高中数学选择性必修一课件1：3 1 1 椭圆及其标准方程(人教版)

3.1.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)集合语言：P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}.必备知识·素养奠基常数思考定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么?提示：(1)当|PF1|+|PF2|=2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在.(2)当|PF1|+|PF2|=2a=|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段.2.椭圆的标准方程椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上

F1(-c,0),F2(c,0)2c(c>0)焦点在y轴上

________________2c(c>0)F1(0,-c),F2(0,c)思考：(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.素养小测1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)已知F1(-4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆. (

)(2)已知F1(-4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. (

)(3)平面内到点F1(-4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆. (

)(4)平面内到点F1(-4，,0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆.(

)提示：(1)×.因为2a=|F1F2|=8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆.(2)×.2a<|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在.(3)√.符合椭圆的定义.(4)×.平面内到点F1(-4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.已知F1，F2是定点，|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是 (

)

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【解析】因为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|，所以点M的轨迹是椭圆.【答案】A2.已知F1，F2是定点，|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是 (

)

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【解析】因为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|，所以点M的轨迹是椭圆.【答案】A关键能力·素养形成类型一求椭圆的标准方程典例

已知椭圆的焦点F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是(

)

【解析】因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以|F1F2|=2，因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，所以点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，因为2a=4，a=2，c=1，所以b2=3，所以椭圆的方程是=1.【答案】C内化·悟1.用定义法求椭圆标准方程的思路是什么?提示：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.2.当椭圆的焦点位置不确定时怎样求标准方程?提示：若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n，m>0，n>0).类题·通待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能.(2)设方程.①依据上述判断设方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0)；②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n).类题·通待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能.(2)设方程.①依据上述判断设方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0)；②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n).(3)找关系：依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求.提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.习练·破已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是(

)A.m>2或m<-1 B.m>-2C.-1<m<2 D.m>2或-2<m<-1【解析】椭圆的焦点在x轴上，所以m2>2+m，即m2-2-m>0.解得m>2或m<-1.又因为2+m>0，所以m>-2.所以m的取值范围是m>2或-2<m<-1.【答案】D类型二椭圆定义及其应用角度1用定义法求椭圆的标准方程典例已知定点A(0，-2)，点B在圆C：x2+y2-4y-32=0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为

.

【解析】如图，由题意，得|PA|=|PB|，所以|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4，所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c=2，a=3，所以b=，所以椭圆方程为=1.【答案】=1角度2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题典例

已知椭圆C：=1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2=60°，则△PF1F2的面积是

(

)

A.5 B. C. D.【解析】由题意可得a=3，c==2.设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=6①，由余弦定理得，cos∠PF1F2=,即m2-n2-4m+16=0②，由①②解得m=,故△PF1F2的面积是【答案】D

类题·通1.椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化.(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题.2.椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，如已知∠F1PF2，可利用S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量.发散·拓椭圆中的焦点三角形：椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解.椭圆=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|=4，则|PF2|=

，∠F1PF2的大小为

.

习练·破【解析】由题意，得|PF1|+|PF2|=6，又|PF1|=4，所以|PF2|=2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2==-.所以∠F1PF2=120°.【答案】2

120°类型三与椭圆有关的轨迹问题典例

已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，-4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是 (

)

A.=1(x≠0) B.=1(x≠0)C.=1(x≠0) D.=1(x≠0)思维·引1.根据三角形的周长和顶点，得到点A到两个顶点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点.2.利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系，用代入法求得轨迹方程.【解析】因为△ABC的周长为20，顶点B(0，-4)，C(0，4)，所以|BC|=8，|AB|+|AC|=20-8=12，因为12>8，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆.因为a=6，c=4，所以b2=20，所以椭圆的方程是

=1(x≠0).【答案】B内化·悟求轨迹方程的关键是什么?提示：关键是分析题中条件,选择合适的求轨迹方程的方法.类题·通求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解.(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.习练·破若△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b=6，求顶点B的轨迹方程.解：以直线AC为x轴,AC的中点为原点,建立平面直角坐标系,设A(-3,0),C(3,0),B(x,y),则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12，所以B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且a＇=6,c＇=3,b＇2=27.故所求的轨迹方程为=1(y≠0).课堂检测·素养达标1.方程=10化简的结果是 (

)

【解析】方程=10表示动点M(x，y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且2a=10，c=2，所以b2=a2-c2=52-22=21.所以椭圆的方程为：=1.【答案】B2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为 (

)

【解析】c=1，a=2，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程为=1.【答案】A3.设F1，F2是椭圆=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△F1PF2的面积=

.

【答案】4备用工具&资料3.设F1，F2是椭圆=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△F1PF2的面积=

.

2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为 (

)

1.椭圆的定义(1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)集合语言：P={M||MF1|+|MF2