备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题31概率小题综合训练

专题31概率小题综合训练【考点预料】一、必定事务、不行能事务、随机事务在确定条件下：=1\*GB3①必定要发生的事务叫必定事务；=2\*GB3②确定不发生的事务叫不行能事务；=3\*GB3③可能发生也可能不发生的事务叫随机事务．二、概率在相同条件下，做次重复试验，事务A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数旁边摇摆，随着的增加，摇摆幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作．对于必定事务A，；对于不行能事务A，=0．三、基本领件和基本领件空间在一次试验中，不行能再分的事务称为基本领件，全部基本领件组成的集合称为基本领件空间．四、古典概型条件：1、基本领件空间含有限个基本领件2、每个基本领件发生的可能性相同五、互斥事务的概率1、互斥事务在一次试验中不能同时发生的事务称为互斥事务．事务A与事务B互斥，则．2、对立事务事务A，B互斥，且其中必有一个发生，称事务A，B对立，记作或．．3、互斥事务与对立事务的联系对立事务必是互斥事务，即“事务A，B对立”是”事务A，B互斥“的充分不必要条件．六、条件概率与独立事务（1）在事务A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作，条件概率公式为．（2）若，即，称与为相互独立事务．与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然．即相互独立，则有公式．（3）在次独立重复试验中，事务发生次的概率记作，记在其中一次试验中发生的概率为，则．【典例例题】例1．（2024春·江苏南京·高二校考开学考试）从一副标准的52张（不含大小王）扑克牌中随意抽一张，抽到方片K的概率为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由题意知本题是一个等可能事务的概率，由于方块K只有一张，扑克牌有52张，则随机地抽出一张牌，它恰好是方块K的概率为.故选：A.例2．（2024秋·山东济宁·高二统考期末）假设，且与相互独立，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由与相互独立，则.故选︰B．例3．（2024·全国·高二专题练习）若，，，则事务A与事务B的关系是（

）A．互斥但不对立 B．独立C．对立 D．独立且互斥【答案】B【解析】因为，所以，又，所以事务与事务不对立，又因为，所以事务与相互独立，但不互斥．故选：B．例4．（2024秋·河南南阳·高二统考期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位，让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，所以甲、乙两人不相邻的支配方法有种方法，其中甲排在乙的前面的有种方法，所以甲、乙两人不相邻的概率为，故选:C.例5．（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）已知数学考试中，李伟成果高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】记事务：李伟成果高于80分，：李伟成果不低于60分且不高于80分，所以，与互斥，且，.因为“李伟成果不低于60分”可表示为，所以，由与互斥可知.故选：D例6．（2024·高一课时练习）从编号为1到100的100张卡片中任取一张，以下事务中发生可能性最小的是（

）A．卡片上数字是2的倍数 B．卡片上数字是3的倍数C．卡片上数字是4的倍数 D．卡片上数字是5的倍数【答案】D【解析】从编号为1到100的100张卡片中任取一张，卡片上数字是2的倍数的概率，卡片上数字是3的倍数的概率，卡片上数字是4的倍数，卡片上数字是5的倍数，所以发生可能性最小的是卡片上数字是5的倍数，故选：D例7．（2024秋·辽宁辽阳·高三统考期末）盲盒，是指消费者不能提前得知详细产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.【答案】【解析】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.故答案为：例8．（2024秋·山东潍坊·高三统考期中）一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知其次次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.【答案】6【解析】解:由题知,记“第一次取到红球”为事务A,“其次次取到红球”为事务B,,,,或(舍).故答案为:6例9．（2024秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）从数字2，4，6中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于60的概率为______．【答案】【解析】从2，4，6三个数中任选两个不同的有种选法，其中大于60的有62和64两个，所以大于60的概率；故答案为：.例10．（2024·全国·高三专题练习）某汽车店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为_________.【答案】【解析】随机试验小王从甲、乙、丙、丁、戊5种车型中任选2种车型试驾的可能结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共含10个基本领件，其中随机事务甲车型被选到包含基本领件（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），所以随机事务甲车型被选到的概率.故答案为：.例11．（2024·全国·高三专题练习）一枚匀整的硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为___________．【答案】【解析】“至少出现一次正面朝上”的对立事务为“全部为反面”，事务“全部为反面”的概率为，故至少出现一次正面朝上的概率为，故答案为：．例12．（2024·上海·高三专题练习）甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.【答案】【解析】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.故答案为：.例13．（2024·全国·高三专题练习）花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选个去参观，问两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．【答案】【解析】记事务为“两人选择中恰有一个馆相同”，则，.故答案为：.【技能提升训练】一、单选题1．（2024·高一课时练习）下列四个事务：①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．其中必定事务有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事务；②东边日出西边日落为必定事务；③鸡蛋里挑骨头为不行能事务；④守株待兔为随机事务，故必定事务有1个，故选：B2．（2024秋·浙江嘉兴·高三统考期末）袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设“取到的2个球颜色相同”为事务为,则，所以取到的2个球颜色相同的概率为.故选：D.3．（2024·高一单元测试）从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，这个两位数大于30的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数共有个，其中这个两位数大于30的个数为个，故所求概率.故选：D．4．（2024·高一单元测试）下列说法不正确的是（

）A．必定事务是确定条件下必定发生的事务B．不行能事务是确定条件下必定不会发生的事务C．随机事务是在确定条件下可能发生也可能不发生的事务D．事务A发生的概率确定满意【答案】D【解析】解:由题知,依据事务的分类和定义可知,选项A,B,C正确;关于选项D,若事务为必定事务,则,故选项D错误.故选:D5．（2024·高一课时练习）一批零件共有10个，其中8个正品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若其次次取到合格品的概率为，第三次取到合格品的概率为，则（

）A． B． C． D．与的大小关系不确定【答案】B【解析】第1次取到合格品，第2次也取到合格品的概率为，第1次取到次品，第2次取到合格品的概率为，故，第1次，第2次和第3次均取得合格品的概率为，第1次取得次品，其次次和第三次均取得合格品的概率为，第1次取得合格品，其次次取得次品，第三次取得合格品的概率为，第1次和第2次取得次品，第三次取得合格品的概率为，故.故选：B6．（2024·高一课时练习）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事务为“点数之和恰好为”，则中基本领件个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【解析】用表示两个正方体玩具的点数分别为，，则，∴中基本领件个数为个.故选：D.7．（2024·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示其次次摸得黑球，则与是（

）A．相互独立事务 B．不相互独立事务C．互斥事务 D．对立事务【答案】A【解析】由题意可得表示其次次摸到的不是黑球,即表示其次次摸到的是白球,由于接受有放回地摸球,故每次是否摸到白球互不影响,故事务与是相互独立事务，由于与可能同时发生，故不是互斥事务也不是对立事务.故选：A.8．（2024·高一课时练习）抛掷两枚硬币，事务A表示“至少一枚正面朝上”，事务B表示“两枚正面都不朝上”，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】记硬币正面对上为正，反面对上为反，抛掷两枚硬币的结果有：(正正)，(正反)，(反正)，(反反)，共4个，事务A有：(正正)，(正反)，(反正)，共3个，事务B有：(反反)，共1个，因此，明显选项A，C，D不满意，B满意.故选：B9．（2024·江西上饶·高三校联考阶段练习）将数据这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】从5个数中随机删去两个数有共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为，故选：C10．（2024秋·河南三门峡·高三统考期末）某市1路、9路公交车的站点均包括育才学校站和舒馨嘉园小区站，1路公交车每10分钟一趟，9路公交车每20分钟一趟，若育才学校的学生小明坐这2趟公交车回居住的舒馨嘉园小区，则他等车不超过5分钟的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，如图所示，试验的全部结果所构成的区域为且，这是一个长方形区域，面积为，事务表示小明等车时间不超过5分钟，所构成的区域为或，即图中的阴影部分，面积为，代入几何概型概率公式，可得.故选：C．11．（2024·河南信阳·高三统考期末）为防控新冠疫情，许多公共场所要求进入的人必需佩戴口罩．现有人在一次外出时须要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本领件列举如下：（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本领件，其中蓝、白口罩同时被选中的基本领件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本领件，所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．故选：A.12．（2024·全国·高三专题练习）一个袋中装有四个形态大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，其可能结果有，，，，，共6个，其中满意编号之和不大于4的有，共2个，所以取出的球的编号之和不大于4的概率故选：二、多选题13．（2024·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形态完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事务A，“其次次取到黄球”为事务，则（

）A． B．为互斥事务C． D．相互独立【答案】AC【解析】正确；可同时发生，即“即第一次取红球，其次次取黄球”，不互斥，错误；在第一次取到红球的条件下，其次次取到黄球的概率为正确；不独立，D错误；故选：AC.14．（2024春·湖南·高三校联考阶段练习）将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（

）A．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为对立事务B．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥但不对立事务C．甲得到卡片的概率为D．甲、乙2人中有人得到卡片的概率为【答案】BCD【解析】事务“甲得到卡片”与“乙得到卡片”不行能同时发生，所以事务“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥事务，随机试验的结果可能是“丙得到卡片”所以事务“甲得到卡片”与“乙得到卡片”有可能都不发生，所以事务“甲得到卡片”与“乙得到卡片”不是对立事务，所以A错误，B正确；随机试验将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片的样本空间含个基本领件，事务甲得到卡片包含基本领件个，所以事务甲得到卡片的概率为，C正确；事务甲、乙2人中有人得到卡片包含的基本领件数为，所以事务甲、乙2人中有人得到卡片的概率为.D正确.故选：BCD.15．（2024春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）甲乙两人打算买一部手机，购买国产手机的概率分别为，，购买白色手机的概率分别为，，若甲乙两人购买哪款手机相互独立，则（

）A．恰有一人购买国产手机的概率为B．两人都没购买白色手机的概率为C．甲购买国产白色手机的概率为D．甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为【答案】AD【解析】由已知，甲乙两人购买哪款手机相互独立，“甲购买国产手机”记为事务，；“乙购买国产手机”记为事务，；“甲购买白色手机”记为事务，；“乙购买白色手机”记为事务，，对于选项A，恰有一人购买国产手机的概率为，故选项A正确；对于选项B，两人都没购买白色手机的概率为，故选项B错误；对于选项C，“甲购买国产白色手机”记为事务，其概率为，故选项C错误；对于选项D，“乙购买国产白色手机”记为事务，其概率为，结合选项C的推断，甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为，（也可以用进行计算），故选项D正确.故选：AD.16．（2024秋·江苏·高三统考期末）连续抛掷一枚骰子2次，记事务A表示“2次结果中正面对上的点数之和为奇数”，事务B表示“2次结果中至少一次正面对上的点数为偶数”，则（

）A．事务A与事务B不互斥 B．事务A与事务B相互独立C． D．【答案】AD【解析】事务可共同发生不互斥，A对．，，即不独立，BC错．，D对，故选：AD．17．（2024春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设A，B是两个随机事务，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由题意，，所以，所以，则A，D错误；，则B错误；，则C正确.故选：ABD.18．（2024·全国·模拟预料）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事务A“这3个球都是红球”，事务B“这3个球中至少有1个红球”，事务C“这3个球中至多有1个红球”，则下列推断错误的是（

）A．事务A发生的概率为 B．事务B发生的概率为C．事务C发生的概率为 D．【答案】ABC【解析】由题意7个球中任取3个球的基本领件总数为：这3个球都是红球的基本领件数为：，所以事务A发生的概率为：，故A错误，这3个球中至少有1个红球的基本领件数为：，所以事务B发生的概率为：，故B错误，这3个球中至多有1个红球的基本领件数为：，事务C发生的概率为,故C错误，因为，所以由条件概率公式得：，故D正确，故选：ABC.19．（2024·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中随意抽取5件，给出以下四个事务：事务A：恰有一件次品；事务B：至少有两件次品；事务C：至少有一件次品；事务D：至多有一件次品．下列选项正确的是（

）A． B．是必定事务C． D．【答案】AB【解析】对于A选项，事务指至少有一件次品，即事务C，故A正确；对于B选项，事务指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了全部状况，故B正确；对于C选项，事务A和B不行能同时发生，即事务，故C错误；对于D选项，事务指恰有一件次品，即事务A，而事务A和C不同，故D错误．故选：AB．20．（2024·全国·高三专题练习）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（

）A．与互斥 B．与互斥C．任何两个都互斥 D．与对立【答案】ABC【解析】由题意可知，三件产品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事务，三件产品全不是次品，即3件产品全是正品，三件产品全是次品，由此知，与互斥，与互斥，故A，B正确，与互斥，由于总事务中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”两个事务，故与不对立，故C正确，D错误，故选：ABC．21．（2024·全国·高三专题练习）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（

）A．个球都是红球的概率为 B．个球中恰有个红球的概率为C．至少有个红球的概率为 D．个球不都是红球的概率为【答案】ABC【解析】记事务为从甲袋中摸出一个红球，事务为从乙袋中摸出一个红球，则，且事务相互独立，对于A，个球都是红球的概率为，所以A正确，对于B，个球中恰有个红球的概率为，所以B正确，对于C，至少有个红球的概率为为，所以C正确，对于D，个球不都是红球的概率为，所以D错误，故选：ABC22．（2024·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（

）A．“都是红球”与“都是白球”是互斥事务B．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事务C．“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事务D．“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事务【答案】AB【解析】“都是红球”与“都是白球”不能同时发生，是互斥事务，A对；“至少有一个红球”与“都是白球”不能同时发生，且必有一个发生，是对立事务，B对；“恰有一个白球”与“恰有一个红球”能够同时发生（如1红1白），不是互斥事务，C错；“至少有一个红球”与“至少有一个白球”能够同时发生（如1红1白），不是互斥事务，D错故选：AB.23．（2024·全国·高三专题练习）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严峻的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（

）A．若从该医院全部患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B．该医院青年患者所占的频率为C．该医院的平均治愈率为28.7%D．该医院的平均治愈率为31.3%【答案】ABC【解析】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；对于B，青年患者所占的频率为，正确；对于C，平均治愈率为，正确；对于D，由C知错误.故选：ABC.24．（2024·全国·高三专题练习）事务与互斥，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为与互斥，所以是必定事务，故，所以A正确，因为与互斥，所以，因此，所以B错误，因为，所以C正确，因为，所以，于是，所以D错误，故选：AC25．（2024·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参与的竞赛中的投篮状况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事务A，投中三分球为事务B，没投中为事务C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】依题意，，，明显事务A，B互斥，，事务B，C互斥，则，于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.故选：ABC三、填空题26．（2024春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）2024年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2024卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮番播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______．【答案】【解析】由图可知：竞赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场．选其中3场的基本领件共有4种，其中季军赛、总决赛被选上的基本领件共有2种，故概率为．故答案为：.27．（2024·陕西榆林·统考一模）自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若从欧拉数的前4位数字中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为__________.【答案】【解析】由题可知，总的事务包括这6种状况，至少有1个偶数被选中的事务包括这5种状况，故所求的概率为.故答案为：28．（2024·江西景德镇·统考模拟预料）由于夏季燥热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电；用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电状况，经随机模拟得到以下30组数据，28

21

79

14

56

74

06

89

53

90

14

57

62

30

9378

63

44

71

28

67

03

53

82

47

23

10

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43依据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________.【答案】【解析】由题意可知恰有一天停电的状况有：28，14，06，90，14，62，30，71，28，03，82，23，共12种，所以连续两天中恰好有一天停电的概率为，故答案为：29．（2024秋·辽宁锦州·高三渤海高校附属高级中学校考期末）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变更规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的才智其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．【答案】【解析】方法1：从24个节气中任选2个节气的事务总数有：，求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事务总数，分两步完成：第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有，其次步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：，所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事务总数有：，所以，．方法2：从24个节气中任选2个节气的事务总数有：，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事务总数有：，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事务总数有：，所以，．故答案为：.30．（2024秋·贵州铜仁·高三统考期末）从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参与社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参与的概率为__________．【答案】【解析】由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参与社区核酸检测工作，共有种选法，假如全是男医生参与，则只有一种选法，此时的概率为，故至少有1名女医生参与的概率为，故答案为：．31．（2024秋·江西吉安·高三统考期末）中国共产党其次十次全国代表大会于2024年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参与宣扬报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________．【答案】【解析】记6名记者分别为：甲，乙，1，2，3，4，从6名记者中任选两人，全部可能的状况：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4，乙1、乙2、乙3、乙4、12、13、14、23、24、34，共15种状况，甲、乙至少有一人被入选有：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4、乙1、乙2、乙3、乙4，共9种状况，所以甲、乙至少有一人被人选的概率为．故答案为：32．（2024秋·河南开封·高三统考期末）在正中，连接三角形三边的中点，将它分成4个小三角形，并将中间的那个小三角形涂成白色后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图形.在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______.【答案】【解析】将中间白色三角形依规律分成4个小白色三角形，则共可分为16个相同的小三角形，白色部分有7个小三角形，黑色部分有9个小三角形，故在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是.故答案为：.33．（2024·上海·统考模拟预料）已知事务A发生的概率为，则它的对立事务发生的概率______________．【答案】【解析】依题意，.故答案为：34．（2024·上海·统考模拟预料）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________．【答案】【解析】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率，故答案为：35．（2024·全国·高三对口高考）依据射击训练后的统计显示：甲射手射中目标的频率是，乙射手射中目标的频率是，且甲、乙两射手的射击是相互独立的．那么当两人同时射击同一个目标时，该