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专题二十六等差数列思维导图知识要点知识要点1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*),d为常数.当d=0时,该数列为常数列.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1){an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.若等差数列{an}的第m项为am,公差是d,则其第n项an可以表示为an=am+(n-m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn==na1+d.3.等差数列及前n项和的性质(1)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=.(2)若{an}为等差数列,当m+n=p+q时,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.典例解析典例解析【例1】在等差数列{an}中,a1=5,a3=-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-28,求k的值.【变式训练1】在等差数列{an}中,已知a4=9,a9=-6,Sn=63,求n.【例2】(1)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10等于()A.85B.135C.95D.23(2)在等差数列{an}中,已知S3=15,S5=40,Sn=126,则n=_______.【变式训练2】设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则()A.1B.-1C.2D.【例3】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于()A.-6B.-4C.-2D.2(2)在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为________;【例3】(3)在等差数列{an}中,若共有n项,且前四项之和为21,后四项之和为67,前n项和Sn=286,则n=________;(4)已知等差数列{an}共10项,其中奇数项之和为65,偶数项之和为125,则a1=________,公差d=________.【变式训练3】(1)等差数列{an}中,a2=9,a5=33,则{an}的公差为________.(2)数列{an}是等差数列,a4=7,则S7=________.(3)已知数列{an}的通项为an=25-2n,若要使此数列的前n项和最大,则n的值为________.【例4】成等差数列的四个数的和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数【变式训练4】在等差数列{an}中,a5=0.3,a12=3.1,求a18+a19+a20+a21+a22的值.高考链接高考链接1.(四川省2015年对口升学考试试题)如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=6,那么a1+a7=()A.2B.4C.6D.82.(四川省2016年对口升学考试试题)已知等差数列{an}中a1=2,且a1a2=a4.求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.3.(四川省2017年对口升学考试试题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=1,S3=9,求数列{an}的通项公式.4.(四川省2019年对口升学考试试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=2a4,S9=108,求数列{an}的通项公式an.同步精练同步精练选择题1.在等差数列{an}中,已知a1=3,a9=35,则d等于()A.2B.3C.4D.52.在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于()A.21B.30C.35D.403.在等差数列{an}中,已知d=,a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100等于()A.20B.85C.145D.154.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若则=()A.B.C.D.5.若x≠y且两个数列x,a1,a2,y和b1,x,b2,y各成等差数列,那么等于()A.B.C.D.填空题6.等差数列的前n项和为Sn,S10=20,S20=50.则S30=________.7.等差数列{an}中,a3-a7+a11=10,则S13=________.8.log64与log69的等差中项是_______.9.三个数成等差数列,其和为18,平方和为110,则这三个数是.10.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于_______.解答题11.在-3与25之间插入6个数,使它们与这两个数成等差数列,写出所成的等差数列.12.已知等差数列{an}中,a1=2,a1a2=a4.求数列{an}的通项公式及前n项和Sn13.在数列{an}中,已知-=an+1+an,其中an>0,n∈N*,Sn为前n项和(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若a1=1,求an与Sn的值.14.{an}为等差数列,a4=-20,a16=16,求|a1|+|a2|+…+|a20|.专题二十六等差数列思维导图知识要点知识要点1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*),d为常数.当d=0时,该数列为常数列.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1){an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.若等差数列{an}的第m项为am,公差是d,则其第n项an可以表示为an=am+(n-m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn==na1+d.3.等差数列及前n项和的性质(1)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=.(2)若{an}为等差数列,当m+n=p+q时,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.典例解析典例解析【例1】在等差数列{an}中,a1=5,a3=-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-28,求k的值.答案:解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=5,a3=-1,可得5+2d=-1.解得d=-3.∴an=5+(n-1)×(-3)=8-3n.(2)由(1)可知an=8-3n.∴Sn=由Sk=-28,可得=-28,即3k2-13k-56=0,解得k=7或k=,又k∈N*,故k=7即为所求.【思路点拨】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知道其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.【变式训练1】在等差数列{an}中,已知a4=9,a9=-6,Sn=63,求n.解:设首项为a1,公差为d,则解得∴Sn=18n-n(n-1)=63,得n=6或n=7.【例2】(1)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10等于(C)A.85B.135C.95D.23(2)在等差数列{an}中,已知S3=15,S5=40,Sn=126,则n=___9_____.【思路点拨】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则解得∴S10=10×(-4)+×3=95.(2)S3==3a2=15,∴a2=5,∵S5==5a3=40,∴a3=8.则公差d=a3-a2=8-5=3.又∵Sn=na1+d=126∴n=9或n=(舍去).【变式训练2】设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则(A)A.1B.-1C.2D.【提示】【例3】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于(A)A.-6B.-4C.-2D.2(2)在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为___210_____;【思路点拨】(1)S8=4a3⇒=4a3⇒a3+a6=a3,∴a6=0,∴d=-2,∴a9=a7+2d=-2+2×(-2)=-6.(2)记数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列前n项和的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,则2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m),又Sm=30,S2m=100,S2m-Sm=100-30=70,∴S3m-S2m=2(S2m-Sm)-Sm=110,故S3m=S2m+110=100+110=210.【例3】(3)在等差数列{an}中,若共有n项,且前四项之和为21,后四项之和为67,前n项和Sn=286,则n=____26____;(4)已知等差数列{an}共10项,其中奇数项之和为65,偶数项之和为125,则a1=____-35____,公差d=____12____.【思路点拨】(3)依题意知a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67.由等差数列的性质知a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,∴4(a1+an)=88,∴a1+an=22.又Sn=,即286=,故n=26.(4)∵{an}为等差数列,且n=10,∴S偶-S奇=5d,∴d=12,又S10=10a1+×12=190.∴a1=-35.【点评】巧妙运用等差数列的性质,可化繁为简;若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.∴a1=-35.【变式训练3】(1)等差数列{an}中,a2=9,a5=33,则{an}的公差为____8____.(2)数列{an}是等差数列,a4=7,则S7=___49_____.(3)已知数列{an}的通项为an=25-2n,若要使此数列的前n项和最大,则n的值为___12_____.【提示】(1)=d=8.【提示】(2)S7=(a1+a7)=7a4=49.【提示】(3)an=25-2n>0,得n<12.5,又∵n为整数,∴n=12.【例4】成等差数列的四个数的和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数答案:解:设四数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则4a=26,a1-d2=40,即a=,d=或d=当d=时,四数为2,5,8,11;当d=时,四个数为11,8,5,2.【思路点拨】解此题的常规方法是利用已知条件,先求出首项和公差,进而求出这四个数.其实,因为这里成等差数列的四个数之和已知,故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样求解更为方便,但必须注意这时的公差为2d.【变式训练4】在等差数列{an}中,a5=0.3,a12=3.1,求a18+a19+a20+a21+a22的值.解:∵a12-a5=7d=2.8,d=0.4,a20=a12+8d=3.1+3.2=6.3,∴a18+a19+a20+a21+a22=5a20=6.3×5=31.5.高考链接高考链接1.(四川省2015年对口升学考试试题)如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=6,那么a1+a7=(B)A.2B.4C.6D.8【提示】令a3+a4+a5=3a4,又a4+a4=a1+a7=4.2.(四川省2016年对口升学考试试题)已知等差数列{an}中a1=2,且a1a2=a4.求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.解:等差数列a1=2,a1a2=a4,∵2(2+d)=2+3d,d=2,∴an=a1+(n-1)d=2n.Sn=na1+=n2+n.3.(四川省2017年对口升学考试试题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=1,S3=9,求数列{an}的通项公式.解:由题意a1+2d=1,3a1+3d=9,解得a1=5,d=-2,an=5+(-2)(n-1)=7-2n.4.(四川省2019年对口升学考试试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=2a4,S9=108,求数列{an}的通项公式an.解:∵a5=2a4,a1+4d=2(a1+3d),S9=9a1+=108,解得a1=-12,d=6,an=a1+(n-1)d=-12+(n-1)×6.∴an=6n-18.同步精练同步精练选择题一、选择题1.在等差数列{an}中,已知a1=3,a9=35,则d等于(C)A.2B.3C.4D.52.在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于(C)A.21B.30C.35D.40【提示】由题意得3a6=15,a6=5.∴a3+a4+…+a9=7a6=7×5=35.3.在等差数列{an}中,已知d=,a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+…+a100等于(C)A.20B.85C.145D.15【提示】在等差数列{an}中,a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+50d=85.4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若则=(A)A.B.C.D.【提示】由等差数列的求和公式可得,可得a1=2d且d≠0,∴5.若x≠y且两个数列x,a1,a2,y和b1,x,b2,y各成等差数列,那么等于(A)A.B.C.D.【提示】(y-x)=a2-a1,y-x=b2-b1.填空题6.等差数列的前n项和为Sn,S10=20,S20=50.则S30=___90_____.【提示】∵等差数列的片断数列和依次成等差数列,即S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,∴2(S20-S10)=(S30-S20)+S10,解得S30=90.7.等差数列{an}中,a3-a7+a11=10,则S13=____130____.【提示】2a7=a3+a11,a7=10,S13=13a7=130.8.log64与log69的等差中项是___1_____.【提示】9.三个数成等差数列,其和为18,平方和为110,则这三个数是5,6,7或7,6,5.【提示】设三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=18,解得a=6,(6-d)2+36+(6+d)2=110解得d=1或者d=-1.所以三个数为5,6,7或7,6,5.10.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于___6_____.【提示】∵∴解答题11.在-3与25之间插入6
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