高中数学选择性必修一课件1：3 3 2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用(人教版)

3.3.2第2课时抛物线的方程及性质的应用关键能力·素养形成类型一直线与抛物线的位置关系【典例】若直线l：y=(a+1)x-1与曲线C：y2=ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合.关键能力·素养形成【思维·引】将直线方程与抛物线方程联立，消去y后化为关于x的方程，其中二次项系数含参数，分类讨论方程有一解时a的取值.解：因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得[(a+1)x-1]2=ax，整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0①(1)当a+1=0，即a=-1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x=-1，这时，原方程组有唯一解(2)当a+1≠0，即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.令Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=a(5a+4)=0，解得a=0或a=-.当a=0时，原方程组有唯一解当a=-时，原方程组有唯一解综上实数a的取值集合是.【内化·悟】直线与抛物线只有一个公共点，则直线和抛物线一定相切吗？提示：不一定相切，当直线和抛物线的对称轴重合或平行时，直线和抛物线相交只有一个公共点.【内化·悟】直线与抛物线只有一个公共点，则直线和抛物线一定相切吗？提示：不一定相切，当直线和抛物线的对称轴重合或平行时，直线和抛物线相交只有一个公共点.【类题·通】直线与抛物线的位置关系的判断方法设直线l：y=kx+b，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0，当Δ>0时,直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点.【习练·破】已知直线l过点A

且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点，则直线l的方程为

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【解析】当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线l的方程为y-p=，将直线l的方程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+3k)p2=0.由Δ=0得，k=或k=-1.所以直线l的方程为2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0.当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点；此时，y=p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p.【答案】2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点；此时，y=p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p.【答案】2x-6y+9p=0或2x+2y+p=0或y=p类型二与弦长、中点有关的问题【典例】1.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，抛物线C的方程为

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【解析】设抛物线的方程为y2=ax(a≠0)，由方程组得交点为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a=4，故所求抛物线的方程为y2=4x.【答案】y2=4x2.已知抛物线的顶点在原点，过点A(-4，4)且焦点在x轴.(1)求抛物线方程；(2)直线l过定点B(-1，0)，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程.解：(1)设抛物线方程为y2=-2px，抛物线过点(-4，4)，42=-2p(-4)，得p=2，则y2=-4x.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1与抛物线交于(-1，-2)，(-1，2)，弦长为4，不合题意.②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y=k(x+1)，

消去y得k2x2+(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=-，x1x2=1.弦长为=8，解得k2=1，得k=±1，所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.提示：|AB|==·==.【内化·悟】直线l：y=kx+b和抛物线y2=2px相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|等于多少?【类题·通】中点弦问题解题策略【习练·破】已知抛物线y2=2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.解：方法一：设A(x1，y1)，B(x2，

y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1+y2=2y,kAB==.因为，两式相减，得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2)，所以2y·=2，即2y·=2.即.当AB⊥x轴时，AB中点为(2，0)，适合上式，故所求轨迹方程为方法二：设直线AB的方程为y-1=k(x-2)，由得y2-y+1-2k=0.由已知可知恒成立.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，所以y1+y2=，y1y2=，所以x1+x2==[(y1+y2)2-2y1y2]==,所以消去参数k，得：

当AB⊥x轴时，AB中点为(2，0)，适合上式，故所求轨迹方程为类型三抛物线性质的综合应用【典例】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为-，求证：直线AB过定点.解：(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以=1，所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①当直线AB的斜率不存在时，设A

因为直线OA，OB的斜率之积为-，所以，化简得t2=32.所以A(8，t)，B(8，-t)，此时直线AB的方程为x=8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得yAyB=，因为直线OA，OB的斜率之积为-，所以即xAxB+2yAyB=0，即

=0，解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32，所以yAyB==-32，即b=-8k，所以y=kx-8k，即y=k(x-8)，综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0).【内化·悟】解决直线或曲线方程过定点问题的关键是什么?提示：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待,把参数当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)+g(x，y)=0的形式(这里把参数k当作未知数).【类题·通】应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值.【习练·破】已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=2.(1)求抛物线C的方程；(2)点M坐标为(-2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：

为定值.(1)解：设l的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由-my-2=0.所以y1+y2=2pm，y1y2=-4p.所以

=x1x2+y1y2=+y1y2=4-4p=2，

所以p=，所以抛物线C的方程为y2=x.(2)证明：因为M坐标为(-2，0)，所以由(1)可得y1+y2=m，y1y2=-2，所以=0为定值.课堂检测·素养达标1.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 (

)

A.- B.-1 C.- D.-【解析】因为抛物线C：y2=2px的准线为x=-，且点A(-2，3)在准线上，故-=-2，解得p=4，所以y2=8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF=【答案】C2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0)，则 (

)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点【解析】因为直线y=kx-k=k(x-1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线y2=2px的内部.所以当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.【答案】C3.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为 (

)【解析】设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为-2，且过点(1，0)得直线AB的方程为y=-2(x-1)，代入抛物线方程y2=8x得4(x-1)2=8x，整理得x2-4x+1=0，则x1+x2=4，x1x2=1，|AB|=【答案】B4.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为

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【解析】可判断直线y=x+4与抛物线y2=4x相离，设y=x+m与