2024八年级数学下册专题11多边形内角和含解析新版浙教版

Page1专题11多边形内角和阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（宣化期末）下列角度不行能是多边形内角和的是（）A．180° B．270° C．360° D．900°【答案】B【规范解答】解：A、180°÷180°＝1，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；B、270°÷180°＝1…90°，不是180°的倍数，故不行能是多边形的内角和；C、360°÷180°＝2，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；D、900÷180＝5，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和．故答案为：B．【思路点拨】利用多边形内角和计算方法计算求解即可。2．（2分）（薛城期末）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A．360° B．540° C．720° D．900°【答案】C【规范解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，∴多边形的边数为3+3＝6．多边形的内角和．故答案为：C．

【思路点拨】先求出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式求解即可。3．（2分）（沈河期末）假如一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么这个多边形的一个外角是（）A．720° B．60° C．36° D．30°【答案】D【规范解答】解：设这个多边形是n边形，依据题意得：（n﹣2）•180°=1800，解得n=12；那么这个多边形的一个外角是360÷12=30°，即这个多边形的一个外角是30°．故本题选：D．【思路点拨】先求出（n﹣2）•180°=1800，再求出n=12，最终计算求解即可。4．（2分）（甘孜期末）平行四边形​中，的度数之比有可能是（）A．​ B．​C．​ D．​【答案】B【规范解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，A、设，∴，解得：，∴，∴，故本选项不符合题意；B、设，∴，解得：，∴，∴，故本选项符合题意；C、设，∴，解得：，∴，∴，故本选项不符合题意；D、设，∴，解得：，∴，∴，故本选项不符合题意；故答案为：B.【思路点拨】依据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠B=∠D，由各个选项中的条件以及内角和求出∩A、∠B、∠C、∠D的度数，据此推断.5．（2分）（晋中期末）如图1，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建立在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图2是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是（）A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形【答案】D【规范解答】解：设正多边形边数为n，依据正多边形外角和定理得45n=360解得：n=8，所以该正多边形是正八边形，故答案为：D．【思路点拨】正多边形外角和等于360°，正多边形的各个外角都相等，利用360°除以外角的度数即得结论.6．（2分）（杭州期末）假如一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是()A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【规范解答】解：依据题意得，，解得故答案为：D.【思路点拨】n边形的内角和公式为(n-2)×180°，n边形的外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.7．（2分）（漳州期末）如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（）A．36° B．48° C．54° D．60°【答案】B【规范解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴，∵△ABF为等边三角形，∴，∴.故答案为：B.【思路点拨】依据内角和公式结合正五边形的性质可得∠BAE的度数，依据等边三角形的性质可得∠FAB的度数，然后依据∠EAF=∠EAB-∠BAF进行计算.8．（2分）（余姚竞赛）如图，小华从点A动身向前走10m，向右转15°，然后接着向前走10m，再向右转15°，他以同样的方法接着走下去，当他第一次回到点A时共走了（）米.A．200米 B．240米 C．280米 D．300米【答案】B【规范解答】解：依据题意得此几何体为正多边形，每个外角为15°，

∴这个多边形的边数为360°÷15=24，

∴当他第一次回到点A时共走了24×10=240m．

故答案为：B.【思路点拨】依据外角相同，边长相同，得出此几何体为正多边形，求出正多边形的边数，共走的米数=10×边数，即可得出答案.9．（2分）在平面上将边长相等的四边形、五边形和六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）

A．32° B．36° C．40° D．42°【答案】D【规范解答】解：由n边形内角和为

∴四边形、五边形和六边形内角和分别为

所以正四边形，正五边形，正六边形每个内角分别为

∴

故答案为：D.

【思路点拨】利用多边形内角和公式，得到四边形、五边形和六边形的内角和，从而得到每个内角的度数，由一周360度，得到结果。10．（2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【规范解答】解：连接AD，如图

由8字型，可以得出∠E+∠F=∠DAF+∠ADE

∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠DAF+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360°

故答案为：C.

【思路点拨】利用8字形，添出帮助线，得出∠E+∠F=∠DAF+∠ADE，再利用等量替换，四边形的内角和为360°，得出结果。阅卷人二、填空题(共10题；每题1分，共10分)得分11．（1分）（阜新期末）如一个正n边形的每个内角是每个外角的3倍，则n=．【答案】8【规范解答】解：设多边形的边数是n，依据题意得（n-2）•180=360×3，解得：n=8．即这个多边形是正八边形．故答案为：8．

【思路点拨】设多边形的边数是n，依据题意列出方程（n-2）•180=360×3，求出n的值即可。12．（1分）（平谷期末）如图，已知，那么的度数为【答案】80°【规范解答】解：依据多边形外角和的性质可得，又∵∴．故答案为：80°．

【思路点拨】利用多边形的外角和求解即可。13．（1分）（甘孜期末）已知一个多边形的内角和再加上一个外角共，则这个多边形的边数是【答案】5【规范解答】解：设多边形的边数是，加的外角为，则（n－2）•180°+=600°，

∴n=5，=60°，即这个多边形的边数是5．故答案为：5.【思路点拨】设多边形的边数是n，加的外角为α，由题意可得(n-2)•180°+α=600°，据此求解.14．（1分）（顺义期末）如图所示的多边形中，依据标出的各内角度数，求出x的值是．【答案】100【规范解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，由题意得，140°+4x°＝540°，解得x＝100．故答案为：100．

【思路点拨】依据题意列出方程140°+4x°＝540°，再求出x的值即可。15．（1分）（南山期末）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D＝．【答案】110°【规范解答】解：如图所示：∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，∴∠5=360°-290°=70°，∴∠CDE=180°-70°=110°，故答案为：110°．【思路点拨】依据题意先求出∠5=360°-290°=70°，再计算求解即可。16．（1分）（宝鸡期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是．【答案】10【规范解答】解：设这个多边形的外角的度数为x，

x+4x=180°，

解之：x=36°，

∴这个多边形的边数为360°÷36°=10.

故答案为：10.【思路点拨】利用一个多边形的外角加商相邻内角的度数等于180°及它的一个内角恰好是一个外角的4倍可求出这个多边形的外角的度数，然后可求出这个正多边形的边数.17．（1分）（娄星期末）已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和是.【答案】1440°【规范解答】解：∵这个正多边形的边数为360°÷36°＝10.∴这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°.故答案为：1440°.【思路点拨】利用外角和360°除以外角的度数可得多边形的边数，然后依据内角和公式(n-2)×180°进行计算.18．（1分）（井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为．【答案】540°【规范解答】解：如图，连接BF，

∵∠AOG=∠BOF，

∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，

在五边形BCDEF中，

∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

故答案为：540°.

【思路点拨】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.19．（1分）如图所示，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P=。【答案】60°【规范解答】解：∵∠A+∠B+∠E=300°

∴∠EDC+∠BCD=540°-（∠A+∠B+∠E）=240°

∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD

∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD

∴∠PDC+∠PCD=∠EDC+∠BCD=（∠EDC+∠BCD）=120°

∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=60°

故答案为：60°

【思路点拨】利用五边形内角和为540°，得出∠EDC+∠BCD=240°，利用角平分线的定义，得出∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，得出∠PDC+∠PCD=120°，再利用三角形内角和为180°，得出结果。20．（1分）（霞山月考）如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=【答案】540【规范解答】解：如图2，连接BE，由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB．∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．故答案为540．【思路点拨】解决本题的关键是做帮助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，解题时要留意，五边形的内角和为540°阅卷人三、解答题(共8题；共70分)得分21．（7分）（定南期中）（1）（3分）如图，已知，求证；（2）（4分）一个多边形的内角和是，求多边形的边数．【答案】（1）证明：，又∵．．（2）解：解得：．故该多边形的边数为8．【思路点拨】（1）利用“SAS”证明即可；

（2）利用多边形的内角和可得，再求出n的值即可。22．（10分）（义乌月考）在△ABC中，∠A＝70°，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合）点P是平面内一动点（P与D、B不在同始终线上），设∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3．（1）（1分）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠2＝；（用含有∠1、∠3的代数式表示）（2）（4分）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠1、∠2、∠3之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）（5分）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，干脆写出对应的∠1、∠2、∠3之间的关系式．【答案】（1）∠1+∠3﹣70°（2）解：结论：∠3＝∠1+∠2﹣70°．如图：依据三角形外角的性质可知，∠4＝∠1﹣70°，∠3＝∠5+∠2，由对顶角可知：∠5＝∠4＝∠1﹣70°，∴∠3＝∠1﹣70°+∠2＝∠1+∠2﹣70°．（3）解：如图①，∴∠1＝∠3﹣70°+∠2＝∠3+∠2﹣70°．∠3＝∠1+∠2+70°．综上：∠1＝∠3+∠2﹣70°或∠3＝∠1+∠2+70°．【规范解答】解：（1）∵∠AEP=180°-∠1，∠ADP=180°-∠3，∠AEP+∠ADP+∠2+∠A=360°，

∴180°-∠1+180°-∠3+∠2+70°=360°，

即∠2=∠1+∠3-70°，

故答案为：∠1+∠3-70°；

【思路点拨】（1）依据∠AEP=180°-∠1，∠ADP=180°-∠3和四边形AEPD的内角和为360°，列式进行化简，即可得出∠3，∠1，∠2之间的关系；

（2）依据三角形外角的性质∠4=∠1-70°，∠3=∠5+∠2，依据对顶角性质得出求出∠5＝∠4＝∠1﹣70°，即可得出∠3，∠1，∠2之间的关系；

（3）画出符合条件的图形，依据图形和（2）的结论解答即可．23．（7分）（遂宁期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．（1）（3分）求六边形ABCDEF的内角和；（2）（4分）求∠BGD的度数．【答案】（1）解：六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°．（2）解：∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°，∴∠BGD＝360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）＝110°．【思路点拨】（1）n边形内角和公式：(n-2)×180°，据此计算；

（2）依据六边形的内角和结合已知条件可得∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°，然后依据四边形内角和为360°进行计算.24．（10分）（府谷期末）如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，交于点.（1）（5分）求证：点在的垂直平分线上；（2）（5分）若，

①求的度数；(用含的式子表示)

②当时，求的度数.【答案】（1）证明：在△ABC中，∠C=90°，

∴∠B=90°-∠A，

∵DE⊥PD，

∴∠PDE=90°，

∴∠EDB=90°-∠PDA，

∵PD=PA，

∴∠A=∠PDA，

∴∠B=∠EDB，

∴ED=EB，

∴点E在BD的垂直平分线上；（2）①由题可知∠PDE=∠C=90°，

∵四边形CPDE的内角和为360°，

∴∠CPD+∠CED=180°，

∵∠DEB+∠CED=180°，

∴∠CPD=∠DEB=α；

②当α=110°，由①得∠CPD=110°，

∵PA=PD，

∴∠A=∠ADP=∠CPD=55°.【思路点拨】（1）先依据直角三角形两个锐角互余得出∠B=90°-∠A，再依据DE⊥PD，得∠EDB=90°-∠PDA，依据PD=PA，再通过等量代换证明ED=EB，即可证点E在BD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上）；

（2）①通过（1）可知∠PDE=∠C=90°，结合四边形内角和为360°，求出∠CPD+∠CED=180°，结合同角的补角相等可证∠CPD=∠DEB=α；②由①得∠CPD=110°，依据三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）和等腰三角形的性质（等边对等角）可求出∠A=∠ADP=∠CPD=55°.25．（5分）（铁锋期中）已知一个多边形的内角和为，请求出这个多边形的边数并干脆写出这个多边形对角线的总条数．【答案】解：设多边形的边数为n（），依据题意，得，解得．则这个多边形的对角线条数为，=27（条）．答：这个多边形是九边形，对角线的总条数为27．【思路点拨】设多边形的边数为n（），依据多边形内角和公式求解即可得出边数，由此得解。26．（5分）（东海期末）如图，是四边形ABCD的外角，已知．求证：【答案】证明：是四边形ABCD的外角，，∵四边形的内角和为【思路点拨】依据邻补角的性质，结合，得出，依据四边形的内角和为360°，列式计算，即可解答.27．（13分）（台州月考）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）（4分）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）（4分）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；（3）（5分）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请干脆写出∠A、∠C与∠O的数量关系．【答案】（1）解：结论：

∵∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，

∠1=180°-∠ADC，∠2=180°-∠ABC，

∴∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，

∴∠1+∠2=∠A+∠C.（2）解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，

∴∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，

∴∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），

∵∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO）=360°-∠A-∠C=360°-58°-152°=150°，

∴∠CDO+∠CBO=75°，

∴∠BOD=360°-（∠CDO+∠CBO+∠C）=360°-（75°+152°）=133°（3）2∠O=∠C-∠A【规范解答】解：（3）结论：2∠O=∠C-∠A

理由如下：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C，

∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线，

∴∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，

∴∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，

∴360°-∠A-∠C=360°-2∠ODC-2∠OBC即∠A+∠C=2∠ODC+2∠OBC，

∴∠ODC+∠OBC=（∠A+∠C）；

在四边形ADOB中∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，

∴∠A+360°-∠A-∠C+（∠A+∠C）+∠O=360°，

∴-∠C+（∠A+∠C）+∠O=0，

∴2∠O=∠C-∠A

【思路点拨】（1）利用四边形的内角和为360°，可得到∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，利用平角的定义去证明∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，由此可得到∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系.（2）利用角平分线的性质可知∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，可推出∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），利用四边形的内角和定理可求出∠CDO+∠CBO的值；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠BOD的度数.

（3）在四边形ABCD中，利用四边形的内角和为360°，可证得∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C；利用角平分线的定义可推出∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，利用平角的定义可证得∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，再代入可推出∠ODC+∠OBC=（∠A+∠C）；再在四边形ADOB中可得到∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，然后整体代入，可证得∠A、∠C与∠O的数量关系.28．（