中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十六等差数列(原卷版+解析)

专题二十六等差数列思维导图知识要点知识要点1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．当d＝0时，该数列为常数列．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1){an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.若等差数列{an}的第m项为am，公差是d，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.(2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q时，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.典例解析典例解析【例1】在等差数列{an}中，a1＝5，a3＝－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－28，求k的值．【变式训练1】在等差数列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n.【例2】(1)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10等于()A．85B．135C．95D．23(2)在等差数列{an}中，已知S3＝15，S5＝40，Sn＝126，则n＝_______.【变式训练2】设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则()A．1B．－1C．2D.【例3】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于()A．－6B．－4C．－2D．2(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________；【例3】(3)在等差数列{an}中，若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，则n＝________；(4)已知等差数列{an}共10项，其中奇数项之和为65，偶数项之和为125，则a1＝________，公差d＝________.【变式训练3】(1)等差数列{an}中，a2＝9，a5＝33，则{an}的公差为________．(2)数列{an}是等差数列，a4＝7，则S7＝________.(3)已知数列{an}的通项为an＝25－2n，若要使此数列的前n项和最大，则n的值为________．【例4】成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数【变式训练4】在等差数列{an}中，a5＝0.3，a12＝3.1，求a18＋a19＋a20＋a21＋a22的值．高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝6，那么a1＋a7＝()A．2B．4C．6D．82．(四川省2016年对口升学考试试题)已知等差数列{an}中a1＝2，且a1a2＝a4.求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.3．(四川省2017年对口升学考试试题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝1，S3＝9，求数列{an}的通项公式．4.(四川省2019年对口升学考试试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝2a4，S9＝108，求数列{an}的通项公式an.同步精练同步精练选择题1．在等差数列{an}中，已知a1＝3，a9＝35，则d等于()A．2B．3C．4D．52．在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于()A．21B．30C．35D．403．在等差数列{an}中，已知d＝，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．20B．85C．145D．154．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若则＝()A.B.C.D.5．若x≠y且两个数列x，a1，a2，y和b1，x，b2，y各成等差数列，那么等于()A.B.C.D.填空题6．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30＝________.7．等差数列{an}中，a3－a7＋a11＝10，则S13＝________.8．log64与log69的等差中项是_______．9．三个数成等差数列，其和为18，平方和为110，则这三个数是．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于_______．解答题11．在－3与25之间插入6个数，使它们与这两个数成等差数列，写出所成的等差数列．12．已知等差数列{an}中，a1＝2，a1a2＝a4.求数列{an}的通项公式及前n项和Sn13．在数列{an}中，已知－＝an＋1＋an，其中an>0，n∈N*，Sn为前n项和(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若a1＝1，求an与Sn的值．14．{an}为等差数列，a4＝－20，a16＝16，求|a1|＋|a2|＋…＋|a20|.专题二十六等差数列思维导图知识要点知识要点1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．当d＝0时，该数列为常数列．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1){an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.若等差数列{an}的第m项为am，公差是d，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.(2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q时，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.典例解析典例解析【例1】在等差数列{an}中，a1＝5，a3＝－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－28，求k的值．答案：解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝5，a3＝－1，可得5＋2d＝－1.解得d＝－3.∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝8－3n.(2)由(1)可知an＝8－3n.∴Sn＝由Sk＝－28，可得＝－28，即3k2－13k－56＝0，解得k＝7或k＝，又k∈N*，故k＝7即为所求．【思路点拨】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【变式训练1】在等差数列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n.解：设首项为a1，公差为d，则解得∴Sn＝18n－n(n－1)＝63，得n＝6或n＝7.【例2】(1)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10等于(C)A．85B．135C．95D．23(2)在等差数列{an}中，已知S3＝15，S5＝40，Sn＝126，则n＝___9_____.【思路点拨】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴S10＝10×(－4)＋×3＝95.(2)S3＝＝3a2＝15，∴a2＝5，∵S5＝＝5a3＝40，∴a3＝8.则公差d＝a3－a2＝8－5＝3.又∵Sn＝na1＋d＝126∴n＝9或n＝(舍去)．【变式训练2】设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则(A)A．1B．－1C．2D.【提示】【例3】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于(A)A．－6B．－4C．－2D．2(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为___210_____；【思路点拨】(1)S8＝4a3⇒＝4a3⇒a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2＋2×(－2)＝－6.(2)记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，S2m－Sm＝100－30＝70，∴S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，故S3m＝S2m＋110＝100＋110＝210.【例3】(3)在等差数列{an}中，若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，则n＝____26____；(4)已知等差数列{an}共10项，其中奇数项之和为65，偶数项之和为125，则a1＝____-35____，公差d＝____12____.【思路点拨】(3)依题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.由等差数列的性质知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.又Sn＝，即286＝，故n＝26.(4)∵{an}为等差数列，且n＝10，∴S偶－S奇＝5d，∴d＝12，又S10＝10a1＋×12＝190.∴a1＝－35.【点评】巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．∴a1＝－35.【变式训练3】(1)等差数列{an}中，a2＝9，a5＝33，则{an}的公差为____8____．(2)数列{an}是等差数列，a4＝7，则S7＝___49_____.(3)已知数列{an}的通项为an＝25－2n，若要使此数列的前n项和最大，则n的值为___12_____．【提示】(1)＝d＝8.【提示】(2)S7＝(a1＋a7)＝7a4＝49.【提示】(3)an＝25－2n>0，得n<12.5，又∵n为整数，∴n＝12.【例4】成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数答案：解：设四数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则4a＝26，a1－d2＝40，即a＝，d＝或d＝当d＝时，四数为2，5，8，11；当d＝时，四个数为11，8，5，2.【思路点拨】解此题的常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数．其实，因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，这样求解更为方便，但必须注意这时的公差为2d.【变式训练4】在等差数列{an}中，a5＝0.3，a12＝3.1，求a18＋a19＋a20＋a21＋a22的值．解：∵a12－a5＝7d＝2.8，d＝0.4，a20＝a12＋8d＝3.1＋3.2＝6.3，∴a18＋a19＋a20＋a21＋a22＝5a20＝6.3×5＝31.5.高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝6，那么a1＋a7＝(B)A．2B．4C．6D．8【提示】令a3＋a4＋a5＝3a4，又a4＋a4＝a1＋a7＝4.2．(四川省2016年对口升学考试试题)已知等差数列{an}中a1＝2，且a1a2＝a4.求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.解：等差数列a1＝2，a1a2＝a4，∵2(2＋d)＝2＋3d，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.Sn＝na1＋＝n2＋n.3．(四川省2017年对口升学考试试题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝1，S3＝9，求数列{an}的通项公式．解：由题意a1＋2d＝1，3a1＋3d＝9，解得a1＝5，d＝－2，an＝5＋(－2)(n－1)＝7－2n.4.(四川省2019年对口升学考试试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝2a4，S9＝108，求数列{an}的通项公式an.解：∵a5＝2a4，a1＋4d＝2(a1＋3d)，S9＝9a1＋＝108，解得a1＝－12，d＝6，an＝a1＋(n－1)d＝－12＋(n－1)×6.∴an＝6n－18.同步精练同步精练选择题一、选择题1．在等差数列{an}中，已知a1＝3，a9＝35，则d等于(C)A．2B．3C．4D．52．在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于(C)A．21B．30C．35D．40【提示】由题意得3a6＝15，a6＝5.∴a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35.3．在等差数列{an}中，已知d＝，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(C)A．20B．85C．145D．15【提示】在等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＋…＋a100＝a1＋a3＋a5＋…＋a99＋50d＝85.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若则＝(A)A.B.C.D.【提示】由等差数列的求和公式可得，可得a1＝2d且d≠0，∴5．若x≠y且两个数列x，a1，a2，y和b1，x，b2，y各成等差数列，那么等于(A)A.B.C.D.【提示】(y－x)＝a2－a1，y－x＝b2－b1.填空题6．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30=___90_____.【提示】∵等差数列的片断数列和依次成等差数列，即S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝(S30－S20)＋S10，解得S30＝90.7．等差数列{an}中，a3－a7＋a11＝10，则S13＝____130____.【提示】2a7＝a3＋a11，a7＝10，S13＝13a7＝130.8．log64与log69的等差中项是___1_____．【提示】9．三个数成等差数列，其和为18，平方和为110，则这三个数是5,6,7或7,6,5．【提示】设三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝18，解得a＝6，(6－d)2＋36＋(6＋d)2＝110解得d＝1或者d＝－1.所以三个数为5，6，7或7，6，5.10．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于___6_____．【提示】∵∴解答题11．在－3与25之间插入6