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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年河北省沧州市高一下学期7月期末质量监测数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=a2−16+(a+4)i为纯虚数,则实数a=A.−4 B.4 C.0 D.4或−42.样本数据11,12,13,14,15,16,17,18,19,20的第80百分位数是(
)A.18 B.19 C.18.5 D.18或193.某班级有60名学生,班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访,则同学a被抽到的可能性为(
)A.112 B.15 C.1604.已知四棱柱ABCD−EFGH的高为3,其底面ABCD水平放置的直观图(斜二测画法) A′B′C′D′如图所示,其中A′B′=2A′D′=2D′C′=2,A′B′//C′D′,则这个四棱柱的体积为(
)
A.32 B.32 C.35.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+cosBb+cosA.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.在△ABC中,AB=AC=1,AN=NC,P是BN上一点,且AP=mAB+A.−16 B.19 C.07.河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔(如图1),著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”.为了测量开元寺塔的高度,一研究小组选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A,B,C,分别测得塔顶P点的仰角为45∘,60∘,45∘,且AB=2BC=98m,示意图如图2,则该塔高PO=(
)
A.492m B.98m C.49m8.如图,在正三棱台ABC−A1B1C1中,AB=2AA1=2A1B1,M,N分别是A.−14 B.14 C.2二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知事件A,B满足P(A)=0.3,P(B)=0.5,则下列说法正确的是(
)A.若事件A与事件B相互独立,则它们的对立事件也相互独立
B.事件A与事件B可能为对立事件
C.若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=0.15
D.若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=0.810.已知向量a=(−1,x),b=(1,2),则下列说法正确的是(
)A.若(2a−b)⊥b,则x=3
B.|2a−b|的最小值为3
C.若(2a−b11.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别是A1A,CA.点P到平面BEF的距离不变
B.平面BEF截该正方体所得的截面面积为5
C.当点P在线段A1C1上运动时,始终有PD//平面AB1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知i是虚数单位,则复数3+i3−4i的共轭复数为
.13.为了丰富员工的业余生活,某企业举办了有奖答题活动,参加活动的员工依次回答三个问题,不管答对或者答错,三题答完活动结束.规定每位员工只能参加一次活动,且至少答对两道题才能获奖.已知员工甲第一题答对的概率为34,第二题答对的概率为23,第三题答对的概率为12,假设员工甲是否答对每一题相互独立,则员工甲获奖的概率为
14.在△ABC中,AB=2,AC=1,BC=3,M,N分别为AC,AB上的动点(不包括端点),将△AMN沿MN折起,使点A到达点A′的位置,且平面A′MN⊥平面BCMN.若点A′,B,C,M,N均在球O的球面上,则球O表面积的最小值为
.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z1=2m−1+mi,z2=m+mi,m∈R,在复平面内表示的点分别为Z1(1)若复数z1+z2在复平面内对应的点在直线y=x+2(2)若OZ1与OZ216.(本小题15分)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,若AB=2e1(1)证明:A,B,C三点共线;(2)若e1=(1,0),e2=(0,1),点D(2,1),B,C,D,P恰好构成平行四边形BCDP17.(本小题15分)
某学校高一年级举办了数学竞赛活动,共有1000名学生参加.从中随机抽取了100名学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,如图所示.
(1)求实数x的值,并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值表示);(2)现从[80,90),[90,100]两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组,再从这7人中抽取2人作为组长,求至少一名组长来自[90,100]的概率.18.(本小题17分)
在如图所示的几何体中,DE//BF,DE⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,AB=BF=4,DE=2,∠DAB=60∘,点M为AB的中点.(1)证明:DM⊥平面ABF;(2)证明:平面AEF⊥平面ABF;(3)求直线EM与平面ADE所成角的正弦值.19.(本小题17分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,1(1)求角A;(2)若D为BC边上一点,且满足AD=λ(AB|(ⅰ)求1b+(ⅱ)求1BD+1答案解析1.B
【解析】解:复数z=a2−16+(a+4)i为纯虚数,
所以a2−16=0,a+4≠0,,解得2.C
【解析】解:共10个数,已经从小到大排列好,10×80%=8,
则第80百分位数是第8个和第9个数的平均数,即18.5,
故选C.3.A
【解析】解:总体有60个个体,每个个体被抽到的概率相同,均为560=112,4.D
【解析】解:由于直观图A′B′C′D′的面积为32,
所以四边形ABCD的面积为32×22=32,5.A
【解析】解:由正弦定理可得a+cosBb+cosA=ab,化简可得ab+bcosB=ab+acosA,即bcosB=acosA,
由正弦定理可得sinBcosB=6.C
【解析】解:∵AN=NC,∴AN=12AC,且AP=mAB+13AC=mAB+23AN,7.D
【解析】解:设PO=ℎ,由在点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为45∘,60∘,45∘,
则OA=ℎ,OB=ℎ3,OC=ℎ,
在△OBC,△OBA中,由余弦定理知cos∠OBC=13ℎ2+492−ℎ22×ℎ3×49,
8.C
【解析】解:如图所示,连接MC,NC1,取MC的中点P,连接C1P,PB,
在正三棱台ABC−A1B1C1中,设AB=2AA1=2A1B1=4,
由M,N分别是AB,A1B1的中点,
易知,MC//NC1,且MC=2MP=2NC1,
所以四边形MPC1N是平行四边形,
所以MN//PC1,∠PC1B即为异面直线MN,BC1所成角(或其补角),
在梯形ABB1A19.ACD
【解析】解:对于A,根据相互独立事件的定义易知正确;对于B,对立事件的概率和为1,但P(A)+P(B)=0.8≠1,故B错误;对于C,根据相互独立事件的定义,P(AB)=P(A)P(B)=0.15,故C正确;对于D,事件A与事件B互斥,则P(A∪B)
=P(A)+P(B)=0.8,故D正确,故选:ACD.10.BD
【解析】解:对于A,由a=(−1,x),b=(1,2),得2a−b=(−3,2x−2),由(2a−b)⊥b,得−3+2(2x−2)=0,解得x=74,故A错误;对于B,2a−b=(−3,2x−2),因此|2a−b|=(−3)2+(2x−2)211.ACD
【解析】解:对于A,易知A1C1//EF,EF⊂平面BEF,A1C1⊄平面BEF,所以A1C1//平面BEF,点P在线段A1C1上,所以点P到平面BEF的距离不变,故A正确;
对于B,如图1,连接D1F,D1E,易知D1F//EB,D1E//FB,平面BEF截该正方体所得的截面为平面EBFD1,EF=22,BE=BF=D1E=D1F=5,
所以易知四边形EBFD1的面积为26,故B错误;
对于C,如图2,连接A1D,C1D,易知平面A1DC1//平面AB1C,又因为PD⊂平面A12.15【解析】解:由题意可得,3+i3−4i=(3+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)13.1724【解析】解:员工甲答对两题的概率为34×23×1214.16π5【解析】解:显然M不与A重合,由点A′,B,C,M,N均在球O的球面上,得B,C,M,N四点共圆,则∠C+∠MNB=π,
又△ABC为直角三角形,AB为斜边,则有MN⊥AB,
如图,将△AMN翻折后,MN⊥A′N,MN⊥BN,又平面A′MN⊥平面BCMN,平面A′MN∩平面BCMN=MN,A′N⊂平面A′MN,BN⊂平面BCMN,
于是A′N⊥平面BCMN,BN⊥平面A′MN,显然A′M,BM的中点D,E分别为△A′MN,四边形BCMN外接圆圆心,
则DO⊥平面A′MN,EO⊥平面BCMN,因此DO//BN,EO//A′N,取NM的中点F,
连接DF,EF,则有EF//BN//DO,DF//A′N//EO,所以四边形EFDO为平行四边形,
设A′N=x且0<x<12,DO=EF=12BN=2−x2,A′M=2x,
设球O的半径R,则R2=DO2+(A′M2)15.解:(1)z1+z2=3m−1+2mi,
因为复数z1+z2在复平面内对应的点在直线y=x+2上,
所以2m=3m−1+2,解得m=−1,
所以z1+z2=−4−2i,
所以|z1+z2|=25.
(2)OZ1=(2m−1,m),OZ2=(m,m),
因为OZ1与OZ2的夹角为锐角,则OZ1⋅OZ2>0且两向量不同向,
所以(2m−1,m)⋅(m,m)>0【解析】本题考查复数的模及复数的运算,考查向量的数量积,属于中档题.(1)根据复数的运算计算,进一步求模即可;
(2)OZ1=(2m−1,m),16.解:(1)因为BC=BP+PC=2e1−e2,所以AB=BC,所以A,B,C三点共线.
(2)设点P的坐标为(x,y),则PD=(2−x,1−y),BC=BP+PC=2e1−e2=(2,−1),【解析】本题考查平面向量共线定理与三点共线问题、向量的加法运算、向量的坐标表示,属于一般题.
(1)求出AB=BC,,即可求出结果;
(2)设点P的坐标为(x,y),则PD=(2−x,1−y)17.解:(1)在频率分布直方图中,(x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1,解得x=0.016,
结合频率分布直方图,估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数为75分,
落在[50,60)的频率为0.16,[60,70)的频率为0.3,[70,80)的频率为0.4,
则中位数落在[70,80)内,设中位数为y,
则(y−70)×0.040=0.5−0.16−0.3,解得y=71,即中位数为71分,
平均数为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分).
(2)按比例分配的分层随机抽样方法,
[80,90)中抽取的人数为0.10.1+0.04×7=57×7=5,
[90,100]中抽取的人数为0.040.1+0.04×7=27×7=2,
记来自[80,90)的5人和来自[90,100]的2人分别为a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,
则所有基本事件为a1a2,a1a3,a1a4,a1a5,a1b1,a1b2,a2a3,a【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、中位数、众数和古典概型及其计算,属于中档题.
(1)由频率和为1得出x,再由众数、中位数、平均数的公式计算即可;
(2)先由分层抽样得出两组抽取的人数,由列举法和古典概型公式可得结果.18.【解答】
(1)证明:因为DE//BF,DE⊥平面ABCD,所以BF⊥平面ABCD,因为DM⊂平面ABCD,所以DM⊥BF,因为△ABD是等边三角形,点M为AB的中点,所以DM⊥AB,又BF∩AB=B,BF,AB⊂平面ABF,所以DM⊥平面ABF;
(2)证明:如图,取AF的中点N,连接EN,MN,因为M,N分别为AB,AF的中点,所以MN//BF,MN=12B,又因为DE//BF,DE=12BF,所以MN//DE,MN=DE,所以四边形EDMN为平行四边形,所以EN//DM,由(1)知DM⊥平面ABF,所以EN⊥平面ABF,因为EN⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABF;
(3)因为DE⊥平面ABCD,DE⊂平面ADE,所以平面ABCD⊥平面ADE,又平面ABCD∩平面ADE=AD,过点M作AD的垂线,垂足为Q,即MQ⊥AD,所以MQ⊥平面ADE,连接EQ,所以∠MEQ是直线EM与平面ADE所成的角,易知点Q为AD上靠近点A的四等分点,在Rt△MQA中,∠DAB=60∘,则MQ=
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