高考数学大题精做专题05立体几何中最值问题(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题05立体几何中最值问题类型对应典例利用侧面展开图求最值典例1利用目标函数求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.（1）求三棱锥体积的最大值；（2）若，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，求的最小值.【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（2）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．（I）证明：AD∥平面EFGH；（II）设AB=2AA1="2"a.在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点．记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.【针对训练】1.【广东省佛山市第一中学2020届月考】如图，正方体的棱长为，分别为上的点，且．（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？（2）求异面直线与所成的角的取值范围．2．【安徽省安庆市2020届模拟】如图，△内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，平面，.（1）求证：⊥平面；（2）设，表示三棱锥的体积，求函数的解析式及最大值.3．【浙江省金华市十校2020届模拟】如图，在三棱锥中，，，，，直线与平面成角，为的中点，，.（Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.4．【北京市城六区2019届高三模拟】已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：(I)证明：平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题05立体几何中最值问题类型对应典例利用侧面展开图求最值典例1利用目标函数求最值典例2利用基本不等式求最值典例3【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.（1）求三棱锥体积的最大值；（2）若，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，求的最小值.【思路引导】（1）三棱锥的高为定值，要根据三棱锥体积公式可知，要使得体积最大，就要底面积最大，又因为边为定值，故当到的距离取得最大值时，底面积最大，故此时棱锥的体积最大；（2）反向延长至，使得三点共线，三点共线时，距离最短，则为最小值.【详解】（1）三棱锥高，，点到的最大值为底面圆的半径，则三棱锥体积的最大值等于.（2）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上，连接，与的交点为，此时最小，为；由，，且易知，由勾股定理知，因为，所以，则，；，则是边长为4的等边三角形，故，所以的最小值等于4.【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（2）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．【思路引导】（1）由平面，，可得，进而由面面垂直的性质定理得到平面，进而建立空间坐标系，可得的解析式，根据二次函数的性质，易求出有最大值；（2）根据（1）的结论平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.解：（1）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）∵AD∥面BFC，所以VA-BFC＝，即时有最大值为．（2）设平面DBF的法向量为，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,则，即，取x＝3，则y＝2，z＝1，∴面BCF的一个法向量为则cos<>=.由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．（I）证明：AD∥平面EFGH；（II）设AB=2AA1="2"a.在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点．记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.【思路引导】解法一：（I）证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD￠平面EFGHEH平面EFGH∴AD//平面EFGH.（II）设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b，几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2EB1·B1F）·B1C1=b/2·EB­1·B1F∵EB12+B1F2=a2∴EB12+B1F2≤（EB12+B1F2）/2=a2/2,当且仅当EB­1=B1F=a时等号成立从而V1≤a2b/4.故p=1-V1/V≥=解法二：（I）同解法一（II）设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b，几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2EB­1·B1F）·B1C1=b/2EB­1·B1F设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB­1="a"cosθ，B1F="a"sinθ故EB­1·B1F=a2sinθcosθ=，当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立.从而∴p=1-V1/V≥=，当且仅当sin2θ=1即θ=45°时等号成立.所以，p的最小值等于7/8【针对训练】1.【广东省佛山市第一中学2020届月考】如图，正方体的棱长为，分别为上的点，且．（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？（2）求异面直线与所成的角的取值范围．【思路引导】（1）首先得到体积函数，然后利用均值不等式确定取得最值时x的值即可；（2）首先作出异面直线与所成的角，然后结合余弦定理求得角的余弦值取值范围，最后利用余弦值的范围确定异面直线与所成的角的取值范围.【详解】（1），当时，三棱锥的体积最大．（2）在AD上取点H使AH＝BF＝AE，则，，，所以（或补角）是异面直线与所成的角在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△HAE中，，在△中，因为，所以，，，2．【安徽省安庆市2020届模拟】如图，△内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，平面，.（1）求证：⊥平面；（2）设，表示三棱锥的体积，求函数的解析式及最大值.【思路引导】（1）要证（1）要证平面，需证平面，需证,用综合法书写即可．（2）由（1）可知平面，所以体积为,，利用均值不等式求解最大值．详解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形,∴CD∥BE,BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C.∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中,AB=2,EB=3√.在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=4−x2−−−−−√(0<x<2).∴S△ABC=12AC⋅BC=12x⋅4−x2−−−−−√，∴V(x)=VE−ABC=3√6x⋅4−x2−−−−−√,(0<x<2).∵x2(4−x2)⩽(x2+4−x22)2=4,当且仅当x2=4−x2,即x=2√时，取等号，∴x=2√时,体积有最大值为3√3.3．【浙江省金华市十校2020届模拟】如图，在三棱锥中，，，，，直线与平面成角，为的中点，，.（Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【思路引导】由题意可得直线与平面所成角是，即.设，则，，由余弦定理得或.（Ⅰ）若，则，由勾股定理可得，又，据此可得平面，平面平面.（Ⅱ）若，则，故，，设是到面的距离，是到面的距离，则，由等体积法可得，.设直线与平面所成角为，则，据此可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.试题解析：∵，，为的中点，∴，，∴平面，∴直线与平面所成角是，.设，则，，由余弦定理得或.（Ⅰ）若，则，∴在中.∴，又，，∴平面，∴平面平面.（Ⅱ）若，∴，∵，∴，，设是到面的距离，是到面的距离，则，由等体积法：，∴，∴.设直线与平面所成角为，则.∵，∴.∴故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.4．【北京市城六区2019届高三模拟】已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：(I)证明：平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．【思路引导】第一问取中点，根据等腰三角形的性质求得，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设的中点为，连接，.由题意，，因为在中，，为的中点所以，因为在中，，，所以因为，平面所以平面因为平面所以平面平面方法2：设的中点为，连接，.因为在中，，为的中点所以，因为