高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题04二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练04二次函数与一元二次方程、不等式练高考明方向1、【2022年新高考I卷第15题】2、【2022年新高考II卷第15题】3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= ()A．–4 B．–2 C．2 D．44.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2023全国卷Ⅰ)已知集合，则A． B．C． D．6．(2023山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则A．B．C．D．7．(2023江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是．8．(2023山东）已知集合，，则=A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）9．(2023新课标Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=A．[－2,－1]B．[－1,1]C．[－1,2）D．[1,2）10．(2023重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则A．B．C．D．11．(2023江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是．12．(2023重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为．13．(2023福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．14．(2023江苏）解集为，则实数的值为．15．(2023江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是．16．(2023天津）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是．讲典例备高考二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式一元二次不等式恒成立一元二次方程根的分布三个二次之间的关系含参的一元二次不等式系类型一、一元二次方程、不等式基础知识：1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．基本题型：1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．[2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<eq\f(1,a)或x>2)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2或x>eq\f(1,a)))))3．（多选题）下列不等式解集为空集的有（）A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜24．（多选题）与不等式的解集相等的不等式为（

）A．B．C． D．基本方法：解一元二次不等式的4个步骤类型二、一元二次不等式恒成立基础知识：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.))②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．基本题型：1．在R上定义运算:，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．2．设函数，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，则实数m的取值范围为（）A．m≤0 B．0≤m<C．m<0或0<m< D．m<3．（多选题）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．4．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数，.（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【基本方法】1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：（1）一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。2、解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3、一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0))二次不等式在R上恒成立分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0，))若f(x)<0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0))若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时类型三、有关一元二不等式的能成立问题1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13 B．21 C．26 D．303．已知函数.若存在、，使得，则实数的取值范围_________.类型四、“三个二次”之间的关系基础知识：一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．基本题型：1．不等式的解集为，函数的图象大致为（）A． B．C． D．2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为4．已知．若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（，b），则a+b的值为_____．基本方法：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．类型五、一元二次方程根的分布1．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．2．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．3．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.4．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.类型六、含参数的一元二次不等式基础知识;对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．1．（两根大小引起的分类讨论）解关于的不等式：．（且）．2．（二次项系数引起的分类讨论）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．3．（二次项系数引起的分类讨论）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．4、（判别式引起的分类讨论）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．5、（二次项系数及两根大小引起的分类讨论）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。基本方法：1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。新预测破高考1．已知集合，，则（）A．B． C． D．2．在R上的定义运算：则满足的解集为（）A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2)3．设，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件4．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的解集为或5．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（

）A． B． C． D．6、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（）.A． B．C． D．7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)10．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（）A． B．C． D．11．已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.12、设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。13．设集合，若，则实数的取值范围是_______；14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．15．若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是______.16、已知函数.（1）若，解关于x的不等式；（2）若存在，使得成立，求整数a的最大值.17、解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.18．已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．19．已知函数.（1）若，，求函数的最小值；（2）若，解关于的不等式.2023高考一轮复习讲与练04二次函数与一元二次方程、不等式练高考明方向1、【2022年新高考I卷第15题】2、【2022年新高考II卷第15题】3．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= ()A．–4 B．–2 C．2 D．4答案：B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】化简不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.5．(2023全国卷Ⅰ)已知集合，则A． B．C． D．答案：B【解析】因为，所以，故选B．6．(2023山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则A．B．C．D．答案：D【解析】由得，由得，故，选D.7．(2023江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是．答案：【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为．8．(2023山东）已知集合，，则=A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）答案：C【解析】．9．(2023新课标Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=A．[－2,－1]B．[－1,1]C．[－1,2）D．[1,2）答案：A【解析】，故=[2,1]．10．(2023重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则A．B．C．D．答案：A【解析】∵由()，得，即，∴.∵，∴．故选A．11．(2023江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是．答案：【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．12．(2023重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为．答案：【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．13．(2023福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．答案：(0，8)【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．14．(2023江苏）解集为，则实数的值为．答案：9【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9.15．(2023江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是．答案：27【解析】，，，的最大值是27．16．(2023天津）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是．答案：D【解析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．当时函数取得最小值，所以，即，解得或．讲典例备高考二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式一元二次不等式恒成立一元二次方程根的分布三个二次之间的关系含参的一元二次不等式系类型一、一元二次方程、不等式基础知识：1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．基本题型：1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．[2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))答案：B【解析】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq\f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<eq\f(1,a)或x>2)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2或x>eq\f(1,a)))))答案：B【解析】方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝eq\f(1,a)，因为a<0，所以eq\f(1,a)<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2)))).3．下列不等式解集为空集的有（）A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜2答案：ACD分析：求解不等式的解集即可得到结果．【详解】对于A，因为，所以无解，解集为；对于B，的解集为{﹣1}；对于C，因为，所以的解集为；对于D，因为，所以的解集为.4．（多选题）与不等式的解集相等的不等式为（

）A．B．C． D．答案：BC分析：先求出解集，再依次解不等式判断即可.【详解】，所以，解得，对于A选项：解得，故A不正确；对于B选项：等价于，解得，故B正确；对于C选项：等价于，解得，故C正确；对于D选项：解得或，故D不正确.基本方法：解一元二次不等式的4个步骤类型二、一元二次不等式恒成立基础知识：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.))②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．基本题型：1．在R上定义运算:，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．答案：D【解析】由定义知，不等式等价于，所以对任意实数恒成立.因为，所以，解得，则实数的最大值为.2．设函数，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，则实数m的取值范围为（）A．m≤0 B．0≤m<C．m<0或0<m< D．m<答案：D【解析】若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为，当m＝0时，－5<0恒成立，当m<0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减，∴在[1,3]上，得m<5，故有m<0，当m>0时，有g(x)开口向上且在[1,3]上单调递增，∴在[1,3]上，得综上，实数m的取值范围为。3．（多选题）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．答案：BC分析：对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于的不等式对恒成立，当时，原不等式即为恒成立；当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：的取值范围为：.所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.4．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意，函数其中，①当时，，此时对于，恒成立，符合题意；②当时，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即；③当时，的开口向下，且对称轴的方程为，可得函数在区间单调递减，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即，综上可得，实数的取值范围是.5．已知函数，.（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，当时，取得最大值，，即的取值范围为.（2）由题意得：存在，使得成立，即存在，使得成立，当时，取得最小值，，即的取值范围为.（3）由题意得：当时，，当时，；当时，，，解得：，即的取值范围为.【基本方法】1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：（1）一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围。2、解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3、一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0))二次不等式在R上恒成立分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0，))若f(x)<0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0))若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时类型三、有关一元二不等式的能成立问题1．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A分析：把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围．【详解】不等式在内有解等价于时，.当时，，所以.2．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13 B．21 C．26 D．30答案：B分析：设，根据题意得出，从而求的值；【详解】设，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线，如图所示，若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得，又因为，所以，故所有符合条件的a的值之和是.3．已知函数.若存在、，使得，则实数的取值范围_________.答案：.分析：分析可得，利用二次函数的基本性质求出和，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】只需，因为函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，所以，，，所以，，解得.类型四、“三个二次”之间的关系基础知识：一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．基本题型：1．不等式的解集为，函数的图象大致为（）A． B．C． D．答案：A【详解】由题知，和1是的两根，由根与系数的关系知，，求得：，，所以，开口向下，令，即，解得两个根分别为-2，1.2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．答案：D【解析】由不等式的解集为，知，是不等式不等式对应方程的两个根，所以有，，由以上两式得，，所以即为，分解因式得，不等式对应方程的根为，，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为；3．（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为答案：ABD分析：先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.【详解】因为不等式的解集为，所以，故，此时，所以A正确,B正确；，解得：或.所以D正确；C错误.4．已知．若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（，b），则a+b的值为_____．答案：【详解】因为f（x）＞0的解集为（，b），即不等式的解集为（，b），所以的两根分别为，且，由韦达定理得，解得，所以.基本方法：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．类型五、一元二次方程根的分布1．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．答案：C【详解】由题意，记方程的两根分别为，，因为一元二次方程有一个正根和一个负根，所以，解得，则充分不必要条件的范围应是集合的真子集，2．（多选题）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】分析：由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断【详解】，即的解集为，可知，且，故A，D正确，，故C错误，由对称性可知，，故B正确，3．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.答案：【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，所以，解得，所以，则，所以的最小值为。4．已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.答案：（1）；（2）【详解】（1）设方程的根为则或（舍），即；（2）设由题意得：且即实数m的取值范围为。类型六、含参数的一元二次不等式基础知识;对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．1．（两根大小引起的分类讨论）解关于的不等式：．（且）．答案：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：【解析】因为，所以；若，解得：；若，，解得：；若，，解得：；若，，解得：或；综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：2．（二次项系数引起的分类讨论）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．答案：C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若，原不等式为，可得，则不等式的解集为，不是空集；若，原不等式为，无解，不符合题意.②当，即，若不等式的解集为空集，则，解得，则当不等式的解集不为空集，则或且，综上可得：实数的取值范围为.3．（二次项系数引起的分类讨论）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．答案：D分析：求得的定义域为时的取值范围，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，则时，符合.时，需满足.综上所述，函数的定义域为，则的取值范围是.所以使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是.4、（判别式引起的分类讨论）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．【解析】(1)∵f(1)>0，∴－3＋a(6－a)＋b>0.即a2－6a＋3－b<0.Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为∅.②当Δ>0，即b>－6时，方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－eq\r(6＋b)，a2＝3＋eq\r(6＋b)，∴不等式的解集为(3－eq\r(6＋b)，3＋eq\r(6＋b))．综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为∅；当b>－6时，原不等式的解集为(3－eq\r(6＋b)，3＋eq\r(6＋b))．(2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0，即3x2－a(6－a)x－b<0.∵它的解集为(－1,3)，∴－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3－\r(3)，,b＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3＋\r(3)，,b＝9.))5、（二次项系数及两根大小引起的分类讨论）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。【解析】若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1。若a<0，原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq\f(1,a)或x>1。若a>0，原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0。当a＝1时，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解；②当a>1时，eq\f(1,a)<1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得eq\f(1,a)<x<1；③当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得1<x<eq\f(1,a)。综上所述，当a<0时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,a)或x>1))；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))。基本方法：1、含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。新预测破高考1．已知集合，，则（）A．B． C． D．答案：A【详解】集合或，集合或，则，或2．在R上的定义运算：则满足的解集为（）A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2)答案：B【解析】因为运算：所以，即，解得.所以的解集为：(-2，1).3．设，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件答案：A【详解】“”等价于“或”，“”能推出“或”，而“或”不能推出“”，所以“”是“”的充分非必要条件，4．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的解集为或答案：ABC分析：根据题意可得且的根为，利用韦达定理可得，分别代入计算判断正误．【详解】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确；的根为，则，即，∴，B正确；，C正确；，即，则，解得，∴的解集为，D错误．5．（多选题）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（

）A． B． C． D．答案：AD分析：解不等式、，根据已知条件可得出这两个不等式解集的包含关系，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】解不等式得，解不等式，即，解得或，因为“”是“”的充分不必要条件，则或，所以，或，解得或，6、定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（）.A． B．C． D．答案：B【解析】因为关于的不等式有解，所以，解得或，设方程的两个根分别为和，则，，又因为解集区间长度不超过5个单位长度，所以，所以，即，所以，解得，综上可得实数的取值范围是.故选：B.7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C【解析】依题意得对恒成立，令，又时，，所以当时，即时，取得最大值，，故实数的取值范围是。8．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．答案：D【解析】要原方程有两个负实根，必须：.或，∴实数的取值范围是.9、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)答案：A【解析】因为f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\