2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=3+4i1−2i，则|z|=(

)A.3 B.3 C.5 2.已知向量a=(m,1)，b=(1,2−3m)，若a⊥b，则实数mA.--1 B.1 C.−2 D.23.已知cosα=45,α∈(−π2,0),tanβ=A.−25 B.−1011 C.4.已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为(

)A.3π B.2π C.π 5.在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/ℎ，距离台风中心150km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响(参考数据：2≈1.4)(

)A.2 B.4.5 C.9.5 D.106.从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则(

)A.A与B互斥 B.A与B独立 C.A与C互斥 D.A与C独立7.在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=23A.715V B.722V C.8.已知点P为△ABC内一点，且∠ABP=30°，∠PBC=15°，∠PCB=15°，∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为(

)A.6−33 B.2−3 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列有关复数的说法正确的是(

)A.若z2=−1，则z=i．

B.|z2|=|z|2

C.|z10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(4SABC=A.B=π3

B.cosA⋅cosC的取值范围是(−14,14]

C.若D为边AC的中点，且BD=3，则△ABC面积的最大值为3

11.正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是(

)A.AC⊥DE

B.直线BC与平面BEDF所成的角为60°

C.若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F−ADP的体积为定值924

D.若点P为棱ED上的动点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,−1)，则a在b上的投影向量的坐标为______．13.如图，平面四边形ABCD中，∠BAD=∠CBD=75°，∠BAC=30°，∠ABD=45°，AB=6，则CD的长为______．

14.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=2，∠ACB=60°，SC为球O的直径，且SC=4，则三棱锥S−ABC体积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠DAB=60°，AC交BD于点O，PB=PD=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点．

(1)求证：MN/​/平面PCD．

(2)记二面角B−PC−D的平面角为θ，若cosθ=−17．

①求PA与底面ABCD所成角的大小．

②求点N到平面CDP的距离．16.(本小题17分)

已知0°<∠A<180°，点B，C分别为其两条边上不与点A重合的点．

(1)如图1，若∠A=60°，AB=4，△ABC为锐角三角形，求AC的取值范围．

(2)如图2，若∠A=60°，BC=4，以BC为边构造等边△BCD，设∠ABC=θ，试求AD的最大值．

(3)如图2，若AB=2，AC=4，以BC为边构造等边△BCD，试求AD的最大值．

17.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−bc=sinC−sinBsinA+sinB．

(1)求角A的大小．

(2)若cosB=17,AB=518.(本小题15分)

为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表．

(1)求频率分布直方图中a的值．

(2)求月收入的平均数、75百分位数．

(3)现按月收入分层，在[2000,3000)和[3000,4000)这两个收入段中，按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率．19.(本小题15分)

如图，在梯形ABCD中，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD，O为AC与BM的交点．

(1)若∠BAD=60°，求AC⋅BM．

(2)若AC⋅

答案解析1.【答案】C

【解析】解：z=3+4i1−2i=(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+2i，则|z|=(−1)2.【答案】B

【解析】解：a=(m,1)，b=(1,2−3m)，a⊥b，

则m+2−3m=0，解得m=1．

故选：B．3.【答案】D

【解析】解：由于cosα=45,α∈(−π2,0)，

则sinα=−1−cos2α=−35,tanα=4.【答案】A

【解析】解：根据题意，圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，

则圆锥的底面半径r=1，

其侧面积S1=πrl=2π，底面面积S2=πr2=π，

则该圆锥的表面积S=S15.【答案】B

【解析】解：如图，以某城市为B为坐标原点，正东方向为x轴，

过点B的垂直方向为y轴建立直角坐标系，

则BA=200(km)，

设台风中心沿着l移动(西北方向)，作BD⊥l，垂足为D，

则BD=ABsin45°=1002(km)，由于1002<150，

故城市B所在地会受到台风的影响，

设t小时后台风中心的位置为(200−20t×cos45°,20t×sin45°)，

即(200−102t,102t)，由于距台风中心150km以内的地区都将受到影响，

故令(200−102t)2+(102t)2≤6.【答案】D

【解析】解：对于A，事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

对于B，P(A)=C11C31C42=12，P(B)=C32C42=12，P(AB)=C11C21C42=13，

P(AB)≠P(A)P(B)，∴A与B不是相互独立事件，故B错误；

对于C，事件A与事件7.【答案】B

【解析】解：如图，∵底面ABCD是边长为2的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，

且AA1=CC1=DD1=2BG=23，

∴该几何体的体积为V=2×2×23−13×12×2×2×3=2233，

∵点E8.【答案】A

【解析】解：设∠PAC=α，

由题意可得PB=PC，

∠BAC=180°−∠CBA−∠ACB=180°−(30°+15°)−(60°+15°)=60°，

则∠BAP=60°−α，

在△ABP中，由正弦定理可得PAsin30∘=PBsin(60∘−α)，

在△ACP中，由正弦定理可得PAsin60∘=PCsinα，

上面两式相除可得sin60°sin30∘=9.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，令z=a+bi，则z2=a2+2abi−b2=−1，则ab=0，

a2−b2=−1，则有a=0，b=±1，故z=±i.故A不正确；

对于B，设复数z=a+bi，a、b∈R，

则|z2|=|a2−b2+2abi|=(a2−b2)2+4a2b2=(a2+b2)2=a2+b2，

即|z|2=a2+b2成立，故B正确；

对于C，设z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，

则|z1−z2|=|OZ1−OZ2|=|Z2Z1|，|z1|−|z210.【答案】ACD

【解析】解：由题意知S=12acsinB=34(a2+c2−b2)，整理得a2+c2−b2=23acsinB，

由余弦定理知a2+c2−b2=2accosB，所以sinB3=cosB，即tanB=3．

再由B∈(0,π)，所以B=π3，故A正确；

对于B，cosAcosC=cosAcos(2π3−A)=32sinAcosA−12cos2A

=34sin2A−1+cos2A 4=12sin(2A−π6)−14，

因为A∈(0,2π3)，所以2A−π11.【答案】ABD

【解析】解：对A选项，∵正八面体ABCDEF可以看成两个全等的且棱长都为3的正四棱锥的组合体，

设正方形AVCD的对角线交点为H，则易知AC⊥BD，AC⊥EH，又BD∩EH=H，

∴AC⊥平面EBD，又DE⊂平面EBD，∴AC⊥DE，∴A选项正确；

对B选项，由A选项分析可知AC⊥平面BEDF，

∴直线BC与平面BEDF所成的角为∠CBH，

又BH=12BC，∴∠CBH=60°，∴B选项正确；

对C选项，易知EB/​/DF，EB⊄平面ADF，DF⊂平面ADF，

∴EB/​/平面ADF，点P为棱EB上的动点，

∴P到平面ADF的距离为定值，又△ADF的面积也为定值，

∴三棱锥F−ADP的体为定值，即为三棱锥F−ABD的体积，

又易知三棱锥F−ABD的高为FH=322，

∴三棱锥F−ABD的体积为13×12×3×3×322=324，12.【答案】(3【解析】解：因为a=(1,2)，b=(3,−1)，

所以a⋅b=1×3−2×1=1，|b|=9+1=10，

所以a在13.【答案】10【解析】解：∠BAC=30°，∠ABD=45°，∠CBD=75°，∠BCA=30°，

∴AB=BC=6，且∠ADB=60°，

又sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°

=12×22+32×22=2+64，

cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°−sin30°sin45°

=314.【答案】2【解析】解：如图所示，设圆O1的半径为r，

在△ABC中，因为AB=2，∠ACB=60°，

由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=2sin60∘=433，

可得r=233，

即A，B，C所在小圆半径为233，

所以球心O到△ABC所在小圆的距高为d=R2−r2=263，

则点S到△ABC所在小圆的距离为263，

在△ABC中，由余弦定理得|AB|2=|BC|2+|AC|2−2|BC|⋅|AC|cosC，

即4=|BC|215.【答案】(1)证明：取PB的中点E，连接ME，NE，

因为M，N分别为PA，BC的中点，

所以ME//AB//CD，NE/​/PC，

又ME∩NE=E，ME、NE⊂平面MNE，CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PCD，

所以平面MNE/​/平面PCD，

因为MN⊂平面MNE，

所以MN/​/平面PCD．

(2)解：取PC的中点F，连接BF，DF，OP，

因为PB=PD=3，BC=CD=3，PC=PC，

所以△PBC≌△PDC，且BF⊥PC，DF⊥PC，

所以∠BFD就是二面角B−PC−D的平面角，即cos∠BFD=cosθ=−17，

在△BDF中，BF=DF，BD=3，

由余弦定理知，cos∠BFD=BF2+DF2−BD22BF⋅DF，

所以−17=2BF2−92BF2，解得BF=374，

所以PC=2PF=2PB2−BF2=92，

①作PG⊥AC于点G，

因为PB=PD，O是BD的中点，所以OP⊥BD，

因为菱形ABCD，所以AC⊥BD，

又OP∩AC=O，OP、AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，

因为PG⊂平面PAC，所以BD⊥PG，

又AC∩BD=O，AC、BD⊂平面ABCD，所以PG⊥平面ABCD，

所以∠PAC即为PA与底面ABCD所成角，

因为PA⊥PC，

所以sin∠PAC=PCAC=9233=32，

因为0°≤∠PAC≤90°，所以∠PAC=60°，

故PA与底面ABCD所成角的大小为60°．

②由①知，【解析】(1)取PB的中点E，连接ME，NE，先利用中位线的性质，证明平面MNE/​/平面PCD，再由面面平行的性质定理，即可得证；

(2)取PC的中点F，连接BF，DF，OP，由二面角的定义可知cos∠BFD=cosθ=−17，在△BDF中，利用余弦定理求出BF的长，①作PG⊥AC于点G，证明PG⊥平面ABCD，从而知∠PAC即为所求，再由锐角三角函数，即可得解；②16.【答案】解：(1)由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc，即b2+16−a28b=12，

故b2+16−4b=a2，

若C为最大角，只需a2+b2−16>0，故b2+16−4b+b2−16>0，解得b>2，

若B为最大角，只需a2+16−b2>0，故b2+16−4b+16−b2>0.解得b<8，

综上，AC∈(2,8)．

(2)由正弦定理得BCsinA=2R，R为△ABC的外接圆半径，

故2R=4sin60∘=833，解得R=433，

过点B，C分别作OB⊥DB，OC⊥DC，OB，OC相交于点O，

其中OB=OC=4tan30°=433，

故以O为圆心，OB=433为半径的圆，即为△ABC的外接圆，

当A，O，D三点共线时，AD取得最大值，如图，A1D即为所求，

其中OD=2OB=8【解析】(1)方法一：利用余弦定理得到b2+16−4b=a2，分C为最大角和为最大角两种情况，结合余弦定理得到不等式，求出AC的取值范围．

(2)由正弦定理求出△ABC的外接圆半径，作出圆，数形结合得到当A，O，D三点共线时，AD取得最大值，并求出最大值；

(3)以AB为边向外作等边三角形ΔABE，根据三角形全等得到AD=EC，当E，A，C三点共线时，17.【答案】解：(1)由a−bc=sinC−sinBsinA+sinB，得a−bc=c−ba+b，去分母得a2−b2=c2−bc，

整理得b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，结合A∈(0,π)，可得A=π3．

(2)根据cosB=17，可得sinB=【解析】(1)根据正弦定理化简已知等式，得到b2+c2−a2=bc，然后利用余弦定理求出cosA的值，可得角A的大小；

(2)根据三角恒等变换公式，求得sinC=5314，然后在18.【答案】解：(1)由1000×(0.00005+0.0001+0.00015+a+0.00025×2)=1，

解得a=0.0002．

(2)设月收入的平均数为x，

则x=0.05×7500+0.1×2500+0.15×6500+0.2×3500+0.25×4500+0.25×5500=4800，

设75百分位数为m