2023-2024学年江西省萍乡市萍乡中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省萍乡市萍乡中学高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|3−x≥x+1}，B={x|y=lnx}，则A∩B=(

)A.[0,2] B.(0,2] C.(0,1] D.[0,1]2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=f′(2)x2+3x，则f′(2)=A.2 B.−2 C.1 D.−13.在数列{an}中，anan+1=6A.2 B.3 C.12 D.40284.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=10+100q，单价p与产量q的函数关系式为p=2800−19q2，则利润最大时，A.80 B.90 C.100 D.1105.“a∈(0,1)”是“对任意x∈R，ax2−2ax+1>0恒成立”的A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x+1)=x2+x，且函数f(x+1)的定义域为[−1,1]，则A.f(x)=x2+3x+1，x∈[−2,0] B.f(x)=x2+3x+1，x∈[0,2]

C.f(x)=x7.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为(

)A.1 B.32 C.2 D.8.在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转π3后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称f(x)为“旋转函数”.下列四个函数中“旋转函数”的个数为(

) ①y=−x;

 ②y=ex−1;

 ③y=lnA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则(

)A.f(0)=1 B.f(−2)=−4

C.f(x)为奇函数 D.f(x)可能在R上单调递增10.对于函数f(x)=x3exA.f(x)有最小值但没有最大值

B.对于任意的x∈(−∞,0)，恒有f(x)<0

C.f(x)仅有一个零点

D.f(x)有两个极值点11.已知数列{an}满足an≠±1，且an+1A.数列{an}可能为常数列

B.数列{bn}可能为等比数列

C.若a1=2，则i=120bi=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等比数列{an}中，a7a813.已知x1和x2分别是函数f(x)=ax3+x2+ax+1的极大值点和极小值点.若14.已知函数f(x)=ex−1+e1−x+x2−2x+m恰有一个零点，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}的前n项和是S(1)证明：{a(2)求数列{−nan}的前n项和16.(本小题15分)已知函数f(x)=log5(x+5)，g(x)=(1)求ℎ(x)的定义域;(2)判断ℎ(x)的奇偶性，并说明理由;(3)求ℎ(x)的值域．17.(本小题15分)已知函数f(x)=e(1)若f(x)在[0,3]上单调递增，求m的取值范围;(2)若m=1且经过点(1,a)只可作f(x)的两条切线，求a的取值范围．18.(本小题17分)已知数列{an}满足a2n+1=(1)判断d1，d2，d(2)证明：{an19.(本小题17分)已知函数f(x)=lnx+x+a的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(1)求a，b的值;(2)证明：f(x)<x(ex+答案解析1.C

【解析】解：A={x|3−x≥x+1}=(−∞,1]，B={x|y=lnx}=(0,+∞)，则2.D

【解析】解：由题意得f′(x)=2f′(2)x+3，令x=2，则f′(2)=4f′(2)+3，得f′(2)=−1．3.B

【解析】解：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，⋯，

由此可以发现数列4.B

【解析】解：

设利润为y，则y= pq−C=(2800−19q2) q−(10+100q)=−19q3+2700q−10.因为y′=−13q5.C

【解析】解：当a=0时，不等式1>0恒成立，所以a=0符合要求;

当a≠0时，题意等价于{a>0,Δ<0,即a>0,4a2−4a<0,解得0<a<1．

综上，a的取值范围为[0,1)．

故“6.D

【解析】解：令x+1=t，则x=t−1，得f(t)=(t−1)2+(t−1)=t2−t，

又函数f(x+1)的定义域为[−1,1]，所以函数f(x)的定义域为[0,2]，7.B

【解析】解：由题意得羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，

设该数列为{an}，公差为d，则羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为a1，a2，a3，a4．

由题意得2(a8.B

【解析】解：由题可知，所给的函数的图象都经过坐标原点，

则y=f(x)的图象与直线y=33x只能有一个交点， ①符合题意;

y=ex−1在x=0处的切线方程为y=x， ②不符合题意;

y=ln(x+1)在x=0处的切线方程为y=x， ③不符合题意;9.BCD

【解析】解：令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，故A错误;令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(x)为奇函数，故C正确;

因为f(x)为奇函数，所以f(−1)=−2，令x=y=−1，则f(−2)=f(−1)+f(−1)=−4，故B正确;不妨设f(x)=2x，满足题意，且在R上单调递增，故D正确．10.BC

【解析】解：因为f(x)=x3ex，

所以f′(x)=x2(3−x)ex，

当x<3时，f′(x)>0;

当x>3时，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,3)单调递增，在(3,+∞)单调递减，

所以f(x)有极大值f(3)=27e3，且极大值即为最大值，没有极小值，故A，D错误；

当x∈(−∞,0)时，x3<0,ex>0，则对于任意的x∈(−∞,0)，恒有f(x)<011.ABD

【解析】解：假设数列{an}为常数列，设an=m，

则由an+1an+an+1=2，可得：m2+m−2=0，则m=−2或m=1．

因为an≠1，所以an=−2，此时数列{an}为常数列，故A正确；

由an≠−1，且an+1an+an+1=2，可得：an+1=2an+1，

bn+1=an+1+2an+1−1=2an+1+22an12.8

【解析】解：由题意得a7a813.(−【解析】解：由题可知f′(x)=3ax2+2x+a=0有两个变号零点，故△=4−12a2>0，

解得−3314.−1；(1【解析】解：因为函数y=ex−1+e1−x，y=x2−2x+m的图象都关于直线x=1对称，

且函数y=f(x)恰有1个零点，所以f(1)=0，即1+1+1−2+m=0，解得m=−1．

又f′(x)=ex−1−e1−x+2x−2，且当x≥1时，f′(x)≥0，

故f(x)在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)15.(1)证明：当n=1时，S1=5a1+4，得a1=−1，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=5an+4−(5an−1+4)=5an−5an−1，得anan−1=54，

所以{an【解析】本题考查的数列的前n项和及Sn与an的关系，等比数列的证明，错位相减法，属于中档题．

(1)由题意当n≥2时，an=16.解：(1)ℎ(x)=log5(x+5)+log5(5−x)，

由x+5>0,5−x>0,得−5<x<5，

所以ℎ(x)的定义域为(−5,5)．

(2)ℎ(x)为偶函数，

理由如下

因为ℎ(−x)=log5(−x+5)+log5(5+x)=ℎ(x)，且(−5,5)关于原点对称，

所以ℎ(x)为偶函数．

(3)由题意得ℎ(x)=log【解析】本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性和求函数的值域，是基础题．

(1)由函数定义可得函数的定义域；

(2)由函数的奇偶性可判定；

(3)由对数函数性质和二次函数性质可得函数值域．17.解：(1)由题可知f′(x)=ex+m≥0在[0,3]上恒成立，

因为f′(x)=ex+m在[0,3]上单调递增，所以e0+m≥0，即m≥−1，

所以m的取值范围为[−1,+∞).

(2)设切点为A(t,et+t)，f′(x)=ex+1，

所以切线斜率k=et+1=et+t−at−1，

即关于t的方程(t−2)et=1−a有两个不相等的实数根．

设g(t)=(t−2)et，令g′(t)=(t−1)et=0，解得t=1．

当t<1时，g′(t)<0，则g(t)在(−∞,1)上单调递减;

当t>1时，g′(t)>0，则g(t)在(1,+∞)上单调递增．

所以g(t)在【解析】本题主要考查导数的应用，属于中档题．

(1)由题可知f′(x)=ex+m≥0在[0,3]上恒成立，然后得到e0+m≥0，即可；

(2)设切点为A(t,et+t)，f′(x)=ex+1，所以切线斜率k=18.证明：(1)由题可知a6=a2+2d2=a3+d3，a12=a2+5d2=a3+3d3，

所以a2−a3=d3−2d2=3d3−5d2，化简可得2d3=3d2，

同理a9=【解析】本题主要考查根据数列的递推公式求数列的项、等差数列的判定或证明等，属于中档题．

(1)由题可知a6=a2+2d2=a3+d3，a1219.解：(1)由题意得f′(x)=1x+1，

由切线bx−y=0的斜率为b，得b=f′(1)=2，

则切线方程为2x−y=0，当x=1时，y=2，所以f(1)=1+a=2，得a=1．

(2)证明：由(1)可知f(x)=lnx+x+1，x>0，要证f(x)<x(ex+lnx−1)+1，即证lnx+x−xex<xlnx−x．

设g(x)=lnx+x−xex，则g′(x)=1x+1−(x+1)ex=(x+1)(1x−ex).

令ℎ(x)=1x−ex，x>0，易得ℎ(x)是减函