定相切吗?提示:不一定相切,当直线和抛物线的对称轴重合或平行时,直线和抛物线相交只有一个公共点.【类题·通】直线与抛物线的位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点.【习练·破】已知直线l过点A
且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的方程为
.
【解析】当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时,由题意设直线l的方程为y-p=,将直线l的方程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+3k)p2=0.由Δ=0得,k=或k=-1.所以直线l的方程为2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0.当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点;此时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为:2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p.【答案】2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点;此时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为:2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p.【答案】2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p类型二与弦长、中点有关的问题【典例】1.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,抛物线C的方程为
.
【解析】设抛物线的方程为y2=ax(a≠0),由方程组得交点为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)是AB的中点,从而有a=4,故所求抛物线的方程为y2=4x.【答案】y2=4x2.已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴.(1)求抛物线方程;(2)直线l过定点B(-1,0),与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程.解:(1)设抛物线方程为y2=-2px,抛物线过点(-4,4),42=-2p(-4),得p=2,则y2=-4x.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l:x=-1与抛物线交于(-1,-2),(-1,2),弦长为4,不合题意.②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,直线为y=k(x+1),
消去y得k2x2+(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=-,x1x2=1.弦长为=8,解得k2=1,得k=±1,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.提示:|AB|==·==.【内化·悟】直线l:y=kx+b和抛物线y2=2px相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|等于多少?【类题·通】中点弦问题解题策略【习练·破】已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.解:方法一:设A(x1,y1),B(x2,
y2),弦AB的中点为M(x,y),则y1+y2=2y,kAB==.因为,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),所以2y·=2,即2y·=2.即.当AB⊥x轴时,AB中点为(2,0),适合上式,故所求轨迹方程为方法二:设直线AB的方程为y-1=k(x-2),由得y2-y+1-2k=0.由已知可知恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y),所以y1+y2=,y1y2=,所以x1+x2==[(y1+y2)2-2y1y2]==,所以消去参数k,得:
当AB⊥x轴时,AB中点为(2,0),适合上式,故所求轨迹方程为类型三抛物线性质的综合应用【典例】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线OA,OB的斜率之积为-,求证:直线AB过定点.解:(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①当直线AB的斜率不存在时,设A
因为直线OA,OB的斜率之积为-,所以,化简得t2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8.②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),联立得化简得ky2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得yAyB=,因为直线OA,OB的斜率之积为-,所以即xAxB+2yAyB=0,即
=0,解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32,所以yAyB==-32,即b=-8k,所以y=kx-8k,即y=k(x-8),综上所述,直线AB过x轴上一定点(8,0).【内化·悟】解决直线或曲线方程过定点问题的关键是什么?提示:把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把参数当作未知数,将方程一端化为0,即化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把参数k当作未知数).【类题·通】应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值.【习练·破】已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点,且=2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M坐标为(-2,0),直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求证:
为定值.(1)解:设l的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由-my-2=0.所以y1+y2=2pm,y1y2=-4p.所以
=x1x2+y1y2=+y1y2=4-4p=2,
所以p=,所以抛物线C的方程为y2=x.(2)证明:因为M坐标为(-2,0),所以由(1)可得y1+y2=m,y1y2=-2,所以=0为定值.课堂检测·素养达标1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 (
)
A.- B.-1 C.- D.-【解析】因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,故-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF=【答案】C2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (
)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点【解析】因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部.所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0,直线与抛物线有两个公共点.【答案】C3.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为 (
)【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,则x1+x2=4,x1x2=1,|AB|=【答案】B4.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为
.
【解析】可判断直线y=x+4与抛物线y2=4x相离,设y=x+m与
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