四川省宜宾市宜宾市2023-2024学年高二数学上学期期中试题含解析

Page182022级高二上期半期联合考试数学试题满分150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（）A.事件A与B互斥不对立 B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立 D.事件A与B不相互独立【答案】C【解析】【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；，所以，又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误.故选：C.2.在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间四点共面可得，解之即可.【详解】因为四点共面，，所以，解得.故选：B.3.无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标.【详解】将直线方程整理成，令，解得，即直线经过定点.故选：C.4.已知实数满足方程，则的最大值（）A.2 B.4 C. D.1【答案】B【解析】【分析】表示圆上的点到原点的距离的平方，求出圆心到原点的距离，利用圆的几何性质可求得最值.【详解】实数x，y满足方程，则点在以为圆心半径为1的圆上，因为原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离，所以，所以，所以的最大值为4.故选：B5.在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中点及向量加减法的运算求解即可.【详解】如图，因为，所以，因为为的中点，所以，所以.故选：D6.已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为A.2 B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.7.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.8.已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.A. B. C.l D.【答案】B【解析】【详解】设，.椭圆方程为，双曲线方程为两曲线的半焦距为、，且.由圆锥曲线定义得，.于是，，.又由余弦定理得.由均值不等式得.当，时，上式等号成立.从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.与直线垂直，且与点距离为的直线方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.【详解】依题意设所求直线方程为，则点到直线的距离，解得或，所以所求直线方程为或.故选：AB10.已知点是椭圆上一点，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（）A.点的纵坐标为4 B.C.的周长为 D.的内切圆半径为【答案】BC【解析】【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得；根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径.【详解】依题意，不妨设点，由可得故，则面积为解得：，对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误；对于B选项，由知，此时点为椭圆短轴顶点，故，又由知，故B项正确；对于C选项，因点在椭圆上，故有于是的周长为故C项正确；对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得：，解之得：故D项错误.故选：BC.11.甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A：抽取的两个小球标号之和大于5，事件：抽取的两个小球标号之积大于8，则（）A.事件A与事件对立事件 B.事件与事件是互斥事件C.事件发生的概率为 D.事件发生的概率为【答案】BC【解析】【分析】求得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；再写出事件A,B包含的基本事件，即可判断A,B；写出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判断C,D.【详解】由题意知：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个基本事件，可以看出，事件是事件的子事件，故错；事件包括：，，，，，，，，共9个事件，每个事件中两小球标号之积都小于8，故与事件是互斥事件，故正确；事件包含的基本事件为：，，，，，，，，，，，共11个，所以事件发生的概率为，故正确；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12个，所以事件包含的基本事件为：，，，共3个基本事件，所以事件发生的概率为，故不正确，故选：．12.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹所围成区域的面积为B.面积的最大值为C.点到直线距离的最大值为D.若圆上存在满足条件的点，则的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确.【详解】设，由得：，，整理可得：，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；对于A，点轨迹围成的区域面积为，A正确；对于B，，若取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大，点到直线的距离的最大值为，面积的最大值为，B正确；对于C，圆心到直线的距离，点到直线距离的最大值为，C错误；对于D，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距为，，解得：，即的取值范围为，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则________.【答案】【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意知，，所以，因为两圆外切，所以，解得.故答案为：2.14.已知直线与直线关于直线对称，则的方程为________.【答案】【解析】【分析】求出与的交点，再任选另一点，求出其关于的对称点，从而由两点式求出直线方程.【详解】与不平行，故经过与的交点，联立，解得，即在上，取上另一点，设关于直线的对称点为，则有，解得，过两点和，故方程为，即故答案为：15.若双曲线的渐近线与圆相切，则________.【答案】【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，再求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，圆即圆，圆心为，半径，依题意可得，解得，则.故答案为：16.在长方体，，，P为BC的中点，点Q为侧面内的一点，当，的面积最小值时，三棱锥Q-ACD的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，结合正方体的性质，可以得出在和的中点的连线上，从而判断面积最小时，进而求得三棱锥的底面上的高，然后利用体积公式计算.【详解】如图所示，设的中点为,连接,易知,由所以,延长交于,易得为的中点，当时，最小，的面积最小值，此时，,,,过作，垂足为,易知为三棱锥的底面上的高，，∴三棱锥Q-ACD的体积为，故答案为：.【点睛】由确定在上，是解决问题的关键，然后根据面积最小,确定，接下来利用直角三角形中的射影定理求得的长，然后求得三棱锥.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设直线与.（1）若∥，求、之间的距离；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．【详解】（1）若l1∥l2，则，∴，∴m＝6，∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l1，l2之间的距离d；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】首先用列举法，求得甲、乙两人各抽一题的所有可能情况.（1）根据上述分析，分别求得“甲抽到判断题，乙抽到选择题”和“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率，然后根据互斥事件概率加法公式，求得“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率.（2）根据上述分析，求得“甲、乙两人都抽到判断题”的概率，根据对立事件概率计算公司求得“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率.【详解】把3个选择题记为，2个判断题记为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有，，，，，，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有，，共2种.因此基本事件的总数为.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为.（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为.【点睛】本小题主要考查互斥事件概率计算，考查对立事件，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；（2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解．小问1详解】证明：由题意，在矩形中，，，，，分别是，的中点，，，在四棱锥中，面面，面面，，平面面，面，，，，，面，面，，面，面，，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，,0,，,0,，,4,，,4,，,0,，,2,，,2,，,0,，面的一个法向量为，，平面，平面．【小问2详解】由题意及（1）得：在平面中，,0,，,0,，,2,，,2,，,2,，设平面的法向量为，则，取，得,,，平面的一个法向量为,0,，设二面角的平面角为，由图得为钝角，二面角的余弦值为：．20.已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．（1）求双曲线C的方程．（2）经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程；（2）首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解.【小问1详解】由题意得椭圆的焦点为，，设双曲线方程为，则，∴，解得，双曲线方程;小问2详解】把，分别代入双曲线，两式相减，得，把，，代入，得，，直线的方程为，即把代入，消去y得，.21.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为.（1）圆的方程；（2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析；定点和.【解析】【分析】（1）由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求；（2）由已知设出点坐标，再由已知可知过，，三点的圆是以为直径的圆，设圆上任意一点，则，整理可得圆系方程，联立即可求得经过，，三点的圆所过定点的坐标．【详解】（1）设圆心，则圆心到直线的距离由题意可得，即，解得或（舍）所以圆的方程为（2）证明：∵是直线上一点.设∵为圆的切线，∴，即过、、三点的圆是以为直径的圆设圆上任一点，则∵，∴即故解得或因此经过、、三点的圆必过定点和.【点睛】本题考查利用弦长求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系过定的问题，同时考查了计算能力，是中档题．22.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在定点,使得为定值【解析】【分析】（1）根据等边三角形三边长相等可知，根据周长为可求得，结合椭圆关系可求得结果；（2）假设存在满足题意的定点，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据向量数量积的坐标运算表示出，