高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题12奇偶性问题(原卷版+解析)

微专题12奇偶性问题【方法技巧与总结】方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【题型归纳目录】题型一：函数奇偶性的判断题型二：求函数值与解析式题型三：已知奇偶性求参数题型四：利用性质解决不等式问题题型五：性质的综合运用【典型例题】题型一：函数奇偶性的判断例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数例3．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数例4．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数例5．(2023·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．例6．(2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．题型二：求函数值与解析式例7．(2023·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．例8．(2023·全国·高一单元测试）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．例10．(2023·全国·高一期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.例11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．题型三：已知奇偶性求参数例12．(2023·全国·高一单元测试）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．例14．(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.例15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上为奇函数，则___________.例16．(2023·广西·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则a＝______．题型四：利用性质解决不等式问题例17．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．例19．(2023·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.例20．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．例21．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．例22．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．题型五：性质的综合运用例23．(2023·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．例24．(2023·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：①是偶函数；②是奇函数；③在上是增函数；④在上是减函数．则正确结论的序号是________．例25．(2023·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.例26．(2023·全国·高一单元测试）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.例27．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；(2)求函数，的解析式；(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．例28．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；(2)请利用函数的对称性的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）例29．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n．例30．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，且满足：①当时，；②，．则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．【过关测试】一、单选题1．(2023·北京·中国农业大学附属中学高一期中）某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根2．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．20244．(2023·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（

）A． B．C． D．5．(2023·全国·高一单元测试）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．16．(2023·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．或7．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·高一单元测试）下列图象中，不可能是的图象的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，其中，下列结论正确的是（

）A．存在实数a，使得函数为奇函数B．存在实数a，使得函数为偶函数C．当时，的单调增区间为，D．当时，的单调减区间为10．(2023·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（

）A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数C． D．11．(2023·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．对任意，都有12．(2023·全国·高一期中）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（

）A． B． C．是奇函数 D．若，则三、填空题13．(2023·云南红河·高一期末）设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.15．(2023·全国·高一课时练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.16．(2023·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m的取值范围是____________．四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）设函数，．(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若是偶函数，求实数a的值．(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．18．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数．(1)若，判断的奇偶性并加以证明．(2)当时，先用定义法证明函数f（x）在[1，）上单调递增，再求函数在[1，）上的最小值．(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；(3)求函数在区间上的最小值．20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．21．(2023·全国·高一课时练习）已知______，且函数.①函数在定义域上为偶函数；②函数在上的值域为.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.微专题12奇偶性问题【方法技巧与总结】方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【题型归纳目录】题型一：函数奇偶性的判断题型二：求函数值与解析式题型三：已知奇偶性求参数题型四：利用性质解决不等式问题题型五：性质的综合运用【典型例题】题型一：函数奇偶性的判断例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；故选：C例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数答案：B【解析】由已知的定义域为R，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以为偶函数，又，，又，所以，所以不为奇函数，故选：B．例3．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数答案：ABC【解析】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；对于C选项，设，则，所以为偶函数，故C正确；对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.故选：ABC.例4．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数答案：BC【解析】对于A，由且，得，则的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A错误;对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，，当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;对于C，由且，得，即，的定义域关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;对于D，由且，得且x≠0，的定义域关于原点对称，因为，，所以函数为奇函数，故D错误.故选:BC.例5．(2023·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.（1）的定义域是，关于原点对称，又，所以是奇函数．（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．（3）因为的定义域为，所以，则既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）

因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．①当x＞1时，，所以；②当时，；③当时，，所以．综上，可知函数为偶函数．方法二（图象法）

作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．例6．(2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．【解析】证明：函数的定义域为，关于原点对称，因为函数对任意，都有，令，则，得，令，则，所以，即，所以为奇函数．题型二：求函数值与解析式例7．(2023·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．答案：【解析】当时，则，因为当时，，且是定义在上的奇函数，所以，即，故时，的解析式为.故答案为：.例8．(2023·全国·高一单元测试）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．答案：【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．【解析】解析：以代替条件等式中的，则有，又，分别是上的奇函数和偶函数，故．又，联立可得，．例10．(2023·全国·高一期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【解析】（1）的图象关于原点对称，是奇函数，．又的定义域为，，解得．设，则，当时，，，所以；（2）由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；例11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，故，故当x＞0时，．（2）由，得，故或．如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，故不等式的解集为．题型三：已知奇偶性求参数例12．(2023·全国·高一单元测试）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.答案：1【解析】若是奇函数，则有.当时，，则，又当时，，所以，由，得，解得a=1.故答案为：1.例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．答案：2【解析】当时，，，又为奇函数，，而当时，，所以．故答案为：2例14．(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.答案：【解析】由题意，函数在上为偶函数，所以，解得，又由的图象关于轴对称，可得，可得，可得的最大值为，即，所以.故答案为：.例15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上为奇函数，则___________.答案：【解析】因为函数在上为奇函数，所以，得，又，即，即恒成立，所以，所以.故答案为：.例16．(2023·广西·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则a＝______．答案：1【解析】函数是偶函数，则，即，解之得经检验符合题意.故答案为：1题型四：利用性质解决不等式问题例17．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．答案：【解析】由题意，的定义域为，所以的定义域为，则，解得．又是上的减函数，所以奇函数在上单调递减．由，得，所以，即，解得．综上，．故答案为：．例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．答案：【解析】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．故答案为：.例19．(2023·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.答案：或【解析】因为为奇函数，且在上是增函数，，所以，且在上也是增函数，因为，即或，∴或，即或，所所以不等式的解集为或.故答案为：或.例20．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．答案：【解析】因为奇函数在单调递减，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，则等价于，解得，故答案为：例21．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，在上单调递减，又为偶函数，，，，解得：或，的解集为.故选：D.例22．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A题型五：性质的综合运用例23．(2023·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．答案：－6【解析】因为函数是定义在上的偶函数，故，即，则解得，所以，，所以，，则，故答案为：-6例24．(2023·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：①是偶函数；②是奇函数；③在上是增函数；④在上是减函数．则正确结论的序号是________．答案：①③【解析】先探究函数的奇偶性：∵对任意，都有：∴令，有，即；令，有，即，解得；∴令，有，即，∴为偶函数．故①正确，②错误；再探究函数在上上的单调性：令，则；∵

，且当时，，∴

，∴

，即函数在上单调递增，故③正确，④错误；故答案为：①③．例25．(2023·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.答案：1【解析】由题意知，（），设，则，因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以.故答案为：1例26．(2023·全国·高一单元测试）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1].∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.由已知条件得.又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.（2）∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，∴m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.设g(a)＝－2ma＋m2.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.例27．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出函数，剩余部分的图象，并根据图象写出函数，的单调增区间；(2)求函数，的解析式；(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】（1）剩余的图象如图所示，有图可知，函数的单调增区间为；（2）因为当时，，所以当时，则，有，由为奇函数，得，即当时，，又，所以函数的解析式为；（3）由(2)得，，作出函数与图象，如图，由图可知，当时，函数与图象有3个交点，即方程有3个不等的实根.所以m的取值范围为.例28．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；(2)请利用函数的对称性的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，所以，即，所以，即，整理得，（对函数定义域内的任意都成立），所以，解得，所以函数的图象的对称中心为；（2）由（1）知函数图象的对称中心为，所以，则，又，所以；（3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是.例29．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n．【解析】如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，由图知，当x∈时，f(x)min＝f(1)＝－1，又，f(4)＝5，所以f(x)max＝f(4)＝5，又f(x)为奇函数，所以当x∈时，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5．所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4．例30．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，且满足：①当时，；②，．则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．答案：

奇

减【解析】，令，则，所以，令，则，又因为的定义域关于原点对称，所以为奇函数；任取，且，则因为，所以，，所以，所以，，所以，所以，由条件①得，所以，所以在上是减函数，又为奇函数，所以在上是减函数．【过关测试】一、单选题1．(2023·北京·中国农业大学附属中学高一期中）某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根答案：D【解析】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，对于B，当时，，由对勾函数性质知，而是偶函数，的值域是，故B错误，对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，对于D，当时，，即，解得，故D正确，故选：D2．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和答案：C【解析】由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C3．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．2024答案：B【解析】函数，令，因为，所以为奇函数，又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，所以的最大值为，最小值为，所以，则t＝506．故选：B4．(2023·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（

）A． B．C． D．答案：B【解析】依题意，，，，即，所以函数在上单调递增．又，，所以函数是R上的偶函数，所以,则有，所以，故选：B．5．(2023·全国·高一单元测试）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．1答案：A【解析】由函数为奇函数，可得，所以，所以，化简得恒成立，所以，即,经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；故选:A．6．(2023·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．或答案：B【解析】因为是偶函数且在上单调递增，，故，所以当或时，，当时，．所以等价于或，解得或，所以不等式的解集为，故选：B．7．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵是偶函数，，故可变形为，∵在区间上单调递减，故.故选：C.8．(2023·全国·高一单元测试）下列图象中，不可能是的图象的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误；当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误；当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误.故选：B.二、多选题9．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，其中，下列结论正确的是（

）A．存在实数a，使得函数为奇函数B．存在实数a，使得函数为偶函数C．当时，的单调增区间为，D．当时，的单调减区间为答案：AC【解析】由，显然当a＝0时有，但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数，不存在实数a，使得函数为偶函数.所以选项A正确，选项B错误；，当时，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确；同理可得，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项D错误.故选：AC.10．(2023·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（

）A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数C． D．答案：AD【解析】因为为偶函数，且函数在上为增函数，所以的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，所以A正确，B不正确；因为的图象关于直线x＝－1对称，，所以C不正确；因为的图象关于直线x＝－1对称，所以，，又在上为增函数，所以，即，所以D正确.故选：AD.11．(2023·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．对任意，都有答案：BCD【解析】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；代入1得，且所以，故B正确故选：BCD12．(2023·全国·高一期中）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（

）A． B． C．是奇函数 D．若，则答案：ACD【解析】令，则，故A正确；令，则，则，故B错误；令，则，所以，又令，则，所以是奇函数，故C正确；令，则，所以，故D正确；故选：ACD三、填空题13．(2023·云南红河·高一期末）设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．答案：【解析】因为是偶函数，所以等价于，又在上单调递减，所以在上单调递增．由得，或，又，所以，由得，由得，故解集为.故答案为：.14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.答案：【解析】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；，且，不妨取，因为，所以