浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一数学上学期期中联考试题含解析

Page17高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．全部答案必需写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再求补集可得答案.【详解】集合，则.故选：A.2.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的推断方法推断即可.【详解】当时，取，明显无意义，故不成立，则充分性不成立；当时，，则，所以，则必要性成立；综上：“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可．【详解】命题为假命题，所以为真命题，则，解得故选：D4.已知，，且，下列结论中错误的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是【答案】B【解析】【分析】依据基本不等式推断各选项即可.【详解】对于A，由，，且，由，当且仅当时，等号成立，所以，解得，即的最大值为，故A正确；对于B，由，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，故B错误；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，故C正确；对于D，由，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是，故D正确.故选：B.5.设是函数的一个减区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据图象的翻折变换作出函数图象，视察图象可得.【详解】函数，先作函数的图象，如图：依据函数图象的翻折变换可得的图象如图：由图可知，当时，是函数的一个减区间，所以，实数的取值范围为.故选：A6.已知函数是偶函数，是奇函数，满意，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依据奇偶性求得函数，然后再代入计算函数值．【详解】，则，又函数是偶函数，是奇函数，则，所以，，故选：B．7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据指数函数和幂函数的单调性即可比较.【详解】在为增函数，，即，为减函数，，即，，故选：C.【点睛】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.8.已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A.奇函数且在上单调递增 B.偶函数且在上单调递减C.非奇非偶函数且在上单调递增 D.非奇非偶函数且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】依据已知求出a=，从而函数f（x）=，由此得到函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．【详解】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），

∴2a=，解得a=，

∴函数f（x）=，

∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．

故选C．【点睛】本题考查命题真假的推断，考查幂函数的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.下列各组函数中是同一函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BC【解析】【分析】逐一推断定义域和对应关系即可.【详解】A选项：由得的定义域为，由解得的定义域为，A错误；B选项：由得的定义域为，由解得的定义域为，且，故B正确；C选项：和的定义域都是R，，对应关系相同，故C正确；D选项：对应关系不同，故D错误.故选：BC10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或【答案】ACD【解析】【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；易知，和是方程的两个实数根，由韦达定理可得，则；所以不等式即为，解得，所以B错误；易知，所以C正确；不等式即为，也即，解得或，所以D正确.故选：ACD11.假如函数在上是增函数，对于随意的，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依据函数单调性的等价条件进行推断即可．【详解】由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为的大小关系无法推断，则的大小关系确定也无法推断，故C，D不正确.故选：AB【点睛】结论点睛：若函数在上是增函数，对于随意的，则有（或者）；若函数在上是减函数，对于随意的，则有（或者）；12.形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（）A.4 B.12 C. D.【答案】AD【解析】【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种状况探讨，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，若，即时在上单调递增，所以，，所以，解得；若，即时在上单调递减，所以，，所以，解得（舍去）；当，即时在上单调递减，在上单调递增，所以，，若且，即，，所以，解得或（舍去）；若且，即，，所以，解得或（舍去）；综上可得或.

故选：AD非选择题部分三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.______．【答案】【解析】【分析】依据幂的运算法则计算．【详解】，故答案为：．14.集合的子集个数是______．【答案】32【解析】【分析】确定出集合中元素个数，由子集的概念可得．【详解】由已知，有5个元素，它子集个数为．故答案为：32.15.若函数在区间上既有最小值又有最大值，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当，探讨函数单调性，当时，利用函数图象分析可得.【详解】当时，在上，对称轴为，所以，函数在上单调递增，所以有最大值，无最小值；当时，在上，在上单调递增，所以有最大值，无最小值；当时，，函数图象如图所示，在和上单调递增，在上单调递减，要使在上既有最小值又有最大值，则，即实数的取值范围为.故答案为：16.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对随意的，不等式恒成立，则实数的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】由奇偶性求得的解析式，从而可得，然后由函数的单调性求解不等式．详解】由已知时，，即，所以在R上是增函数，且，不等式化为，所以，，所以，在时恒成立，，，所以的最小值是，故答案为：．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，．（1）当时，求，；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1），.（2）.【解析】【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后由集合的运算可得；（2）依据集合的包含关系可解.【小问1详解】由解得，当时，，故，.【小问2详解】由题知，（ⅰ）当，即时，符合题意；（ⅱ）当，即时，，因为，所以，解得，所以．综上所述，实数m的取值范围为.18.已知命题，命题.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果；（2）依据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果.【小问1详解】若命题为假命题，则命题为真命题，即在恒成立，所以，即实数的取值范围是.【小问2详解】当命题为真命题时，因为，所以，解得或，因为为真命题，则，又由（1）可知，命题为真命题时，所以且，即实数的取值范围是.19.已知二次函数．（1）记的最小值为，求的解析式；（2）记的最大值为，求的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，分类探讨单调性和最小值，求出，最终写成分段函数的形式即可；（2）结合二次函数的图像和性质，分类探讨函数最大值，求出，最终写成分段函数的形式即可．【小问1详解】二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线，（）当，即时，此时在区间上单调递增，所以的最小值；（）当，即时，此时在区间上单调递减，所以的最小值；（）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时的最小值；综上所述，.【小问2详解】二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线，（）当，即时，右端点距离对称性较远，此时的最大值；（）当，即时，左端点距离对称轴较远，此时的最大值；综上所述，.20.（1）已知正数满意，求的最小值；（2）已知正数满意，求的最小值．【答案】（1）25；（2）.【解析】【分析】（1）（2）妙用“1”求解即可.【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为25.（2）因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为.21.“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业主动响应习总书记的号召，接受某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？（2）该市政府也主动支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？假如获利，恳求出最大利润；假如不获利，则该市政府至少须要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？【答案】（1）500（2）不能获利，该市政府须要补贴元【解析】【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】由题意，，所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，当且仅当，即时，等号成立，所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.【小问2详解】设该企业每月的利润为，则，因为，所以当时，函数取得最大值，即，所以该企业每月不能获利，该市政府至少须要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损.22.已知函数是定义域上的奇函数，且．（1）推断并用定义证明函数在上的单调性；（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若对，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后依据定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.【小问1详解】由，且是奇函数，得，于是，解得，即．经检验，是