高中数学选择性必修3课件：习题课 随机变量的均值与方差(人教A版)

习题课随机变量的均值与方差课标要求素养要求1.进一步理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.通过进一步研究离散型随机变量的均值与方差，提升数学运算及数据分析素养.新知探究根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备，有如下三种方案：方案一：运走设备，搬运费为3800元；方案二：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案三：不采取任何措施，希望不发生洪水．问题试比较哪种方案好？提示用X1，X2，X3分别表示三种方案的损失．易知E(X1)＝3800，E(X2)＝2000＋60000×0.01＝2600，E(X3)＝60000×0.01＋10000×0.25＝3100.所以方案二平均损失最小，所以选择方案二．1．离散型随机变量的均值与方差在进行决策时，一般先根据期望的大小来决定，当期望值相同或相差不大时，再利用方差进行决策若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝___________________________为随机变量X的均值或__________，它反映了离散型随机变量取值的__________．(2)方差x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝________________． (2)D(aX＋b)＝______________

(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝______________． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝________________．aE(X)＋ba2D(X)p(1－p)np(1－p)拓展深化[微判断]1．期望值就是算术平均数，与概率无关．

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提示由数学期望公式可知不正确．2．随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．

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)3．均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．

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提示均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事．×√×[微训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为[微训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为答案B[微思考]随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？提示

随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本的不同而变化，对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值.题型一放回与不放回问题的均值【例1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数Y的期望与方差．

解(1)法一由题知X的可能取值为0，1，2.∴随机变量X的分布列为∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，规律方法不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．解(1)设甲袋中红球的个数为x，所以X的分布列为题型二与排列、组合有关的分布列的均值【例2】如图所示，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求均值E(V)．因此V的分布列为规律方法解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到期望．即m(m－1)(10－m)＝120，且m≥2.所以m的值为6.没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y的可能取值为0，1，2，3.所以Y的分布列为①E(X)>E(Y)，说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值．②E(X)＋E(Y)＝3，说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数．解X的可能取值为0，1，2.设该学生第一次、第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，所以X的分布列为规律方法若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．【训练3】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1若商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的均值E(Y)与方差D(Y)．P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.(2)Y的可能取值为200，250，300.P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．D(Y)＝(200－240)2×0.4＋(250－240)2×0.4＋(300－240)2×0.2＝1400.

题型四均值与方差问题的实际应用【例4】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，且X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．可知当n＝19时所需费用的均值小于当n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(2)法一设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：因为E(Y1)＞E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．2．实际问题中的均值、方差问题

均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．3．概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．二、素养训练1．若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于(

)X012345P2x3x7x2x3xx答案C2.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是(

) A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p)解析用电单位的个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np.答案B3．已知离散型随机变量X的分布列为答案B4．已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X，则D(X)＝__________．

解析由题意，知X～B(10，0.7)，则D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1.

答案2.15．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．所以X的分布列为备用工具&资料5．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行