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第第页专题22用一次函数解决问题之四大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 1【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 3【考点三一次函数的应用——行程问题】 7【考点四一次函数的应用——几何问题】 12【过关检测】 18【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】例题:(2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中)合肥某校有3名教师准备带领部分学生(不少于3人)参观野生动物园.经洽谈,野生动物园的门票价格为教师票每张36元,学生票半价,且有两种购票优惠方案.方案一:购买一张教师票赠送一张学生票;方案二,按全部师生门票总价的80%付款,只能选用其中一种方案购买.假如学生人数为x(人),师生门票总金额为y(元).(1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式;(2)请通过计算回答,选择哪种购票方案师生门票总费用较少;(3)若选择最优惠的方案后,共付款288元,则学生有多少人?【答案】(1)方案一:;方案二:(2)当时,两种方案一样多;当时,方案一更优惠;当时,方案二更优惠(3)学生人数为14人【分析】(1)根据题意可直接进行求解;(2)由(1)中函数关系式及一次函数的性质可进行求解;(3)由(2)可进行求解.【详解】(1)解:方案一:;方案二:;(2)解:由(1)可知:当两种方案的费用一样多时,则有:,解得:,∴当时,两种方案一样多;当时,方案一更优惠;当时,方案二更优惠;(3)解:由(2)可知:当学生人数为9人时,方案一和方案二的费用一样多,费用即为(元),∵,∴应选择方案二更优惠,∴,解得:;答:学生人数为14人.【点睛】本题主要考查一次函数的应用,熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.【变式训练】1.(2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期中)“双减”政策受到各地教育部门积极响应,某校为加强学生体育溵炼,决定购买羽毛球和羽毛球拍.甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍,羽毛球每个定价4元,羽毛球拍每副定价50元.现两家商店都搞促销活动:甲店每买一副球拍赠2个羽毛球;乙店按九折优惠.某班级需购球拍4副,羽毛球个.(1)若在甲店购买付款(元),在乙店购买付款(元),分别写出、与的函数关系式;(2)当时,该班在哪个商店购买更省钱?【答案】(1),(2)甲商店【分析】本题考查一次函数的实际应用,解题的关键是根据题意,正确的列出函数关系式.(1)根据两家商店的活动方案,列出函数关系式即可;(2)将代入(1)中的函数解析式,进行求解即可.【详解】(1)解:由题意可得,,,即,;(2)当时,元;元,∵,∴到甲商店购买更省钱.2.(2023上·陕西榆林·八年级校联考期中)毛尖是中国十大名茶之一,因其成品紧密如尖故名毛尖.某公司采购员到某茶叶市场购买某品牌毛尖茶,商家推出了两种购买方式:会员卡费用(元/张)茶叶价格(元/kg)方式一:金卡会员5001600方式二:银卡会员2001800设该公司此次购买茶叶,按方式一购买茶叶的总费用为元,按方式二购买茶叶的总费用为元.(1)请直接写出,关于的函数表达式;(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同,求该公司此次购买茶叶的质量.【答案】(1),(2)1.5kg【分析】本题主要考查一次函数的应用,解题的关键是理解题意;(1)根据题意可直接列出函数关系式;(2)由题意可得,然后求解即可.【详解】(1)解:根据题意得:关于的函数表达式为,关于的函数表达式为.(2)解:根据题意得:,解得,答:该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg.【考点二一次函数的应用——最大利润问题】例题:(2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末)某学生用品商店,计划购进A、B两种背包共80件进行销售,购货资金不少于2090元,但不超过2096元,两种背包的成本和售价如下表:种类成本(元/件)售价(元/件)A2530B2835假设所购两种背包可全部售出,请回答下列问题:(1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案?(2)该商店如何进货获得利润最大?(3)根据市场调查,每件B种背包的市价不会改变,每件A种背包的售价将会提高a元(a>0),该商店又将如何进货获得的利润最大?【答案】(1)有3种方案:A:48、B:32;A:49、B:31;A:50、B:30(2)464元(3)购A种背包48件,购B种背包32件【分析】(1)设购A种背包件,则B种背包件,根据题意即可得到答案;(2)根据题意,可得到,利润与购A种背包的一次函数,即可解答哪种利润最大;(3)根据题意,可得到,利润与购A种背包的一次函数,根据a的取值,分类讨论解答.【详解】(1)解:设购A种背包件,则B种背包件,则,解得,∴当购A种背包48件,则B种背包32件,当购A种背包49件,则B种背包31件,当购A种背包50件,则B种背包30件,∴有3种方案:A.48、B.32;A.49、B.31;A.50、B.30.(2)解:利润,∵,则y随x增大而减小,∴当购A种背包48件,B种背包32件时,(元);(3)解:,当时,则y随x增大而增大,∴当购A种背包50件,B种背包30件时,利润最大;当时,均可采用;当时,则y随x增大而减小,当购A种背包48件,B种背包32件时,利润最大.【点睛】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用,弄清题意,先建立函数关系式,然后根据实际情况,分类讨论解答.【变式训练】1.(2023上·广东深圳·九年级南山实验教育麒麟中学校考阶段练习)春节将至,某商店预测A、B两种烟花应该会受欢迎,该商店得知A种烟花的进价比B种烟花贵15元,但该店依然用3100元购进了60捆A种烟花和50捆B种烟花.(1)求A、B两种烟花的进价分别是多少元?(2)如商店预料的一样,两种烟花大卖,因此该商店又购进了A、B两种烟花共200捆,已知A种烟花的数量不少于B种烟花的3倍.则本次购买两种烟花的最低花费是多少元?【答案】(1)A种烟花的进价是35元,B种烟花的进价是20元(2)最低费用为4000元【分析】(1)设B种烟花的进价是x元,则A种烟花的进价是元,根据两种烟花总共进价3100元列方程并解答即可;(2)设B种烟花购进了a捆,则购进A种烟花为捆,费用为w元,先列出关系式,再根据a取值范围结合一次函数性质求出最值即可.【详解】(1)解:设B种烟花的进价是x元,则A种烟花的进价是元,由题意得:,解得:,(元),答:A种烟花的进价是35元,B种烟花的进价是20元(2)解:设B种烟花购进了a捆,则购进A种烟花为捆,费用为w元,∵购进的A种烟花的数量不少于B种烟花的3倍,,且,解得,根据题意得,,∴w随a的增大而减小,时,w最小值为(元),答:最低费用为4000元.【点睛】本题考查了一元一次方程应用及一次函数应用,找出等量关系列方程和结合题意得到一次函数表达式是解题关键.2.(2023上·安徽淮北·八年级校联考期中)在渠县中学新校区建设中,需要甲、乙两种钢材,现计划把甲种钢材1200吨和乙种钢材900吨用一列火车运往渠县,已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节,使用A型车厢每节费用为7000元,使用B型车厢每节费用8000元.(1)设运送这批钢材的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出用车厢节数x表示总费用y的式子.(2)如果每节A型车厢最多可装甲种钢材35吨和乙种钢材15吨,每节B型车厢最多可装甲种钢材25吨和乙种钢材35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有几种安排车厢的方案?(3)在(2)中的哪种方案运费最少?最少运费为多少元?【答案】(1)(2)有六种装车方案:①20节A型车厢和20节B型车厢;②21节A型车厢和19节B型车厢;③22节A型车厢和18节B型车厢.④23节A型车厢和17节B型车厢;⑤24节A型车厢和16节B型车厢;⑥25节A型车厢和15节B型车厢(3)安排A型车厢25节、B型车厢15节运费最省,最小运费为万元【分析】(1)总费用型车厢节数型车厢节数.(2)应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量.型车厢节数型车厢节数;型车厢节数型车厢节数.(3)应结合(1)的函数,(2)的自变量的取值来解决.【详解】(1)7000元万元,8000元万元,设用A型车厢x节,则用B型车厢节,总运费为y万元,依题意,得.(2)依题意,得,解得:,∴,∵x取整数,故A型车厢可用20节或21节或22节或23节或24节或25节,,相应有六种装车方案:①20节A型车厢和20节B型车厢;②21节A型车厢和19节B型车厢;③22节A型车厢和18节B型车厢.④23节A型车厢和17节B型车厢;⑤24节A型车厢和16节B型车厢;⑥25节A型车厢和15节B型车厢.(3)由函数知,x越大,y越少,故当时,运费最省,这时(万元),答:安排A型车厢25节、B型车厢15节运费最省,最小运费为万元.【点睛】此题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组.【考点三一次函数的应用——行程问题】例题:(2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中)在、两地之间有服务区,甲车由地驶往服务区,乙车由地驶往地,两车同时出发,匀速行驶,如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、(单位:千米)与乙车行驶时间(单位:小时)之间的函数图象,结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车的速度是________千米/时;(2)求图象中线段的函数解析式;(3)当两车距服务区的路程之和是千米时,直接写出此时乙车的行驶时间.【答案】(1)(2)(3)或小时【分析】(1)根据函数图象,结合路程除以速度,即可求解;(2)先求得乙车的速度,进而得出,待定系数求得解析式,即可求解;(3)分别求得各段解析式,根据题意,列出一元一次方程,解方程,即可求解.【详解】(1)解:依题意,千米/时;故答案为:.(2)解:乙车的速度为千米/时;∴设直线的解析式为∴解得:∴(3)解:依题意,设乙车的行驶小时后,两车距服务区的路程之和是千米,当甲乙未相遇时,解得:当乙经过服务区,(舍)当甲乙相遇之后,答:乙车的行驶或小时后两车距服务区的路程之和是千米.【点睛】本题考查了一次函数的应用,数形结合是解题的关键.【变式训练】1.(2023上·广东深圳·八年级校联考期中)一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,设客车离甲地的距离为千米,出租车离甲地的距离为千米.两车行驶的时间为小时,、关于的函数图象如图所示:
(1)根据图象,直接写出,关于的函数关系式;(2)当为何值时,两车相遇?(3)当为何值时,两车相距280千米?【答案】(1),(2)当为小时时,两车相遇(3)当或时,两车相距280千米【分析】(1)用待定系数法分别求出解析式;(2)根据题意和(1)中的函数关系式,求出两个函数图象交点即可;(3)由两车相距千米,可得,求解即可.【详解】(1)设,由图可知,函数图象经过点,,解得:,,设,由图可知,函数图象经过点,,则,解得:,;(2)由题意,得,;答:当为小时时,两车相遇;(3)由题意,得,解得:或答:当或时,两车相距280千米.【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.2.(2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中)甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发,匀速上升.如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔与气球上升时间的函数图象.
(1)求两个气球上升过程中与函数解析式;(2)当这两个气球的海拔高度相差时,求上升的时间.【答案】(1)甲:,乙:(2)或.【分析】(1)分别设出甲乙的函数解析式,利用待定系数法求解解析式即可;(2)由题意得,利用甲乙的函数解析式列方程,解方程并检验可得答案.【详解】(1)解:设甲气球上升过程中:,由题意得:甲的图像经过:两点,解得:所以甲上升过程中:设乙气球上升过程中:由题意得:乙的图像经过:两点,解得:所以乙上升过程中:
(2)由两个气球的海拔高度相差,即或解得:或(不合题意,舍去)所以当这两个气球的海拔高度相差时,上升的时间为或.【点睛】本题考查的是一次函数的应用,考查利用待定系数法求解一次函数的解析式,掌握以上知识是解题的关键.【考点四一次函数的应用——几何问题】例题:(2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习)如图,在长方形中,,,点P从点B出发,以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A,设移动过程中三角形的面积为S(),移动时间为t(s).
(1)写出S与t之间的函数关系式;(2)①当时,求三角形的面积;②当三角形的面积为时,求t的值.【答案】(1)(2)①;②或【分析】(1)根据题意可分当点P在上,当点P在上,当点P在上,然后分别求出函数解析式即可;(2)①由(1)可进行求解;②根据(1)中函数解析式,然后把三角形的面积为代入进行求解即可.【详解】(1)解:由题意可得:①当点P在上,即,∴;②当点P在上,即,此时三角形的面积为长方形面积的一半,即为;③当点P在上,即,此时,∴;综上所述:S与t之间的函数关系式为;(2)解:①当时,则,∴;②由(1)可知:当三角形的面积为时,则有:或,∴或.【点睛】本题主要是考查一次函数的应用,熟练掌握一次函数的应用是解题的关键.【变式训练】1.(2023下·吉林长春·八年级校考期中)如图,直线与y轴、x轴交于点A、B,点C在直线上,点C的横坐标为m.
(1)求点A、B的坐标;(2)求的面积;(3)当时,求的面积;(4)当时,求m的值.【答案】(1),(2)6(3)(4)m的值是2或6【分析】(1)令,求出点坐标,令,求出点坐标;(2)三角形的面积公式进行计算即可;(3)求出点坐标,利用三角形的面积公式进行计算即可;(4)根据,求出点的纵坐标,进一步求出m的值.【详解】(1)解:,当时,;当时,;∴,;(2)(3)当时,,∴.(4)设点C的纵坐标为,∵,∴,∴,.当时,,;当时,,.综上满足条件的m的值是2或6.【点睛】本题考查一次函数的综合应用.正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标,是解题的关键.2.(2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上,已知正方形边长为3,点D为x轴上一点,其坐标为,连接,点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动,当点P与点A重合时停止运动,运动时间为t秒.(1)求线段的函数解析式;(2)连接,求的面积S关于t的函数解析式;(3)点P在运动过程中,是否存在某个位置使得为等腰三角形,若存在,直接写出点P的坐标,若不存在,说明理由.【答案】(1)线段CD的解析式为:(2)(3)点P的坐标为:,,【分析】(1)设直线的函数解析式为,经过,构建方程组求解函数解析式即可;(2)点P运行至点B时,(秒),分情况讨论,当点P在上时,,;当点P运行至点A时,(秒),当点P在上时,,;(3)①当点P在线段上时,若使得为等腰三角形,则,设,构建方程求解得;当点P在上时,设,则,,分情况讨论:若,若,若,分别构建方程求解.【详解】(1)解:线段的函数解析式为,经过,则解得,∴线段的函数解析式为(2)解:点P运行至点B时,(秒)当点P在上时,,;当点P运行至点A时,(秒),当点P在上时,,;∴(3)解:①当点P在线段上时,若使得为等腰三角形,则,设,则,解得,∴②当点P在上时,设,则,,若,则,即,,∴(舍去)∴.若,则,解得∴.若,则,解得(舍去),∴综上,点P的坐标为:,,【点睛】本题考查确定一次函数解析式,直角坐标系内与几何图形有关的动点问题,等腰三角形的性质;结合动点运行情况分类讨论是解题的关键.【过关检测】一、单选题1.(2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中)如图,反映了某产品的销售收入(单位:元)与销售量(单位:t)之间的关系,反映了该产品的销售成本(单位:元)与销售量之间的关系,当销售收入大于销售成本时,该产品才开始赢利.下列说法不正确的是()
A.当销售量为0t时,销售成本为2000元 B.当销售量小于4t时,没有赢利C.当销售量为时,赢利1000元 D.当赢利为4000元,销售量为【答案】D【分析】利用图象交点得出公司赢利以及公司亏本情况,进而可以求解.【详解】解:A、当销售量为0t时,销售成本为2000元,正确,不符合题意;B、当销售量小于4t时,没有赢利,正确,不符合题意;C、设的解析式为,由题意得:,解得:,∴的解析式为,设的解析式为,由题意得:,解得:,∴的解析式为,∴当销售量为时,,,(元),∴当销售量为时,赢利1000元,正确,不符合题意;D、当赢利为4000元,,∴,解得:,∴当赢利为4000元,销售量为,∴原说法错误,符合题意;故选:D.【点睛】本题主要考查了一次函数的应用,解决本题的关键是要数形结合利用待定系数法求一次函数解析式.2.(2023上·安徽合肥·八年级校考阶段练习)甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛,比赛开始时甲在起点,乙在甲的前面200米,他们同时同向出发匀速前进,甲的速度是8米/秒,乙的速度是6米/秒,先到终点者在终点原地等待.设甲、乙两人之间的距离是y米,比赛时间是x秒,当两人都到达终点计时结束,整个过程中y与x之间的函数图象是()A.
B.
C.
D.
【答案】B【分析】先算出甲到达终点的时间,由此算出二者之间的最大距离,再算出乙到达终点的时间,由此找出点的坐标,结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式,根据函数解析式分析四个选项即可得出结论.【详解】解:当甲骑到终点时所用的时间为:(s),此时甲乙间的距离为:(m),乙到达终点时所用的时间为:(s),∴最高点坐标为.甲追上乙时,所用时间为(s)当时,设y关于x的函数解析式为,有,解得:,此时;当时,设y关于x的函数解析式为,有,解得:,此时;当时,设y关于x的函数解析式为,有,解得:,此时.∴整个过程中y与x之间的函数图象是B.故选:B.【点睛】此题考查了一次函数的应用,解题的关键是理解题意,找到题中的关键点,利用待定系数法求得每段函数解析式.二、填空题3.(2023下·山东青岛·七年级统考期中)A骑摩托车从甲地去乙地,开汽车从乙地去甲地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,甲、乙两地间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示.
(1)甲、乙两地之间的路程为千米;(2)甲出发小时后甲、乙两地相距千米.【答案】或【分析】(1)由图像直接可得甲,乙两地之间的路程为千米;(2)求出的速度为:(千米/小时),的速度为:(千米/小时),设出发小时,相距千米,分两种情况列方程,可解得答案.【详解】解:(1)由图像可得,当时,,∴甲,乙两地之间的路程为千米;故答案为:;(2)由图像可得:的速度为:(千米/小时),的速度为:(千米/小时),设出发小时,相距千米,由题意得:相遇前:解得,相遇后:,解得,综上所述,出发小时或小时后,两人相距千米.故答案为:或.【点睛】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数的思想和数形结合的思想解答.4.(2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习)若直线:与轴、轴分别交于点和点,直线:与轴、轴分别交于点和点,线段与的中点分别是,,点为轴上一动点.(1)点的坐标为;(2)当的值最小时,点的坐标为.【答案】【分析】(1)先根据函数解析式求得A、B两点的坐标,再利用中点公式可求得M的坐标;(2)根据函数解析式求得C、D两点的坐标,求得N点的坐标,作M关于x轴对称点,连接与x轴交于点,此时有最小值,求出直线的解析式计算出与x轴的交点即可.【详解】解:(1)在直线中,当时,,当时,,,,,故答案为:;(2)在直线中,当时,,当时,,,,,如图,作关于轴对称点,它的坐标,连接与轴交于点,此时有最小值,设直线的解析式为,将和的坐标分别代入得,解得,,当时,,,.故答案为:.【点睛】此题考查的是一次函数的应用-几何问题,坐标与图形变换轴对称,(1)中能熟读题意,理解中点公式是解题关键;(2)中能根据轴对称的性质和两点之间最短得到P点坐标是解题关键.三、解答题5.(2023上·贵州贵阳·八年级校考期中)某商店为促销进行优惠活动,按原价应付金额不超过200元的一律9折优惠,超过200元的,其中200元按9折算,超过200元的部分按8折算,设某买家在该店购物按原价应付x元,优惠后实付y元.(1)当时,试写出y与x之间的函数表达式(如果是一次函数,请写成的形式);(2)该买家挑选的商品按原价应付300元,优惠后实付多少元?【答案】(1)(2)优惠后实付260元【分析】(1)根据优惠活动,按原价应付额不超过200元的一律9折优惠,超过200元的,其中200元按9折算,超过200元的部分按8折算可以列出相应函数关系式;(2)将代入第一问中的函数关系式,可以求得相应的y的值,从而可以解答本题.【详解】(1)解:由题意可得,当时,y与x之间的函数关系式是:,即当时,y与x之间的函数关系式是:;(2)当时,,即该买家挑选的商品按原价应付300元,优惠后实付260元.6.(2023下·湖南永州·八年级校考期中)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙、用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米,要围成的菜园是如图所示的长方形,设边的长为x米,边的长为y米.(1)求y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)若边的长为5米时,求长方形的边的长.【答案】(1)(2)9.5米【分析】(1)根据长方形三边总长为24米列等式即可,再根据长方形的边长不能超过24米即可确定x的取值范围;(2)把代入一次函数求解即可.【详解】(1)解:由题意得:,,∵,即,则,∵,∴,则y与x之间的函数关系式为:;(2)解:当时,,答:长方形边的长9.5米.【点睛】本题考查一次函数的应用,根据题意找出等量关系求出函数关系式是解题的关键.7.(2023上·广东茂名·八年级校联考期中)某文具商店文具促销给出了两种优惠方案:①买一支钢笔赠送一本笔记本,多于钢笔数的笔记本按原价收费;②钢笔和笔记本均按定价的八折收费.已知每支钢笔定价为15元,每本笔记本定价为4元.某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本,设选择第一种方案购买所需费用为元,选择第二种方案购买所需费用为元.(1)请分别写出,与x之间的关系式:,;(2)若该顾客准备购买10支钢笔,且只能选择其中一种优惠方案,请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠.【答案】(1),(2)选择方案②更为优惠,见解析【分析】(1)根据两种优惠方案,列出函数关系式即可;(2)将代入两个函数解析式,求出函数值,进行比较即可.【详解】(1)解:由题意,得:,;(2)当时,;,选择方案②更为优惠.【点睛】本题考查一次函数的实际应用,读懂题意,正确的列出一次函数的解析式,是解题的关键.8.(2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习)陕西洛川盛产苹果,政府要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业.王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的苹果共50亩,两种苹果的成本和售价如下表所示:品种成本(万元/亩)售价(万元/亩)A1.12.2B1.32.7设种植A品种苹果x亩,若50亩地全部种植两种苹果共获得利润y万元.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若A品种苹果的种植亩数不少于B品种苹果种植亩数的1.5倍,则种植A品种苹果多少亩时利润最大?并求出最大利润.【答案】(1)(2)当时,最大利润为万元【分析】(1)根据题意,可以写出y与x的函数关系式;(2)根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍,可以求得x的取值范围,再根据一次函数的性质,即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大,并求出此时的最大利润.【详解】(1)解:;(2)由题可知:,解得:,又∵,∴,∵,∴随x的增大而减小,∴当时,最大,最大为万元.【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答.9.(2023上·安徽合肥·八年级期中)为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶、两贫困村的计划.现决定从某地运送箱鱼苗到、两村养殖,若用大小货车共辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗,已知这两种大小货车的载货能力分别为箱辆和箱辆,其运往、两村的运费如下表:目的地车型村(元/辆)村(元/辆)大货车小货车(1)求这辆车中大小货车各多少辆?(2)现安排其中辆货车前往村,其余货车前往村,设前往村的大货车为辆,前往、两村总费用为元,试求出与的函数解析式.(3)在(2)的条件下,若运往村鱼苗不少于箱,请你写出使总费用最少的货车调配方案,并求出最少费用.【答案】(1)大辆;小辆(2),为整数(3)辆大货车、辆小货车前往村;辆大货车、辆小货车前往村.最少运费为元【分析】(1)设大货车用辆,小货车用辆,根据大、小两种货车共辆,运输箱鱼苗,列方程组求解;(2)设前往村的大货车为辆,则前往村的大货车为辆,前往村的小货车为辆,前往村的小货车为辆,根据表格所给运费,求出与的函数关系式;(3)结合已知条件,求的取值范围,由(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.【详解】(1)解:设大货车用辆,小货车用辆,根据题意得:解得:.∴大货车用辆,小货车用辆.(2)解:依题意,.,且为整数.(3)解:解:由题意得:,解得:,又,且为整数,,,随的增大而增大,当时,最小,最小值为元.答:使总运费最少的调配方案是:辆大货车、辆小货车前往村;辆大货车、辆小货车前往村.最少运费为元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,一次函数的应用,根据题意列出方程组和函数关系式是解题的关键.10.(2023上·广东深圳·八年级深圳市海湾中学校考期中)我市某校开展了“阳光体育、强身健体”系列活动,小明同学积极参与,他每周末和哥哥一起赛跑.已知他们所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示,哥哥先让小明跑,然后自己才开始跑.
(1)反映小明所跑路程与时间之间关系的是____(填写“”或“”),哥哥的速度是_____.(2)求出直线的函数解析式.(3)当时,哥哥在小明的前面?(4)当时,两人相距?【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】此题主要考查了一次函数的应用,读函数的图象时,首先要理解横纵坐标表示的含义,数形结合思想的应用是解题关键;(1)观察图象结合题意判断即可;根据“速度=路程时间”即可求出哥哥的速度;(2)根据待定系数法确定一次函数解析式即可;(3)求出小明的速度,再列方程解答即可;(4)列方程解答即可;【详解】(1)解:由题意可知,反映小明所跑路程与时间之间关系的是,哥哥的速度是:,故答案为:;(2)设解析式为:,将两点代入后可得:,解得:,故解析式为:;(3)小明的速度为:,设后哥哥追上了小明,则,解得,故后哥哥在小明的前面;故答案为:4;(4)设后,两人相距,则或,解得或.故或时,两人相距.故答案为:2或6.11.(2023下·河南安阳·八年级校考期末)某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元,销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A掀电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.①求y与x的关系式;②该商店购进A型、B型各多少台,才能使销售利润最大?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【答案】(1)每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元(2)①;②商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大(3)①当时,商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润;②当时,商店购进A型电脑数最满足的整数时,均获得最大利润;③当时,商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.【分析】(1)建立二元一次方程组求解;(2)①根据销售问题中单件利润,销售数量,销售利润间的关系建立函数关系式;②根据题意建立不等式求解,得自变量取值范围,结合一次函数的增减性求解;(3)由题意得一次函数,对参数m分类讨论,①当时,根据一次函数增减性求解;②当时,最大利润为;③当时,根据一次函数增减性求解;【详解】(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有解得即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(2)①根据题意得,即;②根据题意得,解得,∵,∴y随x的增大而减小.∵x为正整数,∴当最小时,y取最大值,此时.即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大(3)根据题意得,即..①当时,,y随x的增大而减小.∴当时,y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润;②当时,.即商店购进A型电脑数最满足的整数时,均获得最大利润;③当时,,y随x的增大而增大.∴时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质和应用;理解一次函数的增减性是解题的关键.12.(2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,一次函数,直线(b是常数)与x轴交于点B且经过点C.(1)求的长;(2)若直线轴且与直线,分别交于点和点,,求点的坐标;(3)若点P是直线上一点,是否存在点P使得三角形的面积为9?若存在,求出点P的坐标,说明理由.【答案】(1)9(2)或(3)存在,或【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征,可求出点,的坐标,由点的坐标,利用待定系数法可求出直线的函数解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征,可求出点的坐标,再利用数轴上两点间的距离公式,即可求出的长;(2)设点的坐标为,则点的坐标为,由,可列出关于的含绝对值的一元一次方程,解之可求出的值,再将其代入点的坐标中,即可求出结论;(3)存在,设点的坐标为,根据三角形的面积为9,可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程,解之可求出的值,再将其代入点的坐标中,即可求出结论.【详解】(1)解:当时,,解得:,点的坐标为;当时,,点的坐标为.将代入得:,解得:,直线的函数解析式为.当时,,解得:,点的坐标为,;(2)设点的坐标为,则点的坐标为,.又,,解得:,当时,;当时,.点的坐标为或;(3)存在,设点的坐标为,,解得:或,当时,;当时,.点的坐标为或.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及含绝对值符号的一元一次方程,解题的关键是:(1)利用一次函数图象上点的坐标特征,求出点,的坐标;(2)根据,列出关于的含绝对值的一元一次方程;(3)根据三角形的面积为9,列出关于的含绝对值符号的一元一次方程.13.(2023上·安徽合肥·八年级
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