高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)专题12数列(原卷版+解析)

专题12数列1．(2023·云南师大附中模拟（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．262．(2023·辽宁实验中学模拟）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．3．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟（理））已知数列满足，且，，则（

）A．2021 B． C． D．4．(2023·上海交大附中模拟）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（

）A． B． C． D．5．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（）A． B．C． D．6．(2023·北京八十中模拟）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第个图中的图形的周长为，则（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江湖州·模拟）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（

）A．4 B．3 C．2 D．18．(2023·浙江温州·二模）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列有界 B．当时，数列有界C．当时，数列有界 D．当时，数列有界9．(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟）（多选题）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（

）A．为等比数列 B．为递减数列C．为等差数列 D．10．(2023·福建·三明一中模拟）（多选题）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是11．(2023·江苏·华罗庚中学三模）（多选题）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（

）A．当时， B．当时，C． D．12．(2023·江苏·盐城中学模拟）（多选题）设，正项数列满足，下列说法正确的有（

）A．为中的最小项B．为中的最大项C．存在，使得成等差数列D．存在，使得成等差数列13．(2023·上海徐汇·三模）设是直线与圆在第一象限的交点，则___________.14．(2023·广东·模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．15．(2023·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有，．设数列的前项和为，若，则的最大值为__________．16．(2023·福建·莆田二中模拟）已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.专题12数列1．(2023·云南师大附中模拟（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．26答案：D【解析】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．由题意可知，等差数列中，前5项和为100，设公差为，前项和为，则，解得，所以，所以公士出的钱数为，故选：D．2．(2023·辽宁实验中学模拟）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设等差数列的公差为，所以，所以，，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，即，，构成等比数列，所以，解得，（舍去），所以.故选：A.3．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟（理））已知数列满足，且，，则（

）A．2021 B． C． D．答案：B【解析】∵，即，则∴数列是以首项，公差的等差数列则，即∴则故选：B．4．(2023·上海交大附中模拟）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】已知方程为一元二次方程，则．首先计算方程的根的判别式，并进行分类讨论．第一种情况，若，即，则，解得．第二种情况，若，即，则，解得，故综合上述两种情况，才能满足不等式成立．而．若，则均符合要求；若，则仅有符合要求；若，则均符合要求；若则没有符合要求的项；故选：B5．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（）A． B．C． D．答案：A【解析】解：由.得，又，可得所以，，，……，，将上式相加得，故选：A.6．(2023·北京八十中模拟）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第个图中的图形的周长为，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长；第二个图有12条边，各边长为，故周长；第三个图有48条边，各边长为，故周长；……所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条，边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为，故.故选：C7．(2023·浙江湖州·模拟）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：B【解析】对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且，∴，解得，∴．∴．∵，∴．则①成立，对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且，∴，解得，∴．∴．故②成立.又由，可得：．∴．∵，∴．对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立；对于④，当时，因为，∴，即，∴．则，故④成立.故选：B8．(2023·浙江温州·二模）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列有界 B．当时，数列有界C．当时，数列有界 D．当时，数列有界答案：B【解析】当时，令，则，当时，，故，因为，则，所以，（这是因为），令，则，故时单调递增函数，故，则，假设，则，故由归纳法可得成立，所以，故数列无界，故A错；又由，设则，故递减，则，所以，则，则，故，则，故，即当时，数列有界，故B正确当时，，由，，假设，则，即成立，所以此时都无界，故C,D错误；9．(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟）（多选题）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（

）A．为等比数列 B．为递减数列C．为等差数列 D．答案：BD【解析】如图，连交于，则，即，所以，所以，所以，设，因为当时，恒有，所以，，所以当时，恒有，所以，即，又，所以，所以，所以，因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；因为，即，所以为递减数列，故B正确；因为不是常数，所以不为等差数列，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD10．(2023·福建·三明一中模拟）（多选题）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是答案：AC【解析】依题意，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，对于第次，取出红球有两种情况．①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，对应，即，故B错误；所以，令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，故，所以，故选项A，C正确；第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，第3次取出球是红球的概率为，前3次取球恰有2次取到红球的概率是，故D错误；故选：AC．11．(2023·江苏·华罗庚中学三模）（多选题）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（

）A．当时， B．当时，C． D．答案：AD【解析】因为是奇函数,是偶函数,则有，解得.对于A：任取，则，所以.故A正确；对于B：任取，则，所以.故B错误；对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以，则有，，故.故C错误;对于D：由C的结论,，则.故D正确.故选：AD12．(2023·江苏·盐城中学模拟）（多选题）设，正项数列满足，下列说法正确的有（

）A．为中的最小项B．为中的最大项C．存在，使得成等差数列D．存在，使得成等差数列答案：AB【解析】解：由可得令，当递增；当递减且是最小的项；所以A正确令在区间内递减，即；即即，所以，综上所述，是最大的项，所以B正确，由于是最小的项，是最大的项，则不可能使得成等差数列，故C错误；因为，所以，则，，所以不存在成等差数列，故D错误故选：AB13．(2023·上海徐汇·三模）设是直线与圆在第一象限的交点，则___________.答案：【解析】联立，解得，因为，当时，直线趋近于直线，此时，直线与圆在第一象限的交点趋近于点，而可视为点与点连线的斜率，当时，的值会无限趋近于点与点连线的斜率，故.故答案为：.14．(2023·广东·模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．答案：【解析】∵，∴，所以函数周期为4，当时，，即；当时，，函数周期为4，令，即与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，故，故，所以．故答案为：.15．(2023·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有，．设数列的前项和为，若，则的最大值为__________．答案：【解析】假设中存在相邻两项为非负数，则，若，则，与条件矛盾；若，则，与条件矛盾，故中不可能存在相邻两项为非负数，当时，则，则根据得,故，当时，则，则根