新教材2024版高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.2第1课时空间向量运算的坐标表示空间向量平行共线和垂直的条件学生用书北师大版选择性必修第一册

3．2空间向量运算的坐标表示及应用第1课时空间向量运算的坐标表示空间向量平行(共线)和垂直的条件[教材要点]要点空间向量运算的坐标表示1．标准正交基：在空间直角坐标系O­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个相互垂直的单位向量就构成空间向量的一组基________，这组基叫作标准正交基．2．坐标向量：对于随意一个向量p＝xi＋yj＋zk，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝________，单位向量i，j，k都叫作坐标向量．3．坐标运算：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a＋b＝________________(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于空间随意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则a1b1＝a(2)若向量AB＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).()(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．()(4)空间向量的加法、减法、乘法坐标运算的结果照旧是一个向量．()2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于()A．(16，0，4)B．(8，－16，4)C．(8，16，4)D．(8，0，4)3．已知空间向量a＝(2，2，－3)，b＝(0，6，m)，若a⊥b，则m＝()A．14C．2D．44．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．题型一向量运算的坐标表示例1已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，3a＋2b，a·b.方法归纳1．在运算中留意相关公式的灵敏运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b2|，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等；2．进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以先求出2a，－b后，再求数量积，计算(a＋b)·(a－b)，即可以先求出a＋b，a－b后，再求数量积也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．跟踪训练1已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5).(1)求AB＋CA，CB－2BA，AB·AC；(2)若点M满意AM＝12AB＋34题型二空间向量平行、垂直的坐标表示例2设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满意下列条件时，实数x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.方法归纳要娴熟驾驭向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，确定留意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类探讨．跟踪训练2已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；(2)若ka＋b与ka－2b相互垂直，求k.[课堂特殊钟]1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向量a－b＋2c＝()A．(0，1，2)B．(4，－5，5)C．(－4，8，－5)D．(2，－5，4)2．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1).若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是()A．6B．－6C．4D．－44．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b相互垂直，则实数k的值是________．5．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，求顶点D的坐标．第1课时空间向量运算的坐标表示空间向量平行(共线)和垂直的条件新知初探·课前预习要点1．{i，j，k}2．(x，y，z)3．(1)(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，∴4a＋2b＝(8，0，4)．故选D.答案：D3．解析：a·b＝12－3m＝0，解得m＝4.故选D.答案：D4．解析：AB＝(3，－1，1)，AC＝(m＋1，n－2，－2)．∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AC＝λAB.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)∴m+1=3λ，n-2=-λ答案：－3题型探究·课堂解透例1解析：因为a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．所以a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)；3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1，4)＝(3×2，3×(－1)，3×(－2))＋(2×0，2×(－1)，2×4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2，8)＝(6，－5，2)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝0＋1－8＝－7.跟踪训练1解析：(1)因为A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5)，所以AB＝(－3，5，－4)，CA＝(－1，0，9)．于是AB+又CB＝(－4，5，5)，BA＝(3，－5，4)，因此CB－2BA＝(－10，15，－3)．又AB＝(－3，5，－4)，AC＝(1，0，－9)，所以AB·AC＝－3＋0＋36＝33.(2)由(1)知，AM＝12AB+34AC＝若设M(x，y，z)，则AM＝(x－1，y＋2，z－4)，于是x-1=-34，例2解析：(1)①当x＝0时，a＝(1，0，1)，b＝(1，0，1)，a＝b，满意a∥b.②当x＝1时，a＝(1，1，0)，b＝(0，－3，2)，不满意a∥b，∴x≠1.③当x≠0时，且x≠1时，由a∥b⇔1-x21＝-3xx＝综上所述，当x＝0或x＝2时，a∥b.(2)a⊥b⇔a·b＝0，∴(1，x，1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0⇔1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±105.∴当x＝±105时，a⊥跟踪训练2解析：(1)因为BC＝(－2，－1，2)，且c∥BC所以设c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)得|c|＝-2λ2解得λ＝±1，即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)因为a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，0，2)所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0解得k＝2或－52[课堂特殊钟]1．解析：a－b＋2c＝(1，0，－1)－(1，－2，2)＋2(－2，3，－1)＝(－4，8，－5)．答案：C2．解析：∵a·b＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0∴a⊥b.故选A.答案：A3．解析：∵a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)，∴a＋b＝(1，－1，2)又因为向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行所以存在实数λ，使得λ(a＋b)＝c∴m=λ2=-答案：D4．解析：因为a＝(1